高等代數(shù)(北大第三版)第一章多項式16剖析

1、一、一、k 重因式重因式設(shè)設(shè) 為數(shù)域為數(shù)域P的不可約多項式，的不可約多項式， ( )P ,f xx ( )p x則稱則稱 為為 的的 重因式重因式.( )f xk( )p x若若 1, 則稱則稱 為為 的的重因式重因式.k( )f x( )p x（若（若 =0=0， 不是不是 的因式的因式) ) k( )f x( )p x若若 ，但但 ( )|( )kpxf x1( ) |( ),kpxf x 定義定義若若 1, 則稱則稱 為為 的的單因式單因式.k( )f x( )p x1. 若若 的標準分解式為：的標準分解式為： ( )f x1211( )( )( )( )srrrsf xcpx pxpx

2、 則則 為為 的的 重因式重因式 . . ir1,2,is ( )ip x( )f x時，時， 為單因式為單因式 ;1ir ( )ip x時時, 為重因式為重因式 .1ir ( )ip x二、重因式的判別和求法二、重因式的判別和求法2. 定理定理6 若不可約多項式若不可約多項式 是是 的的 重因式重因式( )f xk( )p x(1),k 證證:假設(shè)假設(shè) 可分解為可分解為( )f x( )( ) ( ),kf xpx g x 1( )( )( )( )( )( )kfxpxkg x p xp x g x 1( )|( ) .kpxfx 其中其中( ) |( ) .p xg x則它是則它是 的微

3、商的微商 的的 重因式重因式.1k ( )fx ( )f x令令( )( )( )( )( ) ,h xkg x p xp x g x 是是 的的 重因式重因式( )p x( )fx 1k 且且 ,( ) |( )p xg x( ) |( )p xp x ( ) |( )( ),p xkg x p x ( ) |( )p xh x( ) |( )kpxfx 為為 的的 重因式，但未必是重因式，但未必是( )p x( )fx 1k ( )p x( )f x的的 重因式重因式. . k注意注意定理定理6 6的逆命題不成立的逆命題不成立，即即推論推論1若不可約多項式若不可約多項式 是是 的的 重因式

4、重因式則則 是是 的因式的因式，但不是但不是 的因式的因式.( )p x( )( )kfx( )f x(1),k ( )p x(1)( ),( ),( )kf xfxfx k推論推論2不可約多項式不可約多項式 是是 的重因式的重因式 ( )p x( )f x是是 與與 的公因式的公因式. ( )f x( )p x( )fx 推論推論3推論推論4多項式多項式 沒有重因式?jīng)]有重因式 ( )f x( ),( )1.f xfx ，若若 其中其中 為不可約多項式，為不可約多項式， 則則 為為 的的 重因式重因式. . ( )f x( )P f xx 11( ),( )( )( ) ,srrsf xfxp

5、xpx ( )ip x( )ip x1ir 根據(jù)推論根據(jù)推論3、4可用輾轉(zhuǎn)相除法可用輾轉(zhuǎn)相除法，求出求出( ),( )f xfx 說明說明來判別來判別 是否有重因式若有重因式是否有重因式若有重因式 ，還可由還可由( )f x的結(jié)果寫出來的結(jié)果寫出來. ( ( ),( )f xfx 532( )1020154f xxxxx 例例1. 判別多項式判別多項式 有無重因式有無重因式. ( )f x推論推論5注注: :不可約多項式不可約多項式 為為 的的 重因式重因式 為為 的的 重因式重因式. . ( )f x( )p x( )p xk( ),( )f xfx 1k 與與 有完全相同的不可約因式，有完全