切比雪夫1型濾波器

1、目錄1 課題描述12 設(shè)計(jì)原理12.1 濾波器的分類12.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)12.3 切比雪夫1型濾波器22.3.1 切比雪夫1型濾波器的設(shè)計(jì)原理 32.3.2 切比雪夫1型濾波器的設(shè)計(jì)步驟 33 脈沖響應(yīng)不變法3.1 脈沖響應(yīng)不變法原理 64設(shè)計(jì)內(nèi)容6 4.1設(shè)計(jì)步驟 64.2用MATLAB編程實(shí)現(xiàn) 64.3設(shè)計(jì)結(jié)果分析105總結(jié)106參考文獻(xiàn) 101 課題描述數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理的重要工具之一，它通過(guò)數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾出某些頻率成分的數(shù)字器件或程序，二數(shù)字濾波器處理精度較高，體積小，穩(wěn)定，重量輕，靈活，不存在阻抗匹配問(wèn)題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無(wú)法實(shí)

2、現(xiàn)的特殊功能。故本書(shū)課題使用MATLAB信號(hào)處理箱和運(yùn)算用切比雪夫法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)切比雪夫數(shù)字低通濾波器，通帶截止頻率100hz，阻帶截止頻率150Hz，采樣頻率1000hz，通帶最大衰減為0.5dB，阻帶最小衰減為10dB，畫(huà)出幅頻、相頻響應(yīng)曲線，并設(shè)計(jì)信號(hào)驗(yàn)證濾波器設(shè)計(jì)的正確性。2 設(shè)計(jì)原理2.1. 濾波器的分類（1）從功能上分；低、帶、高、帶阻。（2）從實(shí)現(xiàn)方法上分:FIR、IIR（3）從設(shè)計(jì)方法上來(lái)分：Chebyshev(切比雪夫）,Butterworth（巴特沃斯）（4）從處理信號(hào)分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器2.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)設(shè)ha（j）是一個(gè)模擬

3、濾波器的頻率響應(yīng)，則基于平方幅度響應(yīng)J () = Ha(j)的低通濾波器技術(shù)指標(biāo)為： 0Ha (j) 1/A2,s其中為通帶波動(dòng)系數(shù)，p和s是通帶和阻帶邊緣頻率。A為阻帶衰減系數(shù)從圖知必須滿足 其中參數(shù)和A是數(shù)字濾波器指標(biāo)2.3切比雪夫1型濾波器2.3.1 切比雪夫?yàn)V波器介紹在巴特沃茲濾波器中，幅度響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是單調(diào)的。因此，若濾波器的技術(shù)要求是用最大通帶和阻帶的逼近誤差來(lái)給出的話，那么，在靠近通帶低頻端和阻帶截止頻率以上的部分都會(huì)超出技術(shù)指標(biāo)。一種比較有效的途徑是使逼近誤差均勻地分布于通帶或阻帶內(nèi)，或同時(shí)在通帶和阻帶內(nèi)都均勻分布，這樣往往可以降低所要求的濾波器階次。通過(guò)選擇一種具有等

4、波紋特性而不是單調(diào)特性的逼近方法可以實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。切比雪夫型濾波器就具有這種性質(zhì)：其頻率響應(yīng)的幅度既可以在通帶中是等波紋的，而在阻帶中是單調(diào)的（稱為I型切比雪夫?yàn)V波器），也可以在通帶中是單調(diào)的，而在阻帶中是等波紋的（稱為II型切比雪夫?yàn)V波器）。I型切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù)是 · 其中1。而 是濾波器在截止頻率的放大率 (注意: 常用的以幅度下降3分貝的頻率點(diǎn)作為截止頻率的定義不適用于切比雪夫?yàn)V波器!)· 是 階切比雪夫多項(xiàng)式：從定義切比雪夫多項(xiàng)式可以直接得出由Tn（x）和Tn-1（x）求Tn+1（x）的遞推公式。將三角恒等式得 Tn+1（x）=2（x）T（x）-Tn-1（

5、x）當(dāng)0<x<1時(shí)，Tn2(x)在0和1之間變化 ;當(dāng)x>1時(shí)，cos是虛數(shù)，所以Tn(x)像雙曲余弦一樣單調(diào)地增加;Hn(w)對(duì)于0w/w01呈現(xiàn)出在1和1/（22）之間的波動(dòng)；而對(duì)于w/w01單調(diào)地減小。需要用三個(gè)參量來(lái)確定該濾波器：，w0和N。在典型的設(shè)計(jì)中，用容許的通帶波紋來(lái)確定，而用希望的通帶截止頻率來(lái)確定w0。然后選擇合適的階次n，以便阻帶的技術(shù)要求得到滿足。2.3.2切比雪夫1型濾波器的設(shè)計(jì)原理切比雪夫?yàn)V波器（又譯車比雪夫?yàn)V波器）是在通帶或阻帶上頻率響應(yīng)幅度等波紋波動(dòng)的濾波器。在通帶波動(dòng)的為“I型切比雪夫?yàn)V波器”，在阻帶波動(dòng)的為“II型切比雪夫?yàn)V波器”。切比雪夫

6、濾波器在過(guò)渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應(yīng)的幅頻特性不如后者平坦。切比雪夫?yàn)V波器和理想濾波器的頻率響應(yīng)曲線之間的誤差最小，但是在通頻帶內(nèi)存在幅度波動(dòng)。切比雪夫I型為例介紹其設(shè)計(jì)原理 幅度平方函數(shù)用H(j)表示 為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動(dòng)的程度，越大，波動(dòng)幅度也越大。p稱為通帶截止頻率。令=/p ，稱為對(duì)p的歸一化頻率。 定義允許的通帶內(nèi)最大衰減p用下式表示定義允許的通帶內(nèi)最大衰減p用下式表示p=10lg maxHa(j )2/ minHa(j )2 p 式中 maxHa(j )2=1 minHa(j )2=1/(1+2) 因此 p= 10lg(1+2) 2=10(0.1p)-1

7、 這樣，可以根據(jù)通帶內(nèi)最大衰減p，可求出參數(shù)。 階數(shù)N影響過(guò)渡帶的寬度，同時(shí)也影響通帶內(nèi)波動(dòng)的疏密，因?yàn)镹等于通帶內(nèi)的最大值和最小值的總個(gè)數(shù)。設(shè)阻帶的起點(diǎn)頻率為s，則有 2.3.3 切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟(1) 確定低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：邊帶頻率p，它們滿足（2）求濾波器階數(shù)N和參數(shù) 先求出1/k1，再求出階數(shù)N，取符合條件的N的最小整數(shù)。（3）求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ga（p）（4）將去歸一化，得到實(shí)際的Ha（s） 函數(shù)說(shuō)明：用MATLAB設(shè)計(jì)切比雪夫1型低通濾波器（1）z,p,k=cheb1ap(N,Rs) 該格式用于計(jì)算N階切比雪夫1型歸一化模擬濾波器的零極點(diǎn)和增益因子，返回長(zhǎng)度為N的列向

8、量Z和P，分別給出N個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置。Rs是阻帶最小衰減。（2）N,wso=cheb1ord(wp,ws,Rp,As)該格式用于計(jì)算切比雪夫1型數(shù)字濾波器的階數(shù)N和阻帶截止頻率wso，調(diào)用參數(shù)分別為數(shù)字濾波器的通帶頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值。 （3）N,wso=cheb1ord(wp,ws,Rp,As)該格式用于計(jì)算切比雪夫1型模擬濾波器的階數(shù)N和阻帶頻率wso。wp.ws是實(shí)際模擬角頻率。（4）B,A=cheby1(N,Rs,wso,ftype)該格式用于計(jì)算N階切比雪夫1型數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母的多項(xiàng)式系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wso分別為切比雪夫1型數(shù)字濾波器的階數(shù)和阻帶截

9、止頻率的歸一化值。（5）B,A=cheby1(N,Rp,wso,ftype,s)該格式用于計(jì)算N階切比雪夫1型模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wso分別為切比雪夫1型模擬濾波器的階數(shù)和阻帶截止頻率的歸一化值。Impinvar功能：用“脈沖響應(yīng)不變法”將模擬濾波器離散化。BZ,AZ =impinvar(B,A,Fs) Plot(X,Y) 功能：繪制線性二維圖形grid on 功能：對(duì)當(dāng)前坐標(biāo)系添加主要網(wǎng)格線。3 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法原理脈沖響應(yīng)不變法是實(shí)現(xiàn)模擬濾波器數(shù)字化的一種直觀而常用的方法。它特別適合于對(duì)濾波器的時(shí)域特性有一定要求的場(chǎng)合。脈沖響應(yīng)不變法

10、的核心原理是通過(guò)對(duì)連續(xù)函數(shù)ha(t)等間隔采樣得到離散序列ha(nT)。令h(n)= ha(nT) ，T為采樣間隔。它是一種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法。一個(gè)模擬濾波器的傳遞函數(shù)可以用有理分式表達(dá)式表示為： （3-1）通過(guò)反拉普拉斯變換我們就可以得到它的沖激相應(yīng)： （3-2）脈沖響應(yīng)不變法就是要保證脈沖響應(yīng)不變，即： （3-3）對(duì)上式的沖激相應(yīng)序列作變換，就可以得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)： （3-4）一般來(lái)說(shuō)，的分母多項(xiàng)式階次總是大于分子多項(xiàng)式的階次。假定的沒(méi)有多重極點(diǎn)，則式（1）就可分解為： （3-5）式中，均為復(fù)數(shù)，是的極點(diǎn)。其拉氏變換為一般來(lái)說(shuō)，的分母多項(xiàng)式階次總是大于分子多項(xiàng)式的階次。數(shù)字濾波器的傳

11、遞函數(shù)H(z)經(jīng)過(guò)合并簡(jiǎn)化，成為一般形式的有理分式傳遞函數(shù) (3-6)在討論采樣序列z變換與模擬信號(hào)拉氏變換之間關(guān)系的有關(guān)章節(jié)中，我們已經(jīng)知道 (3-7)按照z=的關(guān)系，每一個(gè)s平面上寬度為/T的水平條帶將重迭映射到z平面上。因此脈沖響應(yīng)不變法將s平面映射到z平面，不是一個(gè)簡(jiǎn)單的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。對(duì)于高采樣頻率(T小)的情況，數(shù)字濾波器在頻域可能有極高的增益。為此我們采用 (3-8) (3-9)在脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)中，模擬頻率與數(shù)字頻率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系是線性的()。同時(shí)，它可以保持脈沖響應(yīng)不變， =。因此，這一方法往往用于低通時(shí)域數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)及相應(yīng)的模擬系統(tǒng)數(shù)字仿真設(shè)計(jì)。4實(shí)驗(yàn)內(nèi)容4.1 設(shè)計(jì)步

12、驟(1)按一定規(guī)則將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)；(2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)使用濾波器階數(shù)函數(shù)，確定濾波器的最小階數(shù)N和截止頻率Wc；(3)利用最小階數(shù)N產(chǎn)生模擬切比雪夫低通濾波原型。(4)利用沖激響應(yīng)不變法或雙線性不變法把模擬切比雪夫?yàn)V波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字切比雪夫低通濾波器。4.2試驗(yàn)程序低通濾波器程序fp=100;fs=150;Rp=0.5;Rs=10;Fs=1000;Wp=2*pi*fp;Ws=2*pi*fs;N,wc=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s'); %計(jì)算階數(shù)N和截止頻率wcNwcz,p,k=cheb1ap(N,Rp); %計(jì)算系統(tǒng)

13、函數(shù)零極點(diǎn)和增益Bap,Aap=zp2tf(z,p,k); %將系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)函數(shù)一般形式的系數(shù)b,a=lp2lp(Bap,Aap,wc); %將模擬低通濾波器原型，轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器bz,az=impinvar(b,a,Fs); % 采用脈沖響應(yīng)不變法，將模擬低通濾波器，轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器figure(1)H,W=freqz(bz,az,Fs); %計(jì)算頻率H和頻率響應(yīng)Wsubplot(2,1,1),plot(W/pi,20*log10(abs(H)xlabel('幅頻/Hz');ylabel('幅度/dB');grid on;subplot(

14、2,1,2),plot(W/pi,180/pi*unwrap(angle(H)xlabel('相頻/Hz');ylabel('相位/o');grid on;驗(yàn)證濾波器的正確性程序figure(2);f1=50;n=150;m=0:(n-1);t=m/Fs;%采樣點(diǎn)數(shù)subplot(2,3,1)x=sin(2*pi*f1*t);plot(t,x);title('f1輸入信號(hào)');f2=200;x=sin(2*pi*f2*t);subplot(2,3,2)plot(t,x);title('f2輸入信號(hào)');subplot(2,3,3)

15、x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);plot(t,x);title('疊加后輸入信號(hào)');y=filtfilt(bz,az,x);subplot(2,3,4)plot(t,y);title('濾波之后的信號(hào)')subplot(2,3,5)plot(t,sin(2*pi*f1*t);title('希望輸出的信號(hào)'); 4.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析求得階數(shù)N=3，通帶邊界頻率wc=628.3125，頻率在0-100hz（0-0.2）完全通過(guò)，在100-150hz（0.2-0.3）通過(guò)幅度遞減，150hz（0.3-）后被截止。驗(yàn)證信號(hào)f1=50hz,f2=200hz，觀察驗(yàn)證后的波形，可以看出f1通過(guò)，而f2被截止，數(shù)字低通濾波器的阻帶截止頻率為150hz，所以設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器符合技術(shù)指標(biāo)5 實(shí)驗(yàn)總結(jié)與體會(huì)通過(guò)對(duì)數(shù)字信號(hào)處理的課程設(shè)計(jì)，熟悉了MATLAB的運(yùn)行環(huán)境，了解更多有關(guān)于Matlab軟件的知識(shí)，初步掌握了MATLAB語(yǔ)言在數(shù)字信號(hào)處理中一些基本庫(kù)函數(shù)的調(diào)用和編寫(xiě)基本程序等應(yīng)用；通過(guò)對(duì)數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)讓我熟悉了濾波器設(shè)計(jì)的一般原理，對(duì)濾波器有了一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)；學(xué)會(huì)了數(shù)字低通濾波器設(shè)計(jì)的一般步驟；加深了對(duì)脈沖響應(yīng)不變法的理解和認(rèn)識(shí)。在設(shè)計(jì)的過(guò)程中，我也認(rèn)識(shí)到了自己所學(xué)知識(shí)的不足。以前上課都是