二學(xué)歷概率統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)

1、二學(xué)歷概率統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)一隨機(jī)事件與概率一、隨機(jī)事件及其運(yùn)算1、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件2、隨機(jī)事件之間的關(guān)系及其運(yùn)算事件的包含與相等，事件的和(并)，事件的積（交），事件的差，互不相容事件，對(duì)立事件二、古典概型及概率1、古典概型及概率三、加法公式與乘法公式1. 概率的加法公式 2. 概率的乘法公式 條件概率 乘法公式四、事件的獨(dú)立性 事件的獨(dú)立性 貝努利概型（獨(dú)立試驗(yàn)概型）二隨機(jī)變量及分布一、離散型隨機(jī)變量及其分布1離散型隨機(jī)變量的概率分布2. 幾個(gè)常用的離散型概率分布 二點(diǎn)分布（“01”分布）如果隨機(jī)應(yīng)量的分布列為表5310pq其中，則稱服從以為參數(shù)的二點(diǎn)分布，記作B(1、p)。二項(xiàng)分布若離散型隨機(jī)

2、變量的分布列為(5-16)則稱服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布）（n次獨(dú)立試驗(yàn)概型），記作B(n，p)泊松分布如果離散型隨機(jī)變量的發(fā)布為(5-17)則稱服從以為參數(shù)的泊松分布，記作P()當(dāng)如果趨一個(gè)常數(shù)，則有即當(dāng)很大時(shí)可用泊松分布來近似計(jì)算服從二項(xiàng)分布的的概率，其誤差不大。3. 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義5.8 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，稱函數(shù) （）(5-18)為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，記作或。利用概率的性質(zhì)可以證明，分布函數(shù)具有以下性質(zhì)：1 是一個(gè)非減的函數(shù)。 即若 ，則； 2 ，在任意一點(diǎn)處都右連續(xù)，即。另外，還有如下公式 若離散型隨機(jī)變量的分布列為表56根據(jù)定義5.8它的分布函數(shù)為簡(jiǎn)寫為這里的和式是對(duì)于

3、小于的一切對(duì)應(yīng)的概率和。三、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布1. 概率密度函數(shù)定義5.9 設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使在任一區(qū)間,內(nèi)取值的概率都有(5-19)就叫做的概率密度函數(shù)(簡(jiǎn)稱為密度函數(shù))。記為。概率密度函數(shù)需滿足以下條件： 即密度函數(shù)是非負(fù)的； 顯然，對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量，但時(shí)有故 2. 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)根據(jù)定義5.9對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為，則且但在處連續(xù)時(shí)。3幾個(gè)常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)1均勻分布如果連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為稱服從區(qū)間上的均勻分布，記為均勻分布的分布函數(shù)(5-21)2正態(tài)分布如果連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為(5-22)其中為任意實(shí)數(shù)，則稱服

4、從以，為參數(shù)的正態(tài)分布，記作。圖5-13由圖513可見，曲線具有下列特點(diǎn)： 曲線位于軸的上方，且以軸為水平漸近線。 曲線關(guān)于參數(shù)對(duì)稱 當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值 曲線與軸轉(zhuǎn)成的面積為1。 曲線在處有拐點(diǎn)，拐點(diǎn)坐標(biāo)為，參數(shù)決定正態(tài)曲線所在的位置，如圖5-14所示。圖5-14 圖5-15參數(shù)決定正態(tài)曲線的扁平，小圖像狹高，大圖像扁平，如圖5-15所示。正態(tài)分布函數(shù)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的分布函數(shù)為(5-23)當(dāng)，時(shí)，則稱隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為 見圖5-16圖5-16 圖5-17由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)可知曲線關(guān)于軸對(duì)稱且對(duì)稱區(qū)間概率相等。即：如圖5-17所示第三節(jié)隨機(jī)變量

5、的數(shù)字特征一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)1. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義5.10 設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為下表59：表5-9則稱 為的數(shù)學(xué)期望（或均值）記為2連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義5.11 如果連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則稱 稱為的數(shù)學(xué)期望。3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望有下列性質(zhì)： 常數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于該常數(shù)，即(5-26) 常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的數(shù)學(xué)期望等于該常數(shù)與隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的積，即(5-27) 兩個(gè)隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于它們的數(shù)學(xué)期望的和，即(5-28) 兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量乘積的數(shù)學(xué)期望等于它們的數(shù)學(xué)期望的乘積，即(5-29)二、隨機(jī)變量的方差及性質(zhì)定義5.1

6、2 設(shè) 是一個(gè)隨機(jī)變量，稱為的方差。稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記作，即如果是離散型隨機(jī)變量且分布列為，則(5-30)果是連續(xù)型隨機(jī)變量，且概率密度函數(shù)為，則(5-31)由定義可見，方差是隨機(jī)變量所取之值與的距離平方的平均值。因此，方差小說明隨機(jī)變量所取的值比較集中，方差大說明隨機(jī)變量所取之值比較分散。隨機(jī)變量的方差具有以下性質(zhì) 常數(shù)的方差等于零(5-32) 常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的方差等于該常數(shù)的平方與隨機(jī)變量方差的乘積，即(5-33) 兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的方差等于這兩個(gè)隨機(jī)變量方差的和，即(5-34)（證明略）方差的常用公式(5-35)為了使用方便，我們把常用的隨機(jī)變量的概率分布及其

7、數(shù)字特征列表如下：名 稱概 率 分 布參 數(shù) 范 圍均 值方 差兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布01第四節(jié) 統(tǒng)計(jì)推斷一、基本概念1總體、樣本與統(tǒng)計(jì)量在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中把研究對(duì)象的全體稱為總體（或母體），而組成總體的每一個(gè)元素稱為個(gè)體。由總體中隨機(jī)抽取的個(gè)體組成的集合稱為一個(gè)樣本，樣本中所含個(gè)體的數(shù)目稱為樣本容量。要求樣本具有： 必須是隨機(jī)抽樣，而且每一個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等； 每次抽取的樣本是相互獨(dú)立的，并具有相同的概率分布。滿足以上兩條的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。為較好的推斷（估計(jì)）總體的某特性，對(duì)隨機(jī)抽取的樣本要進(jìn)行“加工”和“提煉”，把我們所關(guān)心的信息集中起來，針對(duì)不同問題構(gòu)造

8、出不含未知參數(shù)的樣本的某種函數(shù)。這種函數(shù)在統(tǒng)計(jì)中稱為統(tǒng)計(jì)量，顯然也是隨機(jī)變量。常用統(tǒng)計(jì)量：樣本均值(5-36)樣本方差(5-37)樣本均方差(5-38)樣本均值的分布設(shè)，是的樣本，則 或 二、參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)就是用樣本的統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)，我們稱它為估計(jì)量，其具體值稱為估計(jì)值。參數(shù)估計(jì)通常分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種1. 評(píng)價(jià)估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則因?yàn)闃颖镜慕y(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量，所以估計(jì)量也是是隨機(jī)變量。對(duì)于不同的樣本它會(huì)得到不同的估計(jì)量，那么怎樣評(píng)判哪一個(gè)估計(jì)量更好呢？標(biāo)準(zhǔn)通常采用以下三個(gè)準(zhǔn)則： 無偏性 若估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于未知參數(shù)的真值，即，則稱是的無偏估計(jì)。 有效性 若與都是的無偏估計(jì)量，而得方差

9、小于的方差，即，則稱較是的有效估計(jì)量。2. 點(diǎn)估計(jì)從總體中抽取一個(gè)樣本，用這組樣本觀測(cè)值來估計(jì)總體參數(shù)的值，這種估計(jì)方法稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)（也稱定值估計(jì)）。在實(shí)際工作中，常常用樣本均值估計(jì)總體均值，用樣本方差來估計(jì)總體的方差。例4 某廠生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)要查驗(yàn)零件的直徑，從產(chǎn)品中隨機(jī)選取12只，測(cè)得直徑（單位：毫米）分別為：13.30 13.38 13.42 13.43 13.36 13.4813.54 13.34 13.34 13.47 13.44 13.50設(shè)零件的直徑總體服從正態(tài)分布，試估計(jì)和的值。解 用樣本的平均直徑和樣本方差來估計(jì)總體的和，將樣本值分別代入得因此總體均值的估計(jì)值為13.4

10、2（毫米），總體方差的估計(jì)值為0.0054（毫米）2。用點(diǎn)估計(jì)法來估計(jì)總體的參數(shù)方法簡(jiǎn)單，但由于樣本的隨機(jī)性，估計(jì)值會(huì)因樣本的不同而不同，甚至?xí)泻艽蟮牟町悺?. 區(qū)間估計(jì)設(shè)是總體分布中的未知參數(shù)，是取自總體的樣本，構(gòu)造兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量和，使得包含未知參數(shù)區(qū)間的概率為，即(5-41)這樣的估計(jì)方法稱為區(qū)間估計(jì)。區(qū)間叫置信區(qū)間，及分別叫置信區(qū)間的上下限，如圖5-22所示。叫置信系數(shù)，也叫置信概率或置信度，而是事先給定的一個(gè)小正數(shù)，它是指參數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確的概率，通常取值0.01，0.05，0.10等。(5-9)式的意義是反復(fù)抽樣多次（每次樣本容量都相等），每組樣本觀測(cè)值確定一個(gè)區(qū)間，在這樣多的區(qū)間中，包含

11、真值的約占，不包含真值的僅占左右。圖5-22區(qū)間估計(jì)較點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)：既反映了估計(jì)結(jié)果的精確度又表明了這個(gè)估計(jì)結(jié)果的可靠程度。 正態(tài)總體均值區(qū)間估計(jì) 已知方差，求均值的置信區(qū)間。設(shè)總體，為的一個(gè)隨機(jī)樣本，可選用變量求參數(shù)的置信區(qū)間。由正態(tài)分布表可知，對(duì)給定的，存在一個(gè)臨界值，使即 或 這時(shí)參數(shù)的置信區(qū)間為，(5-42)例如時(shí)，查正態(tài)分布表可得于是有上式表明包含在區(qū)間，內(nèi)的概率為0.95。例5 從生產(chǎn)的一批燈管中，抽了十支進(jìn)行壽命試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)如下（單位：小時(shí)）：1300 1210 1050 1260 10401200 1120 1120 1080 1130 估計(jì)燈管的平均使用壽命； 燈管壽命服從正

12、態(tài)分布，試求平均壽命的置信區(qū)間。解 由于已知，求的置信區(qū)間，可使用變量，查正態(tài)分布表可得而， 根據(jù)(5-10)式可得所求的燈管平均使用壽命均值的置信區(qū)間（1149.05, 1152.95）,置信度為95%. 未知，求均值的置信區(qū)間。由于未知，在變量中既含有待估參數(shù)外，還含有未知參數(shù)，因此不能用變量，但是的良好估計(jì)量，故可用代替中的，這就是前面所講的變量，因此在未知時(shí)，估計(jì)參數(shù)的置信區(qū)間可選用變量。對(duì)給定的置信度，存在一個(gè)臨界值使即由分布表，對(duì)給定的及自由度出臨界值，解出的置信區(qū)間，得于是參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間，(5-43)其中例6一家保險(xiǎn)公司想要估計(jì)在過去的一年里投保人的平均理賠額。隨機(jī)地選

13、取了36個(gè)投保人作為一個(gè)隨機(jī)樣本，觀測(cè)樣本均值是元，觀測(cè)樣本標(biāo)準(zhǔn)離差是元。試求以99%的置信度估計(jì)去年一年里投保人平均理賠額。解 由題知： ， ， 置信水平為99%，則，自由度為,查分布表求臨界值 代入(7-11)式得，=所以去年一年里投保人平均理賠額為置信度為99%的置信區(qū)間為. 習(xí)題五1指出下列事件的包含關(guān)系（1）表示“某圓柱形產(chǎn)品的長(zhǎng)度合格”，表示“某圓柱形產(chǎn)品合格”（2）表示“擊中飛機(jī)”，表示“擊落飛機(jī)”。2在一次射擊中，設(shè)表示“命中2至4環(huán)”，表示“命中3至5環(huán)”，表示“命中5至7環(huán)”，試表述下列事件：（1），（2），（3），（4），（5）3設(shè)甲、乙兩地根據(jù)多年的氣象記錄，知道一年中

14、雨天的比例甲地占20%,乙地占18%，兩地同時(shí)下雨占12%,求已知在乙地下雨的條件下甲地下雨的概率。4電路由電池A與兩個(gè)并聯(lián)的電池B及C串聯(lián)而成，設(shè)電池A、B、C損壞的概率分別是，求電路發(fā)生間斷的概率。5從5雙不同鞋號(hào)任意取4只，4只鞋子中至少有2只鞋子配成一雙的概率是多少？6袋中有18個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中隨機(jī)地接連取出3個(gè)球，取后不放回，試求第三個(gè)球是紅球的概率。7書架上任意排放著8本書，求某3本書放在一起的概率。8某鐵路調(diào)車場(chǎng)，有12股道，停放8列車，求恰有緊靠在一起的4股道無車的概率。9十個(gè)考簽中，四個(gè)難簽。三個(gè)人參加抽簽（不放回），甲先，乙次，丙最后。記、分別表示甲、乙、丙各抽到難簽

15、，求：。10某家電商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批彩色電視機(jī)，經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，外殼有損壞的占，顯像管有缺陷的有，其他部分發(fā)現(xiàn)有問題道的有，外殼和顯像管都有問題的有，顯像管和其他部分都有問題的有0.4%，外殼和其他部分都有問題的有，三者都有問題的有，若從中任取一件，問至少有一種問題的概率是多少？11兩個(gè)射手彼此獨(dú)立射擊同一目標(biāo)，射甲射手射中的概率為，乙射手射中概率為，求目標(biāo)被射中的概率。12珠算一級(jí)3名學(xué)生，每次核算票據(jù)無誤的概率都為，現(xiàn)3人同時(shí)核算同一批票據(jù)，求至少有兩人無誤的概率。13一個(gè)電路中安裝有甲、乙兩根保險(xiǎn)絲，當(dāng)電流強(qiáng)度超過一定值時(shí)，甲燒斷的概率，乙燒斷的概率為，兩根保險(xiǎn)絲同時(shí)燒斷的概率為，問至少燒斷一根保

16、險(xiǎn)絲的概率是多少？14若A地區(qū)訂日?qǐng)?bào)占60%，訂晚報(bào)占30%，不訂報(bào)的占25%，試求兩種報(bào)都訂的概率。15某地區(qū)鮮花代理商供應(yīng)本地區(qū)100家零售花店的鮮花，每一家零售花店預(yù)定下一天鮮花的概率互不依賴，且都等于，求一天中恰有4家花店訂貨的概率。16某高校計(jì)算機(jī)專業(yè)招收在職研究生80名，這些學(xué)生中有20名有兩年工作經(jīng)歷，15名有三年工作經(jīng)歷，25名有四年工作經(jīng)歷，其他20名有五年或五年以上的工作經(jīng)歷。假設(shè)隨機(jī)抽取一名學(xué)生 這名學(xué)生中至少有四年工作經(jīng)驗(yàn)的概率為多少？ 假設(shè)我們已知這名學(xué)生至少有三年工作經(jīng)歷，那么這名學(xué)生至少有四年工作經(jīng)歷的概率為多少？17三名同學(xué)今年參加高考，根據(jù)歷次?？汲煽?jī)分析，能

17、考上重點(diǎn)大學(xué)的概率分別為0.85，0.75，0.80。試求 三位同學(xué)都能考上重點(diǎn)大學(xué)的概率。 三位同學(xué)都考不上重點(diǎn)大學(xué)的概率。18A廣告公司是某地區(qū)較知名的廣告公司，一個(gè)人看到A廣告公司廣告的概率為。假設(shè)從這個(gè)地區(qū)的人口中隨機(jī)選擇6人，（1）這些人中至少4人看到這個(gè)廣告公司廣告的概率；（2）這些人中最多2看到該公司廣告的概率。19設(shè)的分布列為表52001求20某地居民年齡（歲）的密度函數(shù)為求 系數(shù)； 該地區(qū)居民的平均年齡； 小于平均年齡的人數(shù)與大于平均年齡的人數(shù)各占人口百分比是多少？21根據(jù)資料分析，某基金每年投資收益率的概率分布為下表521投資收益率91011121314130.060.16

18、0.210.270.150.110.4試求 該基金年收益率至少是13%的概率； 年收益率的概率分布； 年收益率的期望值、方差是多少？22無線電發(fā)出的信號(hào)被另一電臺(tái)收到的概率為，信號(hào)每隔5秒鐘拍發(fā)一次，直到收到對(duì)方的回答信號(hào)為止，發(fā)出信號(hào)與收到信號(hào)之間至少需經(jīng)過16秒鐘的時(shí)間，求在雙方建立聯(lián)系之前，已拍發(fā)的呼喚號(hào)的平均次數(shù)。23某工廠有4輛汽車，假設(shè)每輛車在一年內(nèi)至多只發(fā)生一次損失，且各自相互獨(dú)立，且有相同的損失概率，試求這個(gè)廠在一年內(nèi)汽車損失次數(shù)的概率分布及均值。25建筑工地購(gòu)進(jìn)一批鋼筋，經(jīng)測(cè)試抗壓指標(biāo)及概率分布為表5-22，試求，這批建筑鋼筋的平均抗壓指標(biāo)。表5-22抗壓指標(biāo)1201251301351400.20.30.250.150.126一位農(nóng)場(chǎng)主的作物因缺水而快要枯萎了，他必須決定是否進(jìn)行灌溉。如他進(jìn)行灌溉，或者天下雨的話，作物帶來的利潤(rùn)是1000元，