幾何問(wèn)題之中點(diǎn)題型

1、幾何問(wèn)題之中點(diǎn)題型1. 掌握三角形的內(nèi)角和定理；2. 了解三角形三邊的關(guān)系，并且能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用；3. 學(xué)習(xí)用三角形邊、角的關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和證明；4. 學(xué)習(xí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。 一.中點(diǎn)有關(guān)聯(lián)想歸類(lèi)：1.等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)；2.直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“斜邊上的中線(xiàn)，等于斜邊的一半”；3.三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三角形的中位線(xiàn)定理”；4、兩條線(xiàn)段相等，為全等提供條件（遇到兩平行線(xiàn)所截得的線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想“八字型”全等三角形）；5.有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線(xiàn)；6.有中點(diǎn)時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)面積的一半（中線(xiàn)平分三角形的面積）；7.倍長(zhǎng)中線(xiàn)

2、。 二.與中點(diǎn)問(wèn)題有關(guān)的四大輔助線(xiàn)：1.出現(xiàn)三角形的中線(xiàn)時(shí)，可以延長(zhǎng)（簡(jiǎn)稱(chēng)“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”）；2.出現(xiàn)直角三角形斜邊的中點(diǎn)，作斜邊中線(xiàn)；3.出現(xiàn)三角形邊上的中點(diǎn)，作中位線(xiàn)；4.出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)，構(gòu)造“三線(xiàn)合一” 。 三.幾何證明之輔助線(xiàn)構(gòu)造技巧： 1.假如作一條輔助線(xiàn)，能起到什么作用； 2.常作那些輔助線(xiàn)能與已知條件聯(lián)系更緊密，且不破壞已知條件。 模塊一、出現(xiàn)三角形的中線(xiàn)，可以延長(zhǎng)一、基礎(chǔ)回顧1.線(xiàn)段的中點(diǎn)：把一條線(xiàn)段分成兩條相等線(xiàn)段的點(diǎn)，叫做這條線(xiàn)段的中點(diǎn)。2.若點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則： 從線(xiàn)段來(lái)看：； 從點(diǎn)與點(diǎn)的相對(duì)位置來(lái)看：點(diǎn)在點(diǎn)之間，且點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。3.三角形的中線(xiàn)：連接三角形的一個(gè)

3、頂點(diǎn)和它所對(duì)的邊的中點(diǎn)所得的線(xiàn)段叫做三角形的中線(xiàn)。 一個(gè)三角形有三條中線(xiàn)； 每條中線(xiàn)平分三角形的面積； 三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)，每條中線(xiàn)被該點(diǎn)（重心）分成的兩段； 三角形的三條中線(xiàn)把三角形分成六個(gè)面積相等的小三角形。2、 如何延長(zhǎng)三角形的中線(xiàn) 1.延長(zhǎng)1倍的中線(xiàn)：如圖，線(xiàn)段是的中線(xiàn)，延長(zhǎng)線(xiàn)段至，使（即延長(zhǎng)1倍的中線(xiàn)），再連接?？偟膩?lái)說(shuō)，就可以得到一個(gè)平行四邊形和兩對(duì)（中心選轉(zhuǎn)型）全等三角形、，且每對(duì)全等三角形都關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)；詳細(xì)地說(shuō)，就是可以轉(zhuǎn)移角：，；可以移邊：，；可以構(gòu)造平行線(xiàn)：，；可以構(gòu)造邊長(zhǎng)與、有關(guān)的三角形：、。（1） 延長(zhǎng)倍的中線(xiàn)：（且）如左（右）下圖，點(diǎn)為中線(xiàn)（延長(zhǎng)線(xiàn)）上的點(diǎn)，

4、延長(zhǎng)至，使，連接、.在平行四邊形中就可以得到類(lèi)似（1）中的結(jié)論。注意：通常在已知條件或結(jié)論中測(cè)及到與、有關(guān)的邊與角時(shí)，會(huì)用這種輔助線(xiàn). 整體做題思路：例1.如圖，中，是中線(xiàn).求證：。【證明】：延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，聯(lián)結(jié) 是中線(xiàn) 在和中: ； ， 又 點(diǎn)評(píng)：1.比較角度大小，常用兩個(gè)方法：一是利用三角形的角度關(guān)系，將其中一個(gè)角表示為另外一個(gè)角加上第三個(gè)角；二是利同一三角形中大邊對(duì)大角進(jìn)行比較大小； 2.倍長(zhǎng)中線(xiàn)是常用構(gòu)造輔助線(xiàn)方法，并再結(jié)合同一三角形中大邊對(duì)大角。例2.如圖，已知在中，是邊上的中線(xiàn)，是上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交 于.求證：?！咀C明】：延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，聯(lián)結(jié) 是中線(xiàn) 在和中: ； ， 又 例3.已知中

5、，求邊上的中線(xiàn)的范圍。 【解答】：延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，聯(lián)結(jié) 是中線(xiàn) 在和中: ； 在中，由兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，可得： 點(diǎn)評(píng)：求線(xiàn)段的范圍，一般利用三角形中“兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊”。模塊二、斜邊中線(xiàn)與中位線(xiàn)1、 出現(xiàn)直角三角形斜邊的中點(diǎn)，作斜邊中線(xiàn)1.如圖，在中，直角所對(duì)的邊稱(chēng)為的斜邊，由，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，且。，.， 又，2.發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段為斜邊上的中線(xiàn)，且等于斜邊的一半。3.作斜邊中線(xiàn)，可以構(gòu)造出等腰三角形，從而得到相等的邊、相等的角。 4. 通常在知道直角三角形斜邊的中點(diǎn)的情況下，想到作斜邊中線(xiàn)這條輔助線(xiàn)。2、 出現(xiàn)三角形邊上的中點(diǎn)，作中位線(xiàn)1.中位線(xiàn)：連接三角形兩邊

6、的中點(diǎn)所得的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)；也可以過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)作平行于三角形另外一邊交于第三邊所得的線(xiàn)段也是中位線(xiàn)；以上是中位線(xiàn)的兩種作法，第一種可以直接用中位線(xiàn)的性質(zhì)，第二種需要說(shuō)明理由為什么是中位線(xiàn)，再用中位線(xiàn)的性質(zhì). 2.中位線(xiàn)的性質(zhì)：三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；3.中位線(xiàn)輔助線(xiàn)能起到的作用： 在線(xiàn)段大小關(guān)系上，三角形的中位線(xiàn)是三角形第三邊的一半，起著傳遞線(xiàn)段長(zhǎng)度的功能. 在位置上，三角形的中位線(xiàn)平行三角形的第三邊，起著角的位置轉(zhuǎn)移和計(jì)算角的的功能.4.通常在以下兩種情況下，會(huì)作中位線(xiàn)輔助線(xiàn)： 有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）的中點(diǎn)時(shí)； 有一邊中點(diǎn)，并且已知或求證中涉及到線(xiàn)

7、段的倍分關(guān)系時(shí)。熟悉以下兩個(gè)圖形：例4.如圖，在四邊形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交的延長(zhǎng)線(xiàn)、。求證：?！咀C明】： 證法一：如圖1：連結(jié)，并取的中點(diǎn)為，連結(jié)、，則是的中位線(xiàn)， ， 由是的中位線(xiàn)， ， ， ， ， ，從而。（證法二：如圖2，延長(zhǎng)到,使，連結(jié)（略）。 或者延長(zhǎng)到,使，連結(jié)也行。（其余方法略）圖2圖1例5.已知：如圖，中，在上取點(diǎn)，在延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，若是中點(diǎn)，求證：。【分析】：要證的，不在同一個(gè)三角形中，而它們所在的三角形又不是同類(lèi)三角形，無(wú)法證明它們?nèi)龋捎谑堑闹悬c(diǎn)，想到利用中點(diǎn)構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)圖形或中位線(xiàn)來(lái)移動(dòng)或的位置，把它們集中到同一個(gè)三角形中或把不同類(lèi)三角形

8、轉(zhuǎn)化為同類(lèi)三角形，使問(wèn)題得以解決。【證明】：方法一：如圖2，過(guò)作交于，易證,再證。方法二：如圖3，過(guò)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于。易證,再證： 。方法三：如圖4,在上取點(diǎn),使,連結(jié)。則為的中位線(xiàn)。 再證：。圖2圖3圖4方法四: 如圖5，在的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)，使，連結(jié)。則為的 中位線(xiàn). 再證。方法五: 如圖6, 連結(jié),取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn) ,連結(jié)、。則、 分別為中位線(xiàn)。再證，得。方法六: 如圖7, 連結(jié),取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、。則、 分別為中位線(xiàn)。 再證,得。圖5圖6圖7例6.已知如圖，中，是邊的中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)。求證：。 【證明】：如圖1，過(guò)點(diǎn)做，交于 是邊的中點(diǎn)， 。 同理， 即 例7.

9、如圖1-1，已知中，在中，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)和，（1）若點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上且與點(diǎn)不重合，如圖1-1，求證：且；（2）將圖1-1中的繞點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)小于的角，如圖1-2，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)給予證明。圖1-2圖1-1【分析】：圖1-1中由于點(diǎn)為直角三角形斜邊的中點(diǎn)，顯然要利用斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)求解.圖1-2中盡管繞點(diǎn)進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)，但為的中點(diǎn)的條件依然未變，于是仍然可以利用中點(diǎn)還原出中心對(duì)稱(chēng)基本圖形，使問(wèn)題得解；另一方面，由于旋轉(zhuǎn)之后直角仍然存在，于是仍可以利用斜邊中線(xiàn)及中位線(xiàn)來(lái)解決。 圖2圖3【證明】:（1）如圖2，在和中，為公共斜邊的中點(diǎn), ， 且 （2）成

10、立。方法一：如圖3：延長(zhǎng)至，使，連結(jié)，延長(zhǎng)交于 易證： , ， 為等腰直角三角形且方法二:如圖4，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，,為中位線(xiàn),為斜邊中線(xiàn) 。同理，四邊形為平行四邊形.， , 且圖41.如圖1，在中，點(diǎn)為中點(diǎn)，于點(diǎn)，則等于（ ）A B C D2.如圖，中，為斜邊的中點(diǎn)，、分別為、上的點(diǎn)，且，若，試求的長(zhǎng)。3.如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，為的平分線(xiàn)，過(guò)作的平行線(xiàn)，交于，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于。求證：4.如圖所示，已知為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，求證：。5.如圖，中，是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，若，求證：。6.如圖，已知正方形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)。求證：7.如圖，正方形的邊與正方形的邊在同一直線(xiàn)上（），連結(jié)，取線(xiàn)段的中

11、點(diǎn)。探究：線(xiàn)段、的關(guān)系，并加以證明。練習(xí)題目答案1.2.【分析】：如下圖，可以把看作的一條中線(xiàn)。延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接、。則；所以，。因?yàn)?，所以因?yàn)榇怪逼椒?，所以在中，由勾股定理得，所以。AGB DFE1 C23.【分析】：如下圖，可以把看作的一條中線(xiàn)；延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接。則，所以，。因?yàn)?，所以，；又因?yàn)椋?，所以由此得。所以A2 3GB E D CF1H4.【提示】：證法一：如圖1，延長(zhǎng)到,使，連結(jié) 易證。 , , (證法二：如圖2，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、；利用中位線(xiàn)來(lái)證明。) （其余方法略）圖1圖25.【提示】：證法一：如圖1，取的中點(diǎn), 連結(jié)，所以，為中位線(xiàn)，得, 由得,在中，得,于是。（證法二：如圖2，取的中點(diǎn), 連結(jié)，類(lèi)似法一可證。（其余方法略）圖