微積分研討課——通過雙曲函數(shù)求積分剖析

1、通過雙曲函數(shù)求積分通過雙曲函數(shù)求積分電科四班杜新川例:(2008-2009第一學(xué)期-填空第四題)0000 xsec212secisinxcosixix-isinix-cosdxeedxixdixidxixx雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)雙曲正弦：雙曲余弦：雙曲正切：雙曲余切：雙曲正割：雙曲余割：2sinhxxeex2coshxxeexxxxxeeeexxxcoshsinhtanhxxeexhx2sinh1csc1sinhcosh22xxxxxxeeeexxtanh1cothxxeexhx2cosh1sec等軸雙曲線雙曲函數(shù)和三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系雙曲函數(shù)和三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系ixhxixxixixixihxixi

2、xixixsecseccoscoshsinsinhcsccsccotcothtantanh四則運(yùn)算四則運(yùn)算xxxxxxxxxxxxxxyxyxyxyxyxyxyxyxyx332222sinh4sinh33sinhcosh3cosh43coshcoshsinh22sinh1sinh21cosh2sinhcosh2coshtanhtanh1tanhtanh)tanh(sinhcoshcoshsinh)sinh(sinhsinhcoshcosh)cosh(求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則（sinh x)=cosh xsinh x)=cosh x（cosh x)=sinh xcosh x)=sinh x（tanh x

3、)=sechtanh x)=sech2 2x=1-tanhx=1-tanh2 2 x x（coth x)=-cschcoth x)=-csch2 2x x（sech x)=-sech xsech x)=-sech x* *tanh xtanh x（csch x)=-cschxcsch x)=-cschx* *coth xcoth x積分變換積分變換CxxdxCxxdxCxxdxCxxdxCxhxdxCxhxdx)ln(sinhcoth)ln(coshtanhcoshsinhsinhcosh2tanhlncscharctansinsec玩一點(diǎn)高端的玩一點(diǎn)高端的 懸鏈線懸鏈線 與達(dá)芬奇的時(shí)代時(shí)隔與

4、達(dá)芬奇的時(shí)代時(shí)隔170170年，久負(fù)盛名的雅各布年，久負(fù)盛名的雅各布伯努利在一篇論伯努利在一篇論文中提出了確定懸鏈線性質(zhì)（即方程）的問題。實(shí)際上，該問題存在多年文中提出了確定懸鏈線性質(zhì)（即方程）的問題。實(shí)際上，該問題存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推測(cè)過懸鏈線是一條拋物線，但問題一直懸且一直被人研究。伽利略就曾推測(cè)過懸鏈線是一條拋物線，但問題一直懸而未決。雅各布覺得，應(yīng)用奇妙的微積分新方法也許可以解決這一問題。而未決。雅各布覺得，應(yīng)用奇妙的微積分新方法也許可以解決這一問題。 但遺憾的是，面對(duì)這個(gè)苦惱的難題，他沒有絲毫進(jìn)展。一年后，但遺憾的是，面對(duì)這個(gè)苦惱的難題，他沒有絲毫進(jìn)展。一年后，雅各布

5、的努力還是沒有結(jié)果，可他卻懊惱地看到他的弟弟約翰雅各布的努力還是沒有結(jié)果，可他卻懊惱地看到他的弟弟約翰伯努利發(fā)伯努利發(fā)表了這個(gè)問題的正確答案。而自命不凡的約翰，卻幾乎不表了這個(gè)問題的正確答案。而自命不凡的約翰，卻幾乎不 可能算是一可能算是一個(gè)謙和的勝利者，因?yàn)樗髞砘貞浾f：個(gè)謙和的勝利者，因?yàn)樗髞砘貞浾f： 我哥哥的努力沒有成功；而我卻幸運(yùn)得很，因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)了全面解我哥哥的努力沒有成功；而我卻幸運(yùn)得很，因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)了全面解開這道難題的技巧（我這樣說并非自夸，我為什么要隱瞞真相呢？）開這道難題的技巧（我這樣說并非自夸，我為什么要隱瞞真相呢？）沒錯(cuò)，為研究這道題，我整整一晚沒有休息沒錯(cuò)，為研究這道題，

6、我整整一晚沒有休息不過第二天早晨，我就滿不過第二天早晨，我就滿懷欣喜地去見哥哥，他還在苦思這道難題，但毫無(wú)進(jìn)展。他像伽利略一樣，懷欣喜地去見哥哥，他還在苦思這道難題，但毫無(wú)進(jìn)展。他像伽利略一樣，始終以為懸鏈線是一條拋物線。停下！停下！我對(duì)他說，不要再折磨自己始終以為懸鏈線是一條拋物線。停下！停下！我對(duì)他說，不要再折磨自己去證明懸鏈線是拋物線了，因?yàn)檫@是完全錯(cuò)誤的。去證明懸鏈線是拋物線了，因?yàn)檫@是完全錯(cuò)誤的。 可笑的是，約翰成功地解出這道難題，僅僅犧牲了可笑的是，約翰成功地解出這道難題，僅僅犧牲了“整整一晚整整一晚”的休息時(shí)間，而雅各布卻已經(jīng)與這道題持續(xù)搏斗了整整一年，這實(shí)在是一的休息時(shí)間，而雅

7、各布卻已經(jīng)與這道題持續(xù)搏斗了整整一年，這實(shí)在是一種種“奇恥大辱奇恥大辱”。)cosh(axay 函數(shù)表達(dá)式：函數(shù)表達(dá)式：這只是剛剛開始我們?cè)囍鴱膽益溇€的下定點(diǎn)我們?cè)囍鴱膽益溇€的下定點(diǎn)做漸開線會(huì)得到什么呢？做漸開線會(huì)得到什么呢？經(jīng)過一堆巴拉巴拉的微分幾何的運(yùn)算經(jīng)過一堆巴拉巴拉的微分幾何的運(yùn)算sin)42lntan(cosaayax這個(gè)又是什么鬼？這個(gè)又是什么鬼？曳物線曳物線(tractrix)(tractrix) 是指被是指被曳拉物體受垂直于初始靜曳拉物體受垂直于初始靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)繩線方向的牽引止?fàn)顟B(tài)時(shí)繩線方向的牽引力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡。力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡。好吧，說人話好吧，說人話 懸鏈線的頂點(diǎn)的漸開線是曳物線（tractrix).這條曳物線的漸進(jìn)線稱為懸鏈線的準(zhǔn)線好，繼續(xù)最速降曲線最速降曲線正交場(chǎng)離子運(yùn)動(dòng)輪擺線形成過程類比到懸鏈線呢？類比到懸鏈線呢？懸鏈線是直線上滾動(dòng)的拋物線懸鏈線是直線上滾動(dòng)的拋物線的焦點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的焦點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡試著旋轉(zhuǎn)一下兩種曲面呢試著旋轉(zhuǎn)一下兩種曲面呢偽球面?zhèn)吻蛎鎽益溍鎽益溍婊氐竭@個(gè)題：回到這個(gè)題： 不難發(fā)現(xiàn)其實(shí)所要求的被積函數(shù)就是不難發(fā)現(xiàn)其實(shí)所要求的被積函數(shù)就是1/2sechx1/2sechx，通過雙曲函數(shù)的積分變換可求，通過雙曲函數(shù)的積分變換可求得原函數(shù)得原函數(shù)40)nharctan(silim21)nharctan(si21sec210