徐為兵譯文：非線性框架的形狀靈敏度的可靠性分析

1、譯 文學(xué) 院： 船舶與建筑工程 專 業(yè)： 船舶與海洋工程 學(xué) 號： 0845511233 姓 名： 徐為兵 指導(dǎo)教師： 施興華 江 蘇 科 技 大 學(xué)2012年 04 月 02 日非線性框架的形狀靈敏度的可靠性分析 Terje Haukaas , Michael H. Scott摘要 提出了一個統(tǒng)一的,綜合的形狀靈敏度處理方法，其中包括構(gòu)件節(jié)點坐標(biāo)，橫截面的變化特性，以及球形無彈性框架結(jié)構(gòu)形狀參數(shù)。一個新奇之處在于對無論是位移和力為基礎(chǔ)的非線性梁柱行為的有限元構(gòu)想的幾何不確定性的考慮。形狀靈敏度方程使得不確定性幾何缺陷對結(jié)構(gòu)可靠性評估的相對影響有全面調(diào)查。 為此，有限元的可靠性分析用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)

2、模型，在此情況下一些重要方法可以被應(yīng)用。這里統(tǒng)一的方法是基于直接的鑒別方法，包括框架的有限元確定性的兼容性關(guān)系的變化，以及構(gòu)件的橫截面幾何特性，以獲得完整的形狀靈敏度方程。形狀靈敏度分析方程，應(yīng)用在OpenSees的軟件框架。大量的涉及鋼結(jié)構(gòu)，鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的例子表明幾何缺陷可能對結(jié)構(gòu)可靠性評估產(chǎn)生重大影響。2006年愛思唯爾有限公司保留所有權(quán)利。關(guān)鍵詞：形狀靈敏度直接微分法;幾何缺陷;結(jié)構(gòu)可靠性;梁列;非線性分析;OpenSees。1. 導(dǎo)言 結(jié)構(gòu)工程中的許多應(yīng)用需要計算關(guān)于輸入?yún)?shù)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)量的梯度,這被稱為響應(yīng)靈敏度分析。響應(yīng)靈敏度分析最常應(yīng)用于問題的優(yōu)化，如因受到限制最小化結(jié)構(gòu)成本和

3、為系統(tǒng)識別的目的最小化實測和數(shù)值響應(yīng)之間的差異。但在在結(jié)構(gòu)可靠性分析中第一階和第二階可靠性方法提出另一種優(yōu)化問題（一階可靠性方法和二階可靠性方法）。這些方法依賴于“最有可能的失效點”的測定，這是隨機變量約束優(yōu)化問題的解決方案。作為一種副產(chǎn)品，一階可靠性方法分析為根據(jù)其對結(jié)構(gòu)可靠性的相對影響來對不確定參數(shù)排名提供了重要方法。重要性在于此方法解決了由于不同的單位個體反應(yīng)靈敏度無法直接比較的問題。它也強調(diào)，響應(yīng)靈敏度作為一個獨立產(chǎn)品在結(jié)構(gòu)設(shè)計上是有用的，因為它們表明結(jié)構(gòu)的靈敏度響應(yīng)了大量設(shè)計參數(shù)改變。響應(yīng)靈敏度在基于梯度的優(yōu)化算法的應(yīng)用中有三個要求：效率，準確性，一致性。響應(yīng)靈敏度的高效的計算需要基

4、于梯度算法可與自由梯度方法競爭，從計算成本方面來說包括響應(yīng)面方法。在高維空間進行優(yōu)化變量時這是特別重要的，在這種情況下，通過有限的差異反復(fù)運行以獲得梯度，是不可行的。在優(yōu)化算法中為了避免收斂問題，精度是必要的，由于梯度上即使是很小的誤差可能執(zhí)行不良。一致性要求源于利用近似的數(shù)值模型以獲得結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。因為它在優(yōu)化問題上采用近似響應(yīng)，它是所要求的近似響應(yīng)的梯度。因此，追求“精確”梯度理論邊界值問題是沒有意義的。事實上，這將導(dǎo)致函數(shù)值和梯度之間的不一致。 有兩種方法可用來獲取響應(yīng)的靈敏度：有限差分法（FDMS）和直接分化法（DDM）。有限差分方法采用被擾亂的參數(shù)值進行結(jié)構(gòu)分析的重新運行來估計響應(yīng)靈敏

5、度。因此，它是一個計算效率低下的方法。此外，F(xiàn)DMS的準確性遭受關(guān)注。對于非線性問題選擇參數(shù)擾動值不是一個簡單的任務(wù)。如果擾動太小了，會引入四舍五入的誤差;而如果擾動過大，局部的非線性可能會導(dǎo)致對靈敏度的不準確估計。然而，F(xiàn)DMS滿足一致性的要求，因為它是在有限差分方程中采用的近似響應(yīng)。DDM提供一個有吸引力的替代物來替代FDMS。在獲得和執(zhí)行分析靈敏度方程的一次性成本內(nèi)應(yīng)獲得有限元響應(yīng)算法，高效，準確，一致的反應(yīng)靈敏度。沒有有限差分計算是發(fā)生在DDM內(nèi)的，相反，響應(yīng)方程與普通的響應(yīng)計算一起經(jīng)計算機分析鑒別和實施。一些研究人員對發(fā)展分析方程作出了貢獻，包括Choiand Santos2， Ts

6、ay and Arora24，Liu and Der Kiureghian15，Zhang and Der Kiureghian25，Kleiber et al. 13Conte et al. 3，Roth and Grigoriu20， Scott et al. 22和Haukaas and Der Kiureghian9。 DDM的效率比FDMS要高，因為重復(fù)運行響應(yīng)分析是沒有必要的。準確性可保證和響應(yīng)響應(yīng)在同一精度，因為相同的方程的解被用來獲得響應(yīng)和響應(yīng)靈敏度。一致性是他們已經(jīng)在空間和時間上被有限元程序離散之后后， “通過區(qū)分響應(yīng)方程實現(xiàn)的，因此，DDM是首選的計算響應(yīng)靈敏度的方法。在本

7、文中，OpenSees的軟件框架16被擴大和應(yīng)用于形狀靈敏度分析。OpenSees（地震工程模擬開放系統(tǒng)）是一個專門為地震工程分析而開發(fā)的開放源代碼的，面向?qū)ο蟮模ㄓ玫挠邢拊a。OpenSees一開始是作為太平洋地震工程技術(shù)研究中心（PEER）試驗臺模擬的計算平臺，并一直被國家科學(xué)基金會贊助的 George E. Brown Jr. Network小網(wǎng)絡(luò)地震工程模擬（NEES）采用。由 Haukaas and Der Kiureghian8 對Open-Sees 的響應(yīng)靈敏度和可靠性分析能力進行研發(fā)擴展這讓分析師可以表征輸入的參數(shù)作為隨機變量并計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)事件的概率。這就是所謂的有限元可靠

8、性分析（FERA），與所謂的重點對響應(yīng)的二次矩統(tǒng)計的隨機有限元方法不同。相比之下，可靠性的分析，特別是FERA適合于計算罕見的響應(yīng)事件概率。這滿足了在性能為主的工程方面不斷增長的需求，以以一定概率的方式評估在激烈荷的罕見事件中結(jié)構(gòu)行為。在OpenSees中響應(yīng)靈敏度的實現(xiàn)是基于DDM的。實現(xiàn)分為了一個總體框架和具體對象的實現(xiàn)。后者反映了OpenSees被組織成元素，區(qū)域和實物的事實。靈敏度計算的框架，以及對選定的元素，區(qū)域和實物具體的實現(xiàn)已經(jīng)到位。這包括與節(jié)點坐標(biāo)相關(guān)的靈敏度，而以往的研究表明可能是結(jié)構(gòu)可靠性不確定性的一個重要來源，尤其是考慮到非線性結(jié)構(gòu)的行為9。在本文中，DDM形狀靈敏度方程

9、包括的相關(guān)的反應(yīng)靈敏度有：（1）節(jié)點坐標(biāo)，（2）全球性的結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的形狀參數(shù)，（3）尺寸和纖維離散橫截面細節(jié)。特別重要的是在位移和力為基礎(chǔ)的構(gòu)想中統(tǒng)一的梁柱元素的形狀靈敏度方程的發(fā)展。提出包含各級形狀靈敏度的梯度計算（結(jié)構(gòu)，元素和截面）而且他們在OpenSees的應(yīng)用允許在一個可靠性分析中包含廣泛的不確定的幾何缺陷。涉及鋼結(jié)構(gòu)和鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的兩個數(shù)值例子讓我們進一步了解了不確定幾何缺陷相對其他不確定結(jié)構(gòu)特性的重要性。2.響應(yīng)靈敏度在有限元可靠性分析中的應(yīng)用本文對響應(yīng)靈敏度的需要源于結(jié)構(gòu)可靠性分析。為了獲得確切的可靠性評估，采用復(fù)雜的結(jié)構(gòu)模型模擬結(jié)構(gòu)性能。顯然，由于模型和輸入?yún)?shù)中的不確定性這

10、種預(yù)測只能在一定的概率意義上進行。這促使利用FERA獲得響應(yīng)事件的概率預(yù)測。事實上，新興的基于性能的工程方法被設(shè)想應(yīng)用在可靠性框架6,17。FERA的主要目標(biāo)是獲得罕見的用戶定義的響應(yīng)事件的性能函數(shù)的概率。分析的一個重要副產(chǎn)品是參數(shù)的重要性并根據(jù)它們的相對重要性設(shè)法排名變量。響應(yīng)靈敏度就如下面的描述一樣代表分析中的一個重要組成部分。單一執(zhí)行的情況下的可靠性問題函數(shù)是用多重積分表示的其中p是待求的概率，g是為了求解概率識別響應(yīng)事件的執(zhí)行函數(shù)，f（H）是隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)，這是收集在矢量H中的。在FERA中執(zhí)行函數(shù)在響應(yīng)數(shù)量U = U（H）方面被同有限有限元分析區(qū)分開來。隨機變量通常用邊緣

11、概率分布和相關(guān)系數(shù)指定。方程（1）的解析解是得不到的;然而，如FORM和SORM抽樣技術(shù)等方法提供了近似的解。特別需要關(guān)注的是在有限元可靠性分析中FORM，其次是高效的重要抽樣可用來糾正潛在的非線性。這是分析策略是有益的，因為它需要對執(zhí)行函數(shù)相對較少的評估，實際上較少的執(zhí)行有限元分析。此外，F(xiàn)ORM分析產(chǎn)生參數(shù)重要性的方式，會被用在這個文章中。在FORM中， 方程 (1)中的積分邊界 g = 0在不相關(guān)的標(biāo)準正態(tài)隨機變量被轉(zhuǎn)換的空間Y = Y(H)中被用超平面近似。非線性執(zhí)行函數(shù)中，近似的理想點是界面上的g = 0的點即最接近Y空間的原點的點。這一點，被稱為最可能的失效點（MPP）和用Y*表示

12、 ，是約束優(yōu)化問題的解解決這個優(yōu)化問題最有效的算法利用執(zhí)行函數(shù)的梯度，即。執(zhí)行函數(shù)的微分的鏈式法則服從導(dǎo)數(shù)是容易得到的，因為g是響應(yīng)量U的一個簡單的代數(shù)函數(shù)。意味著需要計算響應(yīng)梯度，這是本文重點，矩陣是概率變換的雅可比行列式。這項工作要用到納塔夫變換14，因為所需的雅可比行列式是已經(jīng)在OpenSees提供的。這個變換是Rosenblatt變換19,10一個有吸引力的替代品，因為它允許各種概率分布類型更廣泛的的相關(guān)值。當(dāng)每次對執(zhí)行函數(shù)進行評估時可靠性算法和有限元分析模塊之間的交流組成利用實現(xiàn)隨機變量H和返回值U更新有限元模型與 。已知經(jīng)測定的Y*，概率p形成取決于其中U是標(biāo)準正態(tài)分布的積分函數(shù)，

13、是在 FORM中定義的可靠性指數(shù)為。抽樣分布中心在Y*的重要性抽樣可能隨后被執(zhí)行，因為與抽樣中心在隨機變量的平均中實現(xiàn)的蒙特卡羅抽樣法相比，它是一種高效的方案。本文的發(fā)展允許除隨機材料和負載變量之外在節(jié)點坐標(biāo)和構(gòu)件截面幾何特性方面的不完善的表征作為隨機變量。特別要關(guān)注的是對這些與其他不確定性來源相關(guān)的變量的重要性的調(diào)查。顯然，由于變量屬于不同維度向量的分量不能用于此目的。相反，F(xiàn)ORM的重要性措施得到了運用，在此法中分量有統(tǒng)一的維度。這些方法的基礎(chǔ)是由Hohenbichler和Rackwitz11和Bjerager和Krenk1提出。FERA中重要性方法的應(yīng)用是由Haukaas 和Der Ki

14、ureghian 9提出，下面的向量對隨機變量排名進行排名： 是由方程（3），是概率變換在MPP的雅可比行列式，意味著參數(shù)矩陣中的每個元素的平方根。有人指出，會減少到這是在可靠性分析中隨機變量之間沒有表現(xiàn)出相關(guān)性時眾所周知的“alpha-vector”的規(guī)?；姹?。此外，-vector可以通常由測量得到，因此。中的元素被解釋為單個隨機變量對結(jié)構(gòu)的可靠性的貢獻。而且，負（正）分量表示相應(yīng)的隨機變量起到類似電阻（負載）變量的的作用。3.高次方的響應(yīng)靈敏度方程 方程（3）中執(zhí)行函數(shù)的梯度意味著需要計算的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的靈敏度。為了通過DDM計算響應(yīng)靈敏度的，控制結(jié)構(gòu)響應(yīng)方程被分化了。為了描述結(jié)構(gòu)模型的材料

15、，幾何特性，負荷參數(shù)參數(shù)H的設(shè)置，全球靜態(tài)平衡方程有這樣的形式 其中Pr是結(jié)構(gòu)內(nèi)部抵抗力的矢量。內(nèi)力可能明確地取決于H，也隱含通過位移響應(yīng)矢量U。矢量Pf代表作用于結(jié)構(gòu)的外部載荷。在方程（6）中忽略了慣性力和阻尼力，因為本文認為動態(tài)平衡的影響與元素和部分構(gòu)想是獨立的。從（6）式到動態(tài)平衡和相應(yīng)響應(yīng)靈敏度的計算的推廣 是簡單的5。為了在結(jié)構(gòu)水平上構(gòu)造響應(yīng)靈敏度方程，（6）式與從向量H選擇任何相關(guān)的參數(shù)有區(qū)別的： 微分的鏈式法則應(yīng)考慮到Pr對顯性和隱性的依賴。矢量是反作用力對固定位移的條件導(dǎo)數(shù)。矢量外部負載的導(dǎo)數(shù)，只有當(dāng)參數(shù)代表作用于結(jié)構(gòu)的負載時，它才是非零的。重排式。方程（7）為節(jié)點響應(yīng)靈敏度1

16、3給出了一個方程的線性系統(tǒng)： 這里是切線剛度矩陣。對于向量H中的每個參數(shù)，方程（8）中等式右側(cè)和方程組的解的集合給出了相應(yīng)的節(jié)點響應(yīng)靈敏度矢量。方程（8）的線性形式和切線剛度矩陣的再用有利于提高DDM計算上的效率。 方程（8）式中的靈敏度方程。需要力向量p對于每個元素的導(dǎo)數(shù)的集合，對于固定節(jié)點位移：這里是集合程序， u是元素位移矢量。有人指出該集合應(yīng)所有包含非彈性材料響應(yīng)的元素，不管是否對應(yīng)個別元素的參數(shù)。存在于向量U和u之間的一到一的映射是獨立于的，因此不需要微分。利用DDM計算響應(yīng)靈敏度的關(guān)鍵是從結(jié)構(gòu)模型的每個元素中獲得。 的計算取決于非彈性材料的響應(yīng)的元素方程式，正如接下來的部分的描述：

17、4.元素的平衡和運動方程的概述 平衡和協(xié)調(diào)方程的概述需要合成元素貢獻的抵御力矢量如圖1所示，展示的是Filippou和Fenves4的結(jié)論。圖1左側(cè)的方程代表不同層次之間的內(nèi)力平衡而右側(cè)的代表每個級別變形之間兼容性的關(guān)系。圖1的中間列表示在每個級別鏈接力和變形的要素關(guān)系。在全球體系中，一個元素抵抗力和節(jié)點位移都分別包含在向量p和u中。在一個基本的系統(tǒng)中構(gòu)想梁柱元素，與剛體位移模式無關(guān)，其中向量v收集元素變形和向量q收集相應(yīng)的力。對于小位移，節(jié)點位移和元素變形之間兼容性的關(guān)系是線性的，正如矩陣向量產(chǎn)品描述的那樣。矩陣A描述力和位移在球形坐標(biāo)系統(tǒng)和基本坐標(biāo)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)變的定義如球形坐標(biāo)系中元素的定

18、位規(guī)定的那樣。 相對梯度關(guān)系給出基本系統(tǒng)和球形系統(tǒng)之間中的元素力的等式關(guān)系。 圖1所示的和b矩陣在元素的基本系統(tǒng)內(nèi)描述平衡和兼容性關(guān)系，這在本文后面討論。部分兼容性矩陣，將部分變形和在橫截面區(qū)的任何點的材料應(yīng)變聯(lián)系起來。 圖1 梁柱元素的主方程式5. 靈敏度推導(dǎo)的統(tǒng)一方法 如上式（9），通過DDM進行響應(yīng)靈敏度分析要求對結(jié)構(gòu)模型中每個元素的p對于固定的u的條件導(dǎo)數(shù)進行計算。當(dāng)參數(shù)代表了材料的一種性能，而且采用標(biāo)準的有限元方程時，在給定位移和應(yīng)變13的條件下為了確定，直接求平衡方程和材料本構(gòu)關(guān)系是足夠的。此外，Haukaas和Der kiureghian7承認，為獲得正確的靈敏度結(jié)果，代表幾何參

19、數(shù)時，給定位移的條件下，還必須求出運動學(xué)關(guān)系。 雖然上述方法提供了基于位移的有限元素的正確的結(jié)果，但是它不適用于基于力的方程，其中未指定位移場。在此采用的獲得形狀靈敏度方程的方法是合并元素力向量的全導(dǎo)數(shù)與連接圖1中每個級別的平衡和兼容性關(guān)系的導(dǎo)數(shù)。在代表的材料參數(shù)的情況下，最初是由Scott等 22發(fā)展的，本文中導(dǎo)數(shù)被擴展到代表幾何參數(shù)的情形。這方法基本上由圖1中每個級別相結(jié)合的四個方程組成?？偟膩碚f，這些方程是：（一）平衡方程的導(dǎo)數(shù)。（二）運動兼容性方程的導(dǎo)數(shù)。（三）力矢量包括本構(gòu)關(guān)系的在目前的水平的全導(dǎo)數(shù)。（四）力矢量在下一水平連接較低水平的全導(dǎo)數(shù)。 這種方法被用來證明球形元素的力的條件導(dǎo)

20、數(shù)。球形坐標(biāo)系統(tǒng)和基本坐標(biāo)系統(tǒng)的平衡和兼容性關(guān)系的導(dǎo)數(shù)式是：同時，球形和基本系統(tǒng)下力的全導(dǎo)數(shù)式是：首先，式(10a)通過代入球形和基本力被按照方程式定義展開。式(10c) 和 (10d)分別對應(yīng)于：其中和。然后將此式與(10b)合并然后，元素剛度矩陣的定義，通過消去和相關(guān)的項來簡化表達式，元素力的條件導(dǎo)數(shù)的最終表達式是式(13)右邊的第一和第三項表示在元素力的作用下元素長度變化的靈敏度，正如矩陣所表述的那樣。這個矩陣直接計算元素的方向余弦并且對于那些不表示元素的節(jié)點坐標(biāo)的任何參數(shù)來說它是等于零的。第二項表示與下一水平的連接，基本坐標(biāo)系中計算是必需的。條件導(dǎo)數(shù)依賴于非線性材料行為的元素構(gòu)想，正如

21、接下來的基于位移和基于力的梁柱構(gòu)想部分所展示的那樣。6.基于位移的元素的梯度計算 基于位移的梁柱元素的構(gòu)想遵循標(biāo)準有限元分析程序，其中元素位移場是從節(jié)點位移12,26篡改過來的。兼容的部分變形是從元素變形改過來的，在截面和基本力之間有弱平衡，如圖1表明的那樣。線性軸向位移和立體的 在基于位移的元素的實現(xiàn)中，在標(biāo)準化的定義域內(nèi)= 1, 1。用數(shù)字的集合來對平衡關(guān)系進行評估（尤其是兩點高斯集合）。x和的定義域的轉(zhuǎn)換是按照式進行的，其中L是元素的長度。因此，轉(zhuǎn)換的雅克比式是而且平衡關(guān)系的數(shù)字集合是 其中是集合點的個數(shù)，是第i個點的下標(biāo)，是相關(guān)聯(lián)的集合重量。對于高斯集合來說，點和重量都是確定的，因此它

22、們的導(dǎo)數(shù)都將是等于零。 通過將x和轉(zhuǎn)換式替換到是可以對式(15)進一步簡化的，此時平衡關(guān)系變?yōu)椋浩渲袠?biāo)準的插入矩陣為式(17)中的形式與元素的長度是無關(guān)的，因此對于所有參數(shù)來說都將等于零。為了根據(jù)前文所建立的程序得到條件導(dǎo)數(shù)，關(guān)于的元素平衡和兼容性關(guān)系被分化了：基本的和部分的力矢量的全導(dǎo)數(shù)是 在式（18a）中是由和對于的獨立性組成的。類似于球形系統(tǒng)中的元素的力條件導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)，式 （18c）和（18d）的基本和部分力的導(dǎo)數(shù)分別被插入式（18a）。然后，將式（18b）與結(jié)果表達式和基本系統(tǒng)中單元剛度矩陣的定義合并，可將涉及的項消除。這個過程在位移為基礎(chǔ)的構(gòu)想中產(chǎn)生了相對于條件導(dǎo)數(shù)的下列方程：其中是

23、部分剛度矩陣。向量，是根據(jù)截面的基本響應(yīng)的梯度計算的。這在本文后面將進行討論。導(dǎo)數(shù)，是式（14）中插補矩陣的一個簡單的縮放，其中只有依賴于的項是1/L的共同的因素：元素長度的導(dǎo)數(shù)，是通過對描述元素方向的方向余弦進行微分獲得的。當(dāng)不對應(yīng)于其中一個元素節(jié)點的一個坐標(biāo)時此導(dǎo)數(shù)等于零。通過將式（20）代入式（19）可進一步簡化基本力的條件導(dǎo)數(shù)： 方程（20）和（21）的形式是特定于線性軸和三次埃爾米特橫向位移領(lǐng)域的假設(shè)，因為它可能將插值矩陣標(biāo)準化為式（17）中的。這個標(biāo)準化使得產(chǎn)生一個有效的數(shù)值執(zhí)行結(jié)果，因為在基本系統(tǒng)中它只需要式（21）中的一項來說明形狀靈敏度。涉及的導(dǎo)數(shù)的項將出現(xiàn)在條件導(dǎo)數(shù)中，當(dāng)假

24、設(shè)位移場沒有被元素長度標(biāo)準化時。 7.基于力要素的梯度計算 在力的方程式中23，積分形式所表現(xiàn)的是協(xié)調(diào)關(guān)系而非平衡關(guān)系。平衡和協(xié)調(diào)方程是s = bq和v=，分別表示在圖1中。根據(jù)基本系統(tǒng)中的靜力平衡，矩陣b從元素結(jié)束力內(nèi)插部分力： 由于通過式（22）中的元素長度對x坐標(biāo)標(biāo)準化，力插值矩陣不不依賴于任何參數(shù)，因此，其導(dǎo)數(shù)等于零。協(xié)調(diào)關(guān)系是靠數(shù)值積分來進行評估的Neuenhofer和Filippou18為基于力的元素開發(fā)了一種狀態(tài)確定的程序，它繞過必須滿足式（23）中協(xié)調(diào)關(guān)系所需要的內(nèi)部迭代，而沿元素在每節(jié)執(zhí)行平衡。GaussLobatto正交基于力的元素的實現(xiàn)的標(biāo)準，因為它將積分點置于元素的端點

25、，在沒有單元載荷時此處的彎矩是最大的。在基于力的方程式中為了確立條件導(dǎo)數(shù)，將平衡和協(xié)調(diào)關(guān)系對進行求導(dǎo)：基本力矢量和截面力矢量的全導(dǎo)數(shù)是式（24a）和（24b）利用了和b相對于的獨立性。合并方程得到的一個表達式的過程概念上類似基于位移的列方程式，但稍微有點復(fù)雜。首先，式（24c）和（24d）的基本和截面力的導(dǎo)數(shù)被插入式（24a）中。重新整理最終表達式，給出了的方程： 其中，是截面撓度矩陣。將這個表達式與式（24b）合并，然后從元素撓度矩陣的定義出發(fā)，和恒等式，消去與相關(guān)的項，條件導(dǎo)數(shù)的最終表達式為 從式（23）的元素相容性關(guān)系出發(fā)，可進一步簡化條件導(dǎo)數(shù)：重要的是要注意式（21）和（27）對于基于

26、位移和力方程組功能的等價，分別的，其中只有一項是用來說明元素基本系統(tǒng)的形狀靈敏度。當(dāng)剪切力的插值出現(xiàn)時，另外的涉及的項會在式（27）中出現(xiàn)；然而，通常情況下，忽略剪切效應(yīng)，方程（27）的形式造成導(dǎo)致一個有效的數(shù)值實施，因為是零。切面力的條件導(dǎo)數(shù)，取決于本構(gòu)模型在沿元素的各積分點，如下面的部分所討論的。8.在截面和物質(zhì)水平上的梯度計算 沿元素的的每一個截面響應(yīng)在截面變形方面被定義，e和相應(yīng)的截面力，或應(yīng)力合力，s，如圖1所示。不管元素方程組，截面力的條件導(dǎo)數(shù)，需要確定元素對球形抵抗載荷力向量梯度的貢獻，如式（21）和（27）。這可以通過以下方式獲得導(dǎo)數(shù)一個封閉形式的壓力，由此產(chǎn)生的可塑性直接微分

27、關(guān)系或材料的數(shù)值積分超過截面的應(yīng)力。在前者情況下，問題簡化為求一個截面本構(gòu)律的解析梯度方程，而在后一種情況下，截面的兼容和平衡方程，和，分別地，必須進行求解。截面的積分是通過一個用戶定義的纖維數(shù)量用數(shù)值積分評估，：其中假想水平截面的截面兼容性矩陣仍保持水平，包含纖維的位置，。在第i個光纖位置的材料應(yīng)力是，是相應(yīng)的纖維面積。和前面的章節(jié)的程序相同，條件截面力的條件導(dǎo)數(shù)是通過對截面的平衡和協(xié)調(diào)方程對微分獲得的： 截面力矢量和材料應(yīng)力的全導(dǎo)數(shù)是： 其中，是第i個纖維位置的應(yīng)變。截面力和材料應(yīng)力的替代物從式（29c）和（29d）求導(dǎo)而得，分別代入（29a）隨后結(jié)合式（29a）和（29b），其次通過截面

28、剛度矩陣消除關(guān)于的項，給出截面力的條件導(dǎo)數(shù)其中是材料剛度。導(dǎo)數(shù)和分別對應(yīng)位在第i個截面纖維置和大小的變化。對于構(gòu)件橫截面的尺寸和細節(jié)來說，這些項在計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)敏感度是很重要的。關(guān)于光纖離散寬的法蘭部分和的計算在附錄I中有說明。類似的方法進行鋼筋混凝土部分中顯得尤為重要以確定鋼筋的位置和數(shù)額的響應(yīng)靈敏度，如在在本文末尾的數(shù)值例子中說明。 在計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)靈敏度的剩余任務(wù)是獲得各處纖維位置的物質(zhì)響應(yīng)。許多參考文獻提供特定本構(gòu)關(guān)系的響應(yīng)靈敏度的詳細推導(dǎo)，包括Zhang and Der Kiureghian25，Kleiber等13，Roth和Grigoriu20，和Haukaas and Der Ki

29、ureghian8。OpenSees的實現(xiàn)包括的彈性模型和為無彈性行為的鋼和混凝土許多數(shù)字單軸材料模型。9.關(guān)于球形參數(shù)的反應(yīng)梯度 在上一節(jié)的推導(dǎo)包括元素節(jié)點坐標(biāo)的反應(yīng)靈敏度。然而，它經(jīng)常獲得敏感全球的形狀參數(shù)，其中包括離散到幾個有限的元素框架構(gòu)件的終點坐標(biāo)，以及描述結(jié)構(gòu)全球幾何缺陷的參數(shù)。因此，一個全球性的形狀參數(shù)的攝動擾動幾個節(jié)點的坐標(biāo)。 為了獲得與一個全球形狀參數(shù)相關(guān)的響應(yīng)靈敏度，需要獨立的節(jié)點坐標(biāo)之間明確的關(guān)系，以及形狀參數(shù)。對于一個形狀參數(shù)的情況下，記為，這可能與構(gòu)件節(jié)點坐標(biāo)重合，這種關(guān)系表示為其中是取決于球形參數(shù)的節(jié)點坐標(biāo)的集合。 比如， 作為一個例子，在2維空間中假想有一個有n個

30、節(jié)點的多元素直線構(gòu)件。該構(gòu)件的坐標(biāo)兩端均表示為和。對于所求的反應(yīng)靈敏度這四個參數(shù)，任何一個都可以是參數(shù)的。為了建立式（31）明確的形式，其他構(gòu)件的節(jié)點坐標(biāo)用端點坐標(biāo)表示： 其中n1是被離散的構(gòu)件的標(biāo)號。 為了獲得球形參數(shù)的響應(yīng)靈敏度，對節(jié)點響應(yīng)靈敏度應(yīng)用微分的鏈式法則： 矩陣在前面部分是從導(dǎo)數(shù)得到的，是對式(31)求導(dǎo)得到的。以式（32）為例，當(dāng)響應(yīng)量u的靈敏度方面的要求構(gòu)件，節(jié)點1的x坐標(biāo)式（33）變?yōu)楫?dāng)表示一個球形結(jié)構(gòu)的形狀缺陷時，矢量 是通過計算每個節(jié)點處由于單位球形缺陷而產(chǎn)生的缺陷建立的。因此，被解釋為一個影響系數(shù)的矢量。球形結(jié)構(gòu)的形狀缺陷，以及多元構(gòu)件的端點坐標(biāo)是不確定量。因此，在結(jié)

31、構(gòu)可靠性分析中它們應(yīng)被視作隨機變量，就像接下來的鋼筋和混凝土框架的數(shù)值例子說明的那樣。10.數(shù)值算例 這篇文章推導(dǎo)出的響應(yīng)靈敏度方程已經(jīng)被應(yīng)用在OpenSees中而且已經(jīng)被有線差異計算所證實。為了研究與其他不確定的結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)的不確定幾何缺陷的重要性，靜力推覆可靠性分析被應(yīng)用在兩種結(jié)構(gòu)中：鋼架結(jié)構(gòu)和鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)。靜力推覆分析是地震工程中能力評估流行的分析方法，因為它的評估結(jié)構(gòu)以達到目標(biāo)位移的需求的能力。因此，本文的分析是為了著重介紹結(jié)構(gòu)能力的不確定性評估。 10.1.鋼結(jié)構(gòu)的有限元可靠性分析 圖2中第一個結(jié)構(gòu)認為是三開間，三層鋼結(jié)構(gòu)框架。每個構(gòu)件都離散成四個基于位移的元素來代表沿構(gòu)件長度

32、曲率的非線性分布。一纖維離散代表框架構(gòu)件的寬法蘭鋼截面的響應(yīng)，如圖2所示。每個法蘭有兩個纖維和網(wǎng)格有十個纖維。每個應(yīng)力應(yīng)變行為都用圖5a中所示的單軸材料模型表示，它有個3個材料參數(shù)：(1)彈性模數(shù)E；（2）屈服強度；(3)二階剛度比。 結(jié)構(gòu)模型的所有材料和幾何參數(shù)都被認為是不確定的。各個構(gòu)件的截面尺寸d，和被模型化平均值分別為250，2，250和20毫米，和2%的變異系數(shù)(cov)。每個的彈性模數(shù)E，是一個對數(shù)隨機變量，其平均值為200,000MPa，5% cov，而且和其他構(gòu)件的彈性模數(shù)的相關(guān)系數(shù)為0.6。每個構(gòu)件鋼材的屈服強度，是一個均值為300MP構(gòu)件a的對數(shù)正態(tài)分布隨機變量，10cov

33、，與其他構(gòu)件的相關(guān)系數(shù)為0.6。每個構(gòu)件的剛度比是均值為0.02的對數(shù)正態(tài)分布隨機變量，10cov，與其他構(gòu)件的相關(guān)系數(shù)為0.6?？偣玻?1個構(gòu)件×7個參數(shù)=147隨機變量表示材料和截面的幾何參數(shù)。此外，16個連接節(jié)點每個節(jié)點的兩個坐標(biāo)被認為是不相關(guān)的正態(tài)隨機變量，給出總計179個隨機變量。縱坐標(biāo)的標(biāo)準偏差是10毫米，而水平坐標(biāo)的標(biāo)準偏差在10毫米到25毫米之間。該高度的標(biāo)準偏差的變化是由于幾何缺陷的存在而造成建筑潛在的一個全球性的搖擺。應(yīng)當(dāng)注意到，假定每個構(gòu)件都保持筆直，內(nèi)部構(gòu)件節(jié)點的位置由式（32）描述。為了調(diào)查幾何缺陷的重要性相對于其他結(jié)構(gòu)參數(shù)確定載荷應(yīng)用于結(jié)構(gòu)。外部連接的重力

34、荷載為50kN，內(nèi)部的為100kN。橫向的載荷隨高度變化，最大值為400kN。圖2 鋼框架結(jié)構(gòu)。顯示節(jié)點號和元素號（括號內(nèi)） 為了評估結(jié)構(gòu)需求的側(cè)向位移，為了獲得總漂移最大值超過3的概率需要進行有限元可靠性分析。為了這次響應(yīng)事件功能函數(shù)是表1 鋼結(jié)構(gòu)框架中最重要的25個參數(shù)的排名 其中節(jié)點13的水平位移。當(dāng)獲得它的功能函數(shù)及其梯度之后，可得到FORM中的MPP。即，隨機變量的不同的實現(xiàn)五個循環(huán)的有限元分析是必需的。由此產(chǎn)生的可靠性指標(biāo)，是2.01，這意味著有0.022的概率超過3的目標(biāo)漂移。圖3顯示的位移響應(yīng)在節(jié)點13的響應(yīng)與平均實現(xiàn)和隨機的變量的MPP實現(xiàn)。正如所料，平均觀察為溫和的非線性，

35、同時顯著屈服發(fā)生在失效的位移。本文特別關(guān)注的是根據(jù)方程（5）中的的重要方法排名隨機變量。179個隨機變量中最重要的 25個變量如表1所示。列構(gòu)件的屈服強度，構(gòu)件12除外，位居第34位，排名在最重要的參數(shù)內(nèi)。這強調(diào)了一個事實，在這個例子中，屈服發(fā)生在柱中。網(wǎng)格深度，d，和法蘭寬度，表1中從12到25的構(gòu)件，表明缺陷在幾何尺寸中的重要性，盡管cov只有2%。右列中的節(jié)點4,8,和12的水平坐標(biāo)排在50個最重要的隨機變量中，因此表明缺陷在結(jié)構(gòu)的球形幾何中相對較高的重要性。 10.2鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的有限元可靠性分析調(diào)查對鋼架的觀察對鋼筋混凝土是否也是有效的。為此，圖4中對兩開間，兩層的結(jié)構(gòu)進行了可靠性

36、分析。構(gòu)件以一個單一的基于力的元素代表捕獲的曲率變化，由于軸向和力矩力量的相互作用。 如圖4中橫截面的每個纖維是仿照單軸材料模型?；炷敛牧侠w維的核心和蓋是用單軸模型與改良的KentPark骨干曲線描述的21并用零張力線性卸載/重新加載，分別如圖5b和c所示，。在前面的例子中使用的雙線性模型代表對加固鋼的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)。圖3 平均載荷位移響應(yīng)和鋼結(jié)構(gòu)隨機變量MPP的實現(xiàn) 圖4 鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)。顯示節(jié)點編號和元素編號（括號內(nèi)）。認為所有的材料和幾何參數(shù)是不確定的。的橫截面尺寸的b和h是不相關(guān)的正常隨機變量且圖4中給出了平均值和5的cov。每個鋼筋的面積，是一種平均值如圖4的正態(tài)隨機變量。 和2

37、的cov。每個構(gòu)件涉及構(gòu)件到具體的厚度是一個平均厚度為75毫米和10cov的正態(tài)隨機變量。 圖5 梁和柱蓋區(qū)域（a）鋼鐵（b）在自由混凝土，以及柱核心區(qū)域的（c）有約束混凝土材料模型。每個的加強筋的彈性模量E，是一個對數(shù)正態(tài)分布隨機變量的均值為20MPa，5cov，與其他構(gòu)件E的相關(guān)系數(shù)0.6。加強筋屈服強度，是對數(shù)正態(tài)分布隨機變量的每個構(gòu)件構(gòu)件平均420MPa，10的cov，與其他構(gòu)件的相關(guān)系數(shù)0.6。剛度比，每個構(gòu)件的加強筋是一個對數(shù)正態(tài)分布的隨機平均0.05，10的cov，和其他構(gòu)件的的相關(guān)系數(shù)0.6。圖5b和c中的所有混凝土材料參數(shù)是對數(shù)正態(tài)分布隨機變量，平均值如圖所示和10的cov。

38、混凝土的強度參數(shù)，和，相關(guān)性為0.6，以及相應(yīng)的應(yīng)變，和。每個節(jié)點的兩個坐標(biāo)被視為不相關(guān)的正態(tài)隨機變量。垂直坐標(biāo)被分配了一個10毫米的標(biāo)準偏差，而橫向坐標(biāo)分配標(biāo)準從10毫米到至多20毫米的偏差。這個總也有142個隨機變量可靠性分析。重力荷載850kN=1700千牛，而橫向載荷和。所有應(yīng)用負載是確定的。這個例子中的執(zhí)行函數(shù)被定義為確定最大位移將超過2偏離的概率：其中是節(jié)點7的側(cè)向位移。一個FORM有限元的可靠性分析在九個迭代收斂可靠性指數(shù)2.76與相應(yīng)的概率0.0029。隨機變量的最可能失效點即發(fā)生重大非線性處，如圖6所示。表2中列出了25個最重要的隨機變量。值得注意的是，它被發(fā)現(xiàn)的構(gòu)件的橫截面

39、的高度h毗鄰的內(nèi)在聯(lián)系是最重要的參數(shù)，其次是相同構(gòu)件的加強筋的屈服強度。這些結(jié)果表明，幾何缺陷在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的可靠性的重大影響。人們還注意到，蓋混凝土的深度也有相當(dāng)?shù)闹匾?。這一發(fā)現(xiàn)可進一步證明在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)蓋的大量分散的調(diào)查。正如前面的例子，用水平節(jié)點坐標(biāo)表示的全球結(jié)構(gòu)形狀缺陷在25個最重要的隨機變量中也淫節(jié)點2，3，5也有相當(dāng)?shù)闹匾?。? 在鋼筋混凝土例子中25個最重要的參數(shù)排名11. 總結(jié) 一個全面和統(tǒng)一的通過直接微分的方法來處理響應(yīng)靈敏度方程被發(fā)現(xiàn)了。幾何，材料和負荷參數(shù)都包括在雙方的基于力和基于位移的非彈性梁柱響應(yīng)方程的建立。全球形狀參數(shù)的靈敏度方程解釋了被離散成多個有限元素的

40、結(jié)構(gòu)構(gòu)件的幾何缺陷。分析方程已經(jīng)被應(yīng)用，并被OpenSees軟件驗證。三段式三層鋼框架的有限元可靠性分析展示橫斷面構(gòu)件尺寸，特別是截面深度和法蘭寬度，有很高的重要性。對于兩段，兩層鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，截面深度，以及混凝土蓋的厚度，都是與材料參數(shù)相關(guān)的重要參數(shù)。在每個在每個例子中，相對于其他結(jié)構(gòu)參數(shù)的幾何缺陷的重要性排名表示著不確定的幾何參數(shù)對可靠性評估的重要影響，即使分散在概率分布中很小。致謝這個工作和在OpenSees中相應(yīng)的軟件應(yīng)用在國家科學(xué)基金(NSF)的EEC-9701568號文件和加拿大自然科學(xué)和工程研究協(xié)會(NSERC)的發(fā)現(xiàn)授權(quán)的規(guī)定下已由太平洋地震工程研究中心提供支持。他們的支持是非常值得感謝的。 附錄 1 寬法蘭截面形狀靈敏度方程 正如方程（30）表明的那樣，為了解釋定義一個離散纖維橫截面的幾何參數(shù)中的變化有必要計算各個纖維位置的導(dǎo)數(shù)和。第i個纖維位置處的截面兼容矩陣的導(dǎo)數(shù)是。如圖7所示，截面是由以下幾個集合參數(shù)定義的，總截面高d，腹板厚度，面板寬度，和面板厚度。從腹板的高度