理論力學(xué) 第14章 振動(dòng)

1、返回總目錄Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 理論力學(xué)第三篇理論力學(xué)第三篇 動(dòng)動(dòng) 力力 學(xué)學(xué) 第第1414章章 振動(dòng)振動(dòng)制作與設(shè)計(jì) 賈啟芬 劉習(xí)軍 目目 錄錄Theoretical Mechanics 返回首頁(yè) 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 返回首頁(yè)Theoretical Mechanics14.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.1 14.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 14.1.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 1. 單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng) （1）

2、振動(dòng)微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式02xpxn mkpn固有頻率 系統(tǒng)的固有頻率和周期僅與系統(tǒng)的質(zhì)量與剛度有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)初始條件無(wú)關(guān)。振幅和初位相則由運(yùn)動(dòng)初始條件決定。22020npxxA00tanxxpnnpT221npTf （2）運(yùn)動(dòng)方程振幅初相位周期頻率)sin(tpAxntppxtpxxnnnsincos00或或 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.1 14.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng)計(jì)算固有頻率用能量法的理論基礎(chǔ)是機(jī)械能守恒定律 x=0時(shí)，U=0, 動(dòng)能具有最大值Tmax，速度為零時(shí)，T=0, 勢(shì)能具有最大值Umax。14.1.2 計(jì)算固有頻率的能量法計(jì)算固有

3、頻率的能量法221qmTeq221qkVeqeqeqnmkp 0eqeqqkqm keq-等效剛度meq-等效質(zhì)量21kkkeq 2121eqk kkkk并聯(lián)彈簧串聯(lián)彈簧maxmaxUT TU=常量其中得 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.1 14.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 14.1.3 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) （1）振動(dòng)微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式022xpxnxn mcn2 阻尼對(duì)周期影響不大，而對(duì)振幅有顯著影響，使其按指數(shù)曲線(xiàn)衰減。當(dāng)npn時(shí)，運(yùn)動(dòng)不具有振動(dòng)特性。22nppndnpn21ndpp212TpTdddnTiiAAe1dnT

4、ln（2）運(yùn)動(dòng)方程（n pn即小阻尼情形）為阻尼比衰減振動(dòng)周期振幅縮減率（即減幅系數(shù)）對(duì)數(shù)減幅系數(shù))sin(etpAxdnt000220020tan)(nxxpxpnxxxAdd其中 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.1 14.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng)其中tHFsin11tkatHFsinsin22tmetHFsinsin233 14.1.4 單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng) （1）受迫振動(dòng)微分方程式 簡(jiǎn)諧激振力的三種形式：直接作用激振力彈簧懸掛點(diǎn)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)引起的激振力偏心轉(zhuǎn)子引起的激振力mHhmcnmkpn ; 2 ; 2thxpxnxn

5、sin22 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，是二階常系數(shù)非齊次微分方程 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.1 14.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng)受迫振動(dòng)的頻率等于激振力頻率。)sin(tbx22220222224)1 (4)(bnphbnnpnpnkHb 0222122tannn （2）穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)規(guī)律其中： b振幅，相位差 其中：頻率比阻尼比激振力之最大值引起的彈簧靜伸長(zhǎng)特解特解 Theoretical Mechanics14.1 14.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 當(dāng)1時(shí)，位相差 /2，與阻尼大小無(wú)關(guān)。工程上利用此特點(diǎn)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量

6、系統(tǒng)固有頻率pn。 20bb 2（3）共振n即1時(shí)發(fā)生共振。此時(shí) 在共振頻率附近阻尼對(duì)受迫振動(dòng)振幅有顯著影響。遠(yuǎn)離共振區(qū)（0.751.25），其對(duì)振幅的影響可略去不計(jì)。振動(dòng)微分方程的全解為)sin()sin(e22tBtpAxnnt 衰減振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng)臨界角速度ccn30 （4）轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速 引起轉(zhuǎn)子劇烈振動(dòng)的特定轉(zhuǎn)速稱(chēng)為臨界轉(zhuǎn)速。這種現(xiàn)象是由共振引起的。mkpnc臨界轉(zhuǎn)速 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.1 14.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) （5）減振與隔振的概念 為了盡量減小振動(dòng)，避免在共振區(qū)內(nèi)工作。許多引發(fā)振動(dòng)的因素防不勝防，或難以避免，這時(shí)

7、，可以采用減振或隔振的措施。 減振：在振體上安裝各種減振器，使振體的振動(dòng)減弱。例如，利用各種阻尼減振器消耗能量達(dá)到減振目的。 隔振：將需要隔離的儀器、設(shè)備安裝在適當(dāng)?shù)母粽衿鳎◤椥匝b置）上，使大部分振動(dòng)被隔振器所吸收。 隔振有兩種形式 a.主動(dòng)隔振：將振源與基礎(chǔ)隔離開(kāi)。 主動(dòng)隔振的效果用力傳遞率或隔振系數(shù)來(lái)衡量，定義為HHTa 其中H和HT分別為隔振前后傳遞到地基上的力的幅值。 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.1 14.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 被動(dòng)隔振是將防振的物體與振源隔離（振源來(lái)自地基的運(yùn)動(dòng)），防止或減小地基振動(dòng)對(duì)物體的影響。 被動(dòng)隔振的效果位

8、移傳遞率表示，定義為bBa B為隔振后傳到物體上的振動(dòng)幅值，b地基運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)幅值。 b.被動(dòng)隔振：將需防振動(dòng)的儀器、設(shè)備單獨(dú)與振源隔離開(kāi)。 為了取得較好的隔振效果，系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)具有較低的固有頻率和較小的阻尼。不過(guò)阻尼也不能太小，否則振動(dòng)系統(tǒng)在通過(guò)共振區(qū)時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的振動(dòng)。 通過(guò)計(jì)算可知位移傳遞率與力傳遞率具有完全相同的形式。 返回首頁(yè)Theoretical Mechanics 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.2 14.2 基本要求基本要求 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng)14.2 基本要求基本要求1 .能建立單自由度系統(tǒng)線(xiàn)性自由振動(dòng)、衰減振動(dòng)和受迫振動(dòng)的微分

9、方程，熟悉振動(dòng)的特征及運(yùn)動(dòng)方程。2 .利用等效的概念計(jì)算系統(tǒng)的等效剛度、等效質(zhì)量。3 .能熟練地應(yīng)用能量法計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率。4 .能熟練地求解單自由度振動(dòng)線(xiàn)性系統(tǒng)的自由振動(dòng)、衰減振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程。5 .能熟練地計(jì)算系統(tǒng)的振動(dòng)周期、頻率、振幅、振幅縮減率（即減幅系數(shù)）、對(duì)數(shù)減幅系數(shù)等。6 .掌握共振的條件，了解臨界轉(zhuǎn)速的基本概念。7 .了解隔振的基本概念。 返回首頁(yè)Theoretical Mechanics 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.3 14.3 重點(diǎn)討論重點(diǎn)討論 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 14.3 重點(diǎn)討論重點(diǎn)討論 求解單自由度系

10、統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題，常歸結(jié)為建立運(yùn)動(dòng)微分方程及求解有關(guān)的振動(dòng)量的兩個(gè)方面的問(wèn)題，其步驟如下： (1)明確研究對(duì)象。 (2)運(yùn)動(dòng)分析，選擇坐標(biāo)系。根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性，選出相應(yīng)的廣義坐標(biāo)。一般選取系統(tǒng)的靜平衡位置為廣義坐標(biāo)的原點(diǎn)，坐標(biāo)軸沿振動(dòng)的方向。 (3)受力分析。為計(jì)算方便，最好把系統(tǒng)置于廣義坐標(biāo)為正值的任意位置，然后畫(huà)受力圖。這時(shí)，彈性恢復(fù)力與粘滯阻力應(yīng)指向坐標(biāo)的負(fù)方向。 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.3 14.3 重點(diǎn)討論重點(diǎn)討論 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) (4)建立運(yùn)動(dòng)微分方程。根據(jù)具體問(wèn)題選取動(dòng)力學(xué)方程。對(duì)質(zhì)點(diǎn)問(wèn)題一般采用牛頓定律；對(duì)于系統(tǒng)問(wèn)題常用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、動(dòng)量矩

11、定理、機(jī)械能守恒定律，也可采用能量法及拉格朗日方程。將運(yùn)動(dòng)微分方程標(biāo)準(zhǔn)化，與提要中的標(biāo)準(zhǔn)方程比較，確定振動(dòng)的類(lèi)型。 (5)根據(jù)題意，代入相應(yīng)的公式求解。對(duì)于那些只求振動(dòng)時(shí)的各種物理量，可直接代入相應(yīng)的公式求解。 返回首頁(yè)Theoretical Mechanics 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.4 例例 題題 分分 析析 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 例例14-1 船舶振動(dòng)記錄儀的原理圖如圖所示。重物船舶振動(dòng)記錄儀的原理圖如圖所示。重物P連同桿連同桿BD對(duì)于支點(diǎn)對(duì)于支點(diǎn)B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IE ,已知彈簧已知彈簧AC的彈簧剛度系數(shù)是的彈簧剛度系

12、數(shù)是k。求重物求重物P在鉛直方向的振動(dòng)頻率。在鉛直方向的振動(dòng)頻率。解：解： 系統(tǒng)的位移系統(tǒng)的位移 角來(lái)表示角來(lái)表示221BIT 系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的動(dòng)能則其運(yùn)動(dòng)方程則其運(yùn)動(dòng)方程)sin( tpn)cos(ddtpptnn22maxmax2121nBBpIIT 如取平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)，設(shè)在平衡位置時(shí)，彈簧的伸如取平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)，設(shè)在平衡位置時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量為長(zhǎng)量為 st 。此時(shí)，彈性力。此時(shí)，彈性力Fst=k st , 向上。向上。 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.4 例例 題題 分分 析析 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng)22222121kbpInBBIkbp2n 2221 k

13、bU 222max2max2121kbkbU該系統(tǒng)的勢(shì)能該系統(tǒng)的勢(shì)能)(21 )(21st222st2stPlkbkbPlbkU0s Plbkt 即即0)( FmB0s PlbFt Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.4 例例 題題 分分 析析 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 例例14-2 鼓輪：質(zhì)量鼓輪：質(zhì)量m1，對(duì)輪心回轉(zhuǎn)半徑，對(duì)輪心回轉(zhuǎn)半徑 ，在水平面上，在水平面上只滾不滑，大輪半徑只滾不滑，大輪半徑R，小輪半徑，小輪半徑 r ，彈簧剛度系數(shù)，彈簧剛度系數(shù)k1，k2 ，重物質(zhì)量為重物質(zhì)量為m2, 不計(jì)輪不計(jì)輪D和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長(zhǎng)。求系和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長(zhǎng)。求系

14、統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率。統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率。 解：取靜平衡位置解：取靜平衡位置O為為坐標(biāo)原點(diǎn)，取坐標(biāo)原點(diǎn)，取C偏離平衡位偏離平衡位置置x為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的最為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的最大動(dòng)能為大動(dòng)能為2max22222max2max22maxmax 21 )(21)(21)(2121211xr)(Rm)R(mRxRrRmRxmxmT Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.4 例例 題題 分分 析析 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng)) )()( ( )(21 )(2121st2max21max2st2stmax21max22RkkrRgmxkkxRrRgmxkkU系統(tǒng)的最大勢(shì)能為系統(tǒng)的最大勢(shì)能為設(shè)

15、設(shè) 則有則有)sin(npAxnApxAxmaxmax , )(21 2)()(221max222222maxAkkUApRrRmRMTn根據(jù)根據(jù)Tmax=Umax , , 解得解得222221)()()(21rRmRmRkkpn Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.4 例例 題題 分分 析析 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 例例14-3 質(zhì)量為質(zhì)量為m1的電動(dòng)機(jī)安裝在彈的電動(dòng)機(jī)安裝在彈性基礎(chǔ)上。偏心距為性基礎(chǔ)上。偏心距為 e，偏心質(zhì)量為，偏心質(zhì)量為m2。阻尼系數(shù)為阻尼系數(shù)為c，轉(zhuǎn)子以勻角速，轉(zhuǎn)子以勻角速w轉(zhuǎn)動(dòng)，試轉(zhuǎn)動(dòng)，試求電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)。求電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)。 解：取電動(dòng)機(jī)為研究對(duì)象，

16、平衡位解：取電動(dòng)機(jī)為研究對(duì)象，平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸鉛垂向下為正。作軸鉛垂向下為正。作用在電動(dòng)機(jī)上的力有重力用在電動(dòng)機(jī)上的力有重力Mg、彈性力、彈性力F、阻尼力阻尼力FR、慣性力、慣性力FIe、FIr，受力圖如，受力圖如圖所示。圖所示。 根據(jù)達(dá)朗貝爾原理根據(jù)達(dá)朗貝爾原理0sin )(2st21temxmxkMgxc temkxxcxmsin221 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.4 例例 題題 分分 析析 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng))sin(22thxpxnxn ,2112mcnmkpn，= h212emm設(shè)電機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程為設(shè)電機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程為)sin(tB

17、x22222222224)1 (4)1 (12bmemB212arctan12memb 整理成標(biāo)準(zhǔn)形式整理成標(biāo)準(zhǔn)形式 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.4 例例 題題 分分 析析 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 例例14-4 已知不計(jì)梁的質(zhì)量，物塊質(zhì)量為已知不計(jì)梁的質(zhì)量，物塊質(zhì)量為m，此物靜置于，此物靜置于梁的中部時(shí)，梁中部的靜撓度為梁的中部時(shí)，梁中部的靜撓度為 0 = 5mm，今此物由，今此物由h = 1m處自由落在梁的中部后與梁不再分離。處自由落在梁的中部后與梁不再分離。求此后重物的運(yùn)動(dòng)方程。求此后重物的運(yùn)動(dòng)方程。 重物的運(yùn)動(dòng)方程為重物的運(yùn)動(dòng)方程為ghyyypyn2,000

18、02 rad/s 3 .440gntttpytpyynnn3 .44sin1003 .44cos5 sincos00 解解 重物運(yùn)動(dòng)的力學(xué)模型如圖重物運(yùn)動(dòng)的力學(xué)模型如圖(b)，它，它的運(yùn)動(dòng)微分方程和初始條件是的運(yùn)動(dòng)微分方程和初始條件是式中，固有圓頻率式中，固有圓頻率 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.4 例例 題題 分分 析析 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 例例14-5 已知小球質(zhì)量為已知小球質(zhì)量為m，當(dāng)它作水平微幅振動(dòng)時(shí)，彈，當(dāng)它作水平微幅振動(dòng)時(shí)，彈性線(xiàn)張力大小性線(xiàn)張力大小F保持不變，不計(jì)重力。求證明小球水平微幅振保持不變，不計(jì)重力。求證明小球水平微幅振動(dòng)是諧振動(dòng)，并求其自

19、由振動(dòng)周期。動(dòng)是諧振動(dòng)，并求其自由振動(dòng)周期。 所以所以0sin2Fxm lxtansin02xlFxm 解解 如圖示坐標(biāo)，小球的運(yùn)動(dòng)微分方程為如圖示坐標(biāo)，小球的運(yùn)動(dòng)微分方程為微幅振動(dòng)時(shí)微幅振動(dòng)時(shí)FmlT22這是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程，證畢。而運(yùn)動(dòng)周期為這是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程，證畢。而運(yùn)動(dòng)周期為 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.4 例例 題題 分分 析析 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 例例14-6 已知兩輪轉(zhuǎn)速相同，轉(zhuǎn)向相反，板已知兩輪轉(zhuǎn)速相同，轉(zhuǎn)向相反，板AB的質(zhì)量為的質(zhì)量為m，輪與板之間滑動(dòng)摩擦因數(shù)為輪與板之間滑動(dòng)摩擦因數(shù)為f，若將板質(zhì)心，若將板質(zhì)心C移至對(duì)稱(chēng)位置點(diǎn)移至對(duì)稱(chēng)位

20、置點(diǎn)O釋放。求證明質(zhì)心釋放。求證明質(zhì)心C的水平運(yùn)動(dòng)為諧振動(dòng)，并求其周期。的水平運(yùn)動(dòng)為諧振動(dòng)，并求其周期。 這是諧振動(dòng)的微分方程，證畢。這是諧振動(dòng)的微分方程，證畢。2N21N12N1N ,2)(,2)(fFFfFFaxamgFaxamgF21FFxm 0 xafgx fgaT2解解 板受力如圖，輪與板間有滑動(dòng)板受力如圖，輪與板間有滑動(dòng)平板水平運(yùn)動(dòng)微分方程為平板水平運(yùn)動(dòng)微分方程為整理得整理得其振動(dòng)周期為其振動(dòng)周期為 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.4 例例 題題 分分 析析 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 例例14-7 已知均質(zhì)桿已知均質(zhì)桿AB，質(zhì)量為，質(zhì)量為m1；小球；小球B質(zhì)

21、量為質(zhì)量為m2，大，大小不計(jì)；兩彈簧剛度系數(shù)均為小不計(jì)；兩彈簧剛度系數(shù)均為k，桿于水平位置靜止。求該系，桿于水平位置靜止。求該系統(tǒng)微幅振動(dòng)的固有圓頻率統(tǒng)微幅振動(dòng)的固有圓頻率pn。 解解 設(shè)桿水平時(shí)，設(shè)桿水平時(shí)， = 0；其微其微幅振動(dòng)微分方程為幅振動(dòng)微分方程為2222)2(kllmIO 所 以所 以 2121212)3(121lmlmlmIO02)4(21kmm 2142mmkPn式中式中代入上式，得代入上式，得 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.4 例例 題題 分分 析析 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 例例14-8 已知均質(zhì)桿已知均質(zhì)桿AB = l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m；A端沿

22、鉛垂槽滑動(dòng)，端沿鉛垂槽滑動(dòng)，B端沿水平槽運(yùn)動(dòng)，兩側(cè)彈簧相同，端沿水平槽運(yùn)動(dòng)，兩側(cè)彈簧相同， = 0為桿的靜平衡位置。為桿的靜平衡位置。求彈簧剛度系數(shù)為多大，振動(dòng)才能發(fā)生；這時(shí)固有圓頻率求彈簧剛度系數(shù)為多大，振動(dòng)才能發(fā)生；這時(shí)固有圓頻率pn為為多大？多大？ 解解 選選 = 0位零勢(shì)能位置，一般位零勢(shì)能位置，一般 處，該處，該系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為2222sin)cos1 (2 3121kllmgVmlT得得 VTTtdd2sinsin23122kllmgml 代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程微幅振動(dòng)的微分方程為微幅振動(dòng)的微分方程為22sin,sin02231222lmgkl

23、ml微幅振動(dòng)時(shí)微幅振動(dòng)時(shí)0222lmgkl發(fā)生振動(dòng)的條件為發(fā)生振動(dòng)的條件為振動(dòng)固有頻率為振動(dòng)固有頻率為lgmkpn236 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.4 例例 題題 分分 析析 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 例例14-9 已知質(zhì)量為已知質(zhì)量為m的物塊掛在無(wú)重剛桿的物塊掛在無(wú)重剛桿AB上，如圖所上，如圖所示，若兩彈簧剛度系數(shù)為示，若兩彈簧剛度系數(shù)為k1和和k2，系統(tǒng)平衡時(shí)，系統(tǒng)平衡時(shí)，AB桿水平。求物體自由振動(dòng)的頻率。桿水平。求物體自由振動(dòng)的頻率。 解解 選物塊的靜平衡位置為坐標(biāo)選物塊的靜平衡位置為坐標(biāo)x的的原點(diǎn)，系統(tǒng)平衡處為零勢(shì)能位置，沿物原點(diǎn)，系統(tǒng)平衡處為零勢(shì)能位置，

24、沿物塊坐標(biāo)為塊坐標(biāo)為x時(shí)，其動(dòng)能、勢(shì)能為時(shí)，其動(dòng)能、勢(shì)能為22221122121,21kkVxmTabx21式中式中 1、 2是彈簧相對(duì)于靜平衡位置的變形量，有是彈簧相對(duì)于靜平衡位置的變形量，有bkak2211對(duì)對(duì)AB桿，恒有桿，恒有 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.4 例例 題題 分分 析析 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng)將將T、V代入上式，即得運(yùn)動(dòng)微分方程為代入上式，即得運(yùn)動(dòng)微分方程為 0)(ddVTt由機(jī)械能守恒定律，有由機(jī)械能守恒定律，有所以，系統(tǒng)自由振動(dòng)頻率為所以，系統(tǒng)自由振動(dòng)頻率為02221221xbkakbkkxm )(22222121bkakmkkbpfnn由

25、這兩式求出由這兩式求出 1、 2代入勢(shì)能表達(dá)式，得代入勢(shì)能表達(dá)式，得2222122121xbkakbkkV Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.4 例例 題題 分分 析析 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 例例14-10 已知大輪半徑已知大輪半徑R，質(zhì)量，質(zhì)量m，對(duì)軸的回轉(zhuǎn)半徑為，對(duì)軸的回轉(zhuǎn)半徑為 ，彈，彈性繩的剛度系數(shù)為性繩的剛度系數(shù)為k，小輪半徑為，小輪半徑為r，它的擺動(dòng)規(guī)律是，它的擺動(dòng)規(guī)律是 = 0 sin t，不計(jì)小輪和彈性繩質(zhì)量，且繩不松弛。，不計(jì)小輪和彈性繩質(zhì)量，且繩不松弛。求大輪穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅。求大輪穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅。 所以有所以有RFFI)(211 )(),(,212

26、1rRkFRrkFmItkrRkRmsin22022 解解 大輪受力如圖大輪受力如圖(b)，轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為，轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為式中式中式中式中)(22220nmpmkrRmkRpn2受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)振幅為受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)振幅為 Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.4 例例 題題 分分 析析 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 例例14-11 已知均質(zhì)滾子質(zhì)量已知均質(zhì)滾子質(zhì)量m = 10kg，半徑，半徑r = 0.25m，彈，彈簧剛度系數(shù)簧剛度系數(shù)k = 20N/m，阻尼系數(shù)，阻尼系數(shù)c = 10N s/m，滾子只滾不滑。，滾子只滾不滑。求求 1）無(wú)阻尼的固有頻率）無(wú)阻尼的固有頻率fn；2）阻

27、尼）阻尼 比比 ；3）有阻尼的固有頻）有阻尼的固有頻率率fd；4）此阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)的周期）此阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)的周期TD。 解解 選靜平衡位置為廣義坐標(biāo)選靜平衡位置為廣義坐標(biāo)x的起的起點(diǎn)，廣義力和動(dòng)能為點(diǎn)，廣義力和動(dòng)能為222432121,xmrxIxmTxckxQOx得運(yùn)動(dòng)微分方程為得運(yùn)動(dòng)微分方程為xQxTxTtdd023kxxcxm 代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程由此得由此得289. 0232,Hz184. 03221kmcmkfns677. 51,Hz176. 012ddndfTff Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.4 例例 題題 分分 析析 第第14章章 振

28、動(dòng)振動(dòng) 例例14-12 已知已知 O1C = a sin t，a = 0.02m， =7rad/s，彈彈簧在簧在0.4N作用下伸長(zhǎng)作用下伸長(zhǎng)0.01m，物，物B質(zhì)量質(zhì)量mB = 0.4kg。求物。求物B受迫受迫振動(dòng)的規(guī)律。振動(dòng)的規(guī)律。 解解 選系統(tǒng)靜平衡時(shí)選系統(tǒng)靜平衡時(shí)A、B的位置為的位置為xA、xB的原點(diǎn)，如圖的原點(diǎn)，如圖(b)所處，圖中，彈簧力為所處，圖中，彈簧力為taxkxxkFAABKsin,N/m4001. 04 . 0)(由此解出由此解出tkakxxmBBBsin 7sin22.39sin2ttmkkaxBB則物則物B的運(yùn)動(dòng)微分方程為的運(yùn)動(dòng)微分方程為 返回首頁(yè)Theoretical

29、 Mechanics 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.5 典典 型型 習(xí)習(xí) 題題 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 14-1 已知圖示各振動(dòng)系統(tǒng)中，k1 = 5000N/m，k2 = 3000N/m，m = 4kg。求物體自由振動(dòng)的周期。 答：在(a)、(b)兩圖中 ，T = 0.290s在(c)、(d)兩圖中 ，T = 0.1400s21111kkk21kkk Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.5 典典 型型 習(xí)習(xí) 題題 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 14-2 已知圖示振動(dòng)系統(tǒng)，物塊質(zhì)量為m1時(shí)，自由振動(dòng)周期為T(mén)1，質(zhì)量為m2時(shí)，自由

30、振動(dòng)周期為T(mén)2。求彈簧剛度系數(shù)k為多大？2221212)(4TTmmk答答： Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.5 典典 型型 習(xí)習(xí) 題題 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 14-3 已知斜面傾角為，彈簧的剛度系數(shù)為k，質(zhì)量為m的小車(chē)從高為h處自由下行碰上彈簧后，不再與彈簧分開(kāi)。求此后小車(chē)振動(dòng)的周期和振幅。 kmT2hkmgkmgxxAn2sin22020答答： Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.5 典典 型型 習(xí)習(xí) 題題 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 14-4 已知均質(zhì)桿AB = l，質(zhì)量m，彈簧剛度k。求圖(a)、(b)兩種支承及平衡位置，微幅振動(dòng)的固有圓頻率。 lgmkmk276,7621答答： Theoretical Mechanics 返回首頁(yè)14.5 典典 型型 習(xí)習(xí) 題題 第第14章章 振動(dòng)振動(dòng) 14-5 已知半圓柱對(duì)過(guò)質(zhì)心C，且平行于母線(xiàn)的軸線(xiàn)的回轉(zhuǎn)半徑為，設(shè)圓柱不打滑。求它在平面上作微小擺動(dòng)