§75 可降階的高階微分方程ppt課件

1、7.5 7.5 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程0),()( nyyyxF本節(jié)考慮本節(jié)考慮n階微分方程階微分方程中的如下的三種特殊類型中的如下的三種特殊類型: y(n)=f(x) ),()1()()( nknyyxfy.,)1( kyyy及及不顯含未知函數不顯含未知函數特點：特點： ),()1()( nnyyyfy特點：特點：. x右右端端不不顯顯含含自自變變量量)()1)(xfyn 解法解法: Cdxxfyyynnn )(1,)1()1()(次次積積分分視視nnnCxCxCdxdxxfyn 2211)(次次共積分共積分例例1xxy sin)4(),()2yxfy 解法解法: ( ),

2、( , )dpdpyp xyf x pdxdx令則代入原方程這是關于這是關于p的一階微分方程的一階微分方程, 若能求出若能求出211),(),(cdxcxycxp 則則降低了方程的階數降低了方程的階數例2 求方程 xy”+y=1通解。 解： y=P(x)， xp+p=1 , -ln(1-p)=lnx+lnC1 = p=1- C1/x 通解： y =x-C1lnx+C2 21.2 ()0(0)1(0)2yx yyy 求方程滿足，的特解。( )yp x 解：設Py 則則022 xPP方方程程變變?yōu)闉閏xyP 21212 xcxxdxxy 22ln221212122ln221 xx例例3),()3y

3、yfy 解法解法: ( ),( , )dp dydpdpyp yyppf y pdy dxdydy令則代入原方程這是關于這是關于p的一階微分方程的一階微分方程, 若能求出若能求出是是所所求求通通解解則則211),(1),(cxdycycyp 降低了方程的階數降低了方程的階數.02的的通通解解求求方方程程 yyy解解,dydPpy 則則),(ypy 設設代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xCeCy 原方程通解為原方程通解為,1yCdxdy 例例 1.212yyy 求通解求通解例例2解解.x方方程程不不顯

4、顯含含,dydPPyPy 令令代入方程，得代入方程，得,212yPdydPP ,112yCP 解解得得，, 11 yCP, 11 yCdxdy即即故方程的通解為故方程的通解為.12211CxyCC .02的的通通解解求求方方程程 yyy解解,dydPpy 則則),(ypy 設設代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xceCy 原方程通解為原方程通解為,1yCdxdy 例例 34)不顯含不顯含x,y，用不顯含，用不顯含y的方法簡單。的方法簡單。 例例 y”+(y)2=0 解：解：y=P(x)， p=y=1

5、/ (x+C1) y=ln(C1+x)+C2 特點特點. 0),(,),()1()1( nnyyyxdxdxyyyx即即的的導導數數對對左左端端恰恰為為某某一一函函數數解法：解法： 類似于全微分方程可降低一階類似于全微分方程可降低一階,),()1(Cyyyxn 再設法求解這個方程再設法求解這個方程.附附1) 1) 恰當導數方程恰當導數方程.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解將方程寫成將方程寫成, 0)( yydxd,1Cyy 故有故有,1dxCydy 即即積分后得通解積分后得通解.212CxCy 注意注意: :這一段技巧性較高這一段技巧性較高, 關鍵是配導數的方程關鍵是配導數的方程.例例

6、 3.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解將方程寫成將方程寫成, 0)( yydxd,1Cyy 故有故有,1dxCydy 即即積分后得通解積分后得通解.212CxCy 例例15)湊導數法湊導數法例例2 已知曲線已知曲線,它的方程它的方程y=f(x)滿足微分方程滿足微分方程12 yyy并且與另一條曲線并且與另一條曲線y=ex 相切于點相切于點(0,1), 求此曲線的方程求此曲線的方程.解解 曲線滿足初值問題曲線滿足初值問題 2001,1,1xxyyyyy()1, (0)1,(0)11yyyyxC yyC (1)ydyxdx(1)ydyxdx22(1), (0)10yxC yC 的的特特解解。

7、，滿滿足足求求方方程程21)0(1)0(0)(2. 12 yyyxyyP 解解：設設Py 則則022 xPP方方程程變變?yōu)闉閏xyP 21212 xcxxdxxy 22ln221212122ln221 xx練習練習:.212yyy 求通解求通解2.解解.x方方程程不不顯顯含含,dydPPyPy 令令代入方程，得代入方程，得,212yPdydPP ,112yCP 解解得得，, 11 yCP, 11 yCdxdy即即故方程的通解為故方程的通解為.12211CxyCC 。，求求此此曲曲線線為為恒恒并并設設記記為為為為曲曲邊邊的的曲曲邊邊梯梯形形面面積積上上以以，區(qū)區(qū)間間積積記記為為軸軸所所圍圍成成的

8、的三三角角形形的的面面上上述述兩兩直直線線與與軸軸的的垂垂線線，作作該該曲曲線線的的切切線線及及上上任任一一點點曲曲線線過過二二階階可可導導，且且設設函函數數)(12,)(0,),()(, 1)0(, 0)()0)(. 32121xyysssxyyxsxxyxPxyyyxyxxy )(xXyyY 解解：切切線線yyxXY 0yyyyxxys 2121)(21 xdxxys02)( xdxxyyy021)(2yyy pdydpy ycecpdyy111 y xdxececy22 xe ).(,)sin()(. 422222ufzeyzxzyefzufxx求求滿滿足足方方程程具具有有二二階階連連續(xù)

9、續(xù)導導數數，而而設設 yeyefxzxxsin)sin( 解：解：yeyefyeyefxzxxxxsin)sin()sin)(sin(222 yeyefyzxxcos)sin( yeyefyeyefyzxxxxsin)sin()cos)(sin(222 zeeyefxxx22)sin( 則則)()(ufuf dzdppfpf ,設設zdzdpp czp 22czdudz 2代入原方程代入原方程, 得得解法：解法：特點：特點：.,)1( kyyy及及不顯含未知函數不顯含未知函數)()(xPyk 令令.,)()()1(knnkPyPy 則則).(,),(,()1()(xPxPxfPknkn P(x)的的(n-k)階方程階方程),(xP求求得得,)()(次次連續(xù)積分連續(xù)積分將將kxPyk 可得通解可得通解.1、),()1()()( nknyyxfy更一般的情況更一般的情況, 如如.0)4()5(的的通通解解求求方方程程 yxy解解),()4(xPy 設設代入原方程代入原方程, 0 PPxxCP1 解線性方程解線性方程, 得得兩端積分兩端積分,得得原方程通解為原方程通解為)()5(xPy ）（0 P,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 542