全國二卷立體幾何真題及模擬題(理科)

1、立體幾何（理科）立體幾何解題中常用的判定定理及性質(zhì)定理1. 直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的 一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（線線平行 線面 平行）若 a歹,b?, a/ b,則 a II .2. 直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，過這 條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.（線面平行 線 線平行）若 a/, a? B, ? p= b,貝 S a I b.3. 直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相 交直線垂直，則該直線與此平面垂直.若 m? a, n? a, n?n = Q l 丄 m, l 丄 n,貝 S

2、l 丄a.4. 直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.若a丄a, b丄a，貝卩a I b.5. 平面與平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.（線面平行 面面平行）若 a , b , a?b=A, a I , b I ，貝S / .6. 平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面 相交，那么它們的交線平行.若 I , Q 丫 = a, Q 丫 = b，貝卩 a I b.7. 兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.若I丄，1，貝y丄.8. 兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如

3、果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.若 丄， n = I , a , a丄I，貝卩a丄空間角的計算(1) 兩條異面直線所成角的求法設(shè)直線a, b的方向向量為a, b,其夾角為6，則cos © = |cose | =| ： b| (其中©為異面直線a,b所成的角).(2) 直線和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線I的方向向量為e,平面a的法向量為n,直 線I與平面a所成的角為©，兩向量e與n的夾角為6，則有sin(3)二面角的求法 利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如圖所示，m n即為所求二面角的平面角. 對于易于建立空間

4、直角坐標系的幾何體，求二面角的大小時， 可以利用這兩個平面的法向量的夾角來求.如圖所示，二面角 a -l- B,平面a的法向量為n1,平面B的 法向量為n2,5, n2>=e，則二面有a-I- B的大小為6或 n e.空間距離的計算直線到平面的距離，兩平行平面的距離均可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離.uuuu rPM n點P到平面a的距離，（其中n為a的法向量，Mn為a內(nèi)任一點）.空間角的范圍n（1）異面直線所成的角（6）: ove二;n（2）直線與平面所成的角（6 ）: 0< 6；（3）二面角（6 ） : 0< 6 <n.歷年高考真題及解析（2013課標全國H,理18）如圖，直

5、三棱柱ABC AiBG中，D,E分別J2是 AB,BB“ 的中點，AA= AC= CB= % AB .2（1）證明：BG /平面ACD ; 求二面角D- Ap E的正弦值.解：（1）連結(jié)AC交AQ于點F,則F為AG中點.又D是AB中點，連結(jié)DF,則BG/ DF 因為DF平面ACD BC 平面AQD 所以BC/平面ACD由 AO CB=2ab 得，Ad BC2以c為坐標原點，CA的方向為x軸正方向， 建立如圖所示的空間直角坐標系 C xy z.設(shè)U CA= 2,則 D1,1,0)，曰0,2,1) ,A(2,0,2), uuuILWUULTCD = (1,1,0) ,CE = (0,2,1) ,C

6、A = (2,0,2).設(shè) n=(X1, y1,ULUT則 n CULT 0,即n CA10,乙)是平面ACD的法向量,x y1 0,2x1 2z10.可取 n= (1 , 1, 1).同理，設(shè)m是平面ACE的法向量， UUL從而 cos n, m>n m|n|m|故sin即二面角A AC- E的正弦值為孚(2014課標全國H,理18)如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD矩形，PAL平面ABCDE為PD的中點.(I)證明：PB/平面AEC(H)設(shè)二面角 D-AE-C為 60°,AP= , AD=3 ,求三棱錐 E-ACD 的體積.解: (I)設(shè)AC勺中點為G,連接EG在三角形

7、PBD中，中位線EG/PB 且 EG在平面 AECh,所以PB/平面AEC則 m UUU- 0,可取 m= (2,1， 2). m CA-i 0,(H)設(shè) CD=m分別以,AB, AD,AP為 X,Y,Z軸建立坐標系，則A(O,O,O),D(、3,0,0), E23i0i1),C( . 3,m,0).31 AD = (. 3,0,0), AE =詁,0, 2), AC = ( . 3, m,0). 設(shè)平面 ade 法向量為 ni=(X, %,乙),則 niAD=0,niAE= 0, 解得一個山=(0,1,0).同理設(shè)平面 ace法向量為 n2 = (x2,y2,z2),則n2AC = 0, n

8、； AE = 0,解得一個 n2 = (m,-. 3,- 3m).冗 I, 一一 7 1 n2?n2 1花1 解得 3cos =| cos< n2, n2 >|二 = , 22 二一,解得 m= _.3|n 21?| n2 |, m +3+3m22EF 1設(shè)F為AD的中點，貝V PA / EF ,且PA= , EF丄面ACD ,2 2即為三棱錐 E-ACD 的高二 Ve-Acd 二 1?SCd?EF = -?-?- 3?-=-.33 2 2283所以，三棱錐E- ACD的體積為 。811(2015課標全國II ,理19)如圖，長方體ABCD A1B1C1D1, AB 16, BC

9、10, AA 8,點 E, F分別在AB1,DQ 上, AE D1F 4.過點E,F的 平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正 方形.(I )在圖中畫出這個正方形，不必說 明畫法和理由；(II )求直線AF與平面 所成角的正 弦值.解：(I)交線圍成的正方形EHGF如圖：(H)作EM AB，垂足為M，貝卩AM A1E 4 , EM AA1 8，因為EHGF為正方形，所以 EH EF BC 10 .于是MH EH2 EM 26 , 所以AH 10 .以D為坐標原點，DA的方向為x軸的正方向，建立如 圖所示的空間直角坐標系 D xyz， 貝S A(10,0,0)，H (10,10,0)，E(10,

10、4,8)，uuuuuurrF(0,4,8) , FE (10,0,0) , HE (0, 6,8).設(shè) n (x, y, z)是平面 EHGF 的法 r uuu向量，則n UUU0,即 10x 0,所以可取n(0,4,3).又 Af(10,4,8),n HE0,6y 8z0,r ujuf,ruuirnAF4J5故cosn, AF”|UJuT.所以直線AF與平面所成角的正弦值|AF 15為心.15(2016課標全國理19)(本小題滿分12分)如圖，菱形ABCD勺對角線AC與 BD交于點O ab 5 , ac 6，點E, F 分別在AD CD上, AE CF |, EF交BD于點H將厶DEF沿 E

11、F折到 D EF的位置OD 帀.(I )證明：DH平面ABCD(II )求二面角DA C的正弦值.DCF彳，(I)證明：T AEAE CFAD CD，/. EF II AC .T四邊形ABCD為菱形，二AC BD ,EFBD ,FFDH ,FF D H ./ AC6 ,-. AO 3又AB5 ,AOOB> OB4 ,AF2 2 2OHOD1 ,DHD H3 , ODOHD 'HAO7 1 1 1 1 1 1/. D'HOH又OH IFFH ,D'H面 ABCD .xyz .(H)建立如圖坐標系HD'A 1,uurAB 4 , 3 , 0 ,uuur AD

12、'uuu AC設(shè)面ABD'法向量帶ur 由n5uuu AB uuuu AD4xx3y3y03zcosur 門1同理可得面AD'C的法向量器CT l«9 57-5厲n2跟 5.210252/95-sin25(2016課標全國皿，理19)如圖，四棱錐 P-ABC中，P/U底面 ABCDAD/ BCABAD=AG=3,PA=BG=4,M為線段AD上一點，AM=2MD N為PC的中點.(I)證明：M/平面PAB(H)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.解：(】)由已知得AM I AD 2，取BP的中點T '連接A",A由N為PC中點知TN / BC

13、 , TN 丄BC 22又AD/BC，故TN平行且等于AM，四邊形AMNT為平行四邊形,于是 MN /AT .因為 AT 平面PAB， MN 平面PAB，所以MN /平面PAB.(H) 取 BC的中點E，連結(jié)AE ,由AB AC 得 AE BC，從而 AEAEAB2 BE2Ab2 (BA5.以A為坐標原點，AE的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ) xyz,由題意知,N( ,1,2),uuui PMuuur(0,2, 4) , PN,1, 2),uuirAN(舟,1,2)(x, y,z)為平面PMN的法uuuuPM uuu PN0，即02x5x4z 0y 2z，可取 n (0,2,

14、1),0P(0,0,4) , M (0,2,0) , C( 5,2,0),于是| cosr UJITr I In AN |n,AN | 片 uuU|n| |AN|8.5 25高考模擬題1如圖，已知四棱錐 P- ABCD底面ABC為菱形，PM平面ABCD / ABC=60 , E, F分別是BC PC的中點.(1) 證明：AE! PD(2) 若PA=AB=2求二面角E- AF- C的余弦值.2. 如圖，在四棱錐P- ABC沖，底面ABCD是菱形，/ DAB=60 , PD 丄平面ABCD PD=AD=1點E, F分別為AB和PD中點.(I)求證：直線AF/平面PEC(H)求PC與平面PAB所成角

15、的正弦值.3. 在長方體 ABC- ABGD中，AB=2 AD=1 AA=1，點E在棱AB上移 動.(1) 探求AE等于何值時，直線DE與平面AAD.D成45°角；(2) 點E移動為棱AB中點時，求點E到平面ADC的距離.高考模擬題答案1. (1)證明：T四棱錐P-ABCD底面ABCD為菱形,/ ABC=60 , E, F分別是BC PC的中點， ABC是等邊三角形， AE! BC 二 AE! ADv PAL平面 ABCD AE?平面 ABCD AE! PAv AEA AD=A 二 AE!平面 PADv PD?平面 PAD AE! PD(2)解：由(1)知AE AD AP兩兩垂直，以

16、A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，v E, F分別為BC PC的中點,PA=AB=2 A (0 , 0 , 0) , B (J； , - 1, 0), C (二,1 , 0),D(0 , 2 , 0) , P (0 , 0 , 2), E ( :;, 0 , 0) , F (寧),二民（何Q, Q）,屁（爭，夕1）設(shè)平面AEF的一個法向量為,-T|. .,取 Zi= 1,得 I = (0, 2,- 1),v BDL AC BD! PA PAH AC二A 二 BDL平面 AFC為平面AFC的一法向量.又-:：.，v二面角E- AF- C為銳角,.所求二面角的余弦值為二.2. 解：（I）

17、證明：作 FM/ CD交 PC于 Mv點F為PD中點，二寺v點E為AB的中點.二捷兮扯二FH ,又 AE/ FM四邊形AEMI為平行四邊形， AF/ EMv AF?平面 PEC EMP 平面 PEC直線AF/平面PECB30)20)2則:2y=01)rF (1A (H)已知/ DAB=60 ,進一步求得：DEI DC設(shè)平面PAB的一個法向量為：|. ，.，.解得:所以平面PAB的法向量為:n* AB-0 f >nT AP=On=(ls 0,乎)二設(shè)向量|和的夾角為0,則：建立空間直角坐標系,1, 0), E (則 P （0, 0, 1）, C（0,m，o），B所以：肝（-爭L寺,1）,忑=（0, L, Q）.n-PC742二 COS 0 =I麗丨回，得廠:,|n|PC| PC平面PAB所成角的正弦值為一 .143. 解：（1）解法一：長方體ABCD- ABCD中，因為點E在棱AB上移動，所以E平面AADD，從而/ EDA為直線DE與平面AADD所成的平面角,Rt EDA 中，/ EDA=45° 今捶二AD二