十一章習題解答

1、習題 11-1判別下列級數(shù)的斂散性：1. ； 2. ；3. ； 4. ；5. ； 6. ；7. ； 8.解：1.， 而調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的，故級數(shù)發(fā)散；2. ，故級數(shù)發(fā)散；3因為級數(shù)收斂，而級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散；4因為，所以原級數(shù)發(fā)散；5.因為故原級數(shù)收斂；6. 故級數(shù)發(fā)散。7. 因為，故原級數(shù)發(fā)散；8. 對于任意的自然數(shù) 所以對于任意給定的正數(shù)，取自然數(shù)，則當時，對于任意的自然數(shù)都有 成立。按柯西審斂原理該級數(shù)是收斂。習題 11-21.用比較判別法判別下列級數(shù)的斂散性： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）解（1）由于 而級數(shù)收斂，根據(jù)比較判別法原級數(shù)收斂。（2）由于 而幾

2、何級數(shù)收斂，根據(jù)比較判別法原級數(shù)收斂。（3）因為，而發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散；（4），而級數(shù)收斂，故原級數(shù)收斂；（5）時， 此時級數(shù)收斂，時此時級數(shù)發(fā)散；（6），而級數(shù)收斂，所以原級數(shù)收斂。2.用比值判別法或根式判別法判別下列級數(shù)的斂散性： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）.解（1），故級數(shù)收斂；（2），故級數(shù)收斂；（3），故級數(shù)收斂；（4），故級數(shù)發(fā)散；（5），故時收斂，時發(fā)散。習題 11-3下列級數(shù)哪些是絕對收斂、條件收斂或發(fā)散的： （1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）.解：（1）由于 而級數(shù)收斂，根據(jù)優(yōu)級數(shù)判別法原級數(shù)絕對收斂。（2）因為，所以級數(shù)發(fā)散；（3）因

3、為當時 ，而收斂，故原級數(shù)絕對收斂；當時，令 ，則 而 ，從而當充分大時，又 ，由萊布尼茨判別法知級數(shù)條件收斂；當時，故此時級數(shù)發(fā)散。（4）因為 而級數(shù)發(fā)散，即原級數(shù)不絕對收斂，但單調(diào)遞減且收斂于0，所以由萊布尼茨判別法知級數(shù)條件收斂。（5）由于級數(shù)發(fā)散，收斂，故原級數(shù)發(fā)散。（6）因為 ，而時級數(shù)顯然收斂，故原級數(shù)時絕對收斂，時發(fā)散。習題 11-41. 研究級數(shù)在區(qū)間上的收斂性和一致收斂性.解：級數(shù)前項的和 ，由于所以級數(shù)收斂，但， 所以級數(shù)在區(qū)間上一致收斂。 2.按定義討論下列函數(shù)列或級數(shù)在所給區(qū)間上的一致收斂性： （1）； （2）； （3）.解：（1）由于 ，所以，于是 即（2）由于對任意

4、的有 因 ， 故 于是 （3）由于對任意的有 在， 因 ， 故 于是 在上，故 ，于是在不一致收斂。3. 利用魏爾斯特拉斯判別法證明下列級數(shù)在所給區(qū)間上的一致收斂性： (1); (2) ; (3) ; (4) 解：（1）設 則是正項級數(shù)，且有 即 收斂，而對，有，故由優(yōu)級數(shù)判別法知在上一致收斂。（2）當時，有，且 因此當，即時，收斂，故由優(yōu)級數(shù)判別法知在上一致收斂而當時，即時，由于所以在上不一致收斂。（3）由于 ，而收斂，故由判別法知在上一致收斂。 （4）由于 ，而收斂，故由判別法知在上一致收斂。.習題 11-51.求下列冪級數(shù)收斂域： （1） ； （2）； （3）； （4）解：，所以當時冪級

5、數(shù)收斂，當時發(fā)散。而當時由萊布尼茨判別法知級數(shù)收斂；當時級數(shù)為發(fā)散。故此冪級數(shù)的收斂域為。（2），所以當，即時冪級數(shù)收斂，當時發(fā)散。而當時由萊布尼茨判別法知級數(shù)收斂，故此冪級數(shù)的收斂域為（3），所以當，即時冪級數(shù)收斂，當時發(fā)散。而當時其通項不收斂到0知級數(shù)發(fā)散，故此冪級數(shù)的收斂域為（4）， 所以當，即時冪級數(shù)收斂，當時發(fā)散。而當時由萊布尼茨判別法知級數(shù)收斂，當時冪級數(shù)為為發(fā)散級數(shù)，故此冪級數(shù)的收斂域為。2.利用逐項求導或逐項積分，求下列級數(shù)的和函數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）由于該級數(shù)的收斂區(qū)域為，即該級數(shù)的和函數(shù)由 （2） （3）由于該級數(shù)的收斂區(qū)域為，該級數(shù)的和函數(shù)=（

6、4）由于該級數(shù)的收斂區(qū)域為，該級數(shù)的和函數(shù)習題 11-61. 直接求函數(shù)的泰勒級數(shù)，并驗證在整個數(shù)軸上收斂于這函數(shù)。解：因為 ， 且 故 2.用間接法將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間： （1）； （2）； (3) ；(4) ； (5)； (6).解：（1） （2） （3） （4） （5） （6）3.將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間： （1）； （2）； （3）.解：（1）(2)（3）4.將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。解：5.利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值： （1）（誤差不超過0.0001）； （2） （誤差不超過0.001）.解：（1）由， 令 ，解出 ，以代人上

7、式得取前四項作為近似值，則誤差為。（2）由，知 由于，所以。6. 利用被積函數(shù)的冪級數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值：（1）（誤差不超過）；，（2）（誤差不超過）. 解：（1）因為 所以 此為交錯級數(shù)，且故 。 （2）因為 所以 此為交錯級數(shù)，且故。7.將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。解：。習題 11-71.在指定區(qū)間內(nèi)把下列函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)： （1） (2) 解：（1） 1) 因為在上按段光滑，可以展開為傅立葉級數(shù)。因為在上為奇函數(shù)，故，所以 2）因為在上按段光滑，可以展開為傅立葉級數(shù)。故 。（2） 1) 因為在上按段光滑，可以展開為傅立葉級數(shù)。，所以 2）因為在上按段光滑，可以展開為傅立葉級數(shù)。故 2

8、.把函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)，并由它推出： （1） （2） （3）解：因為是按段光滑，可以展開為傅立葉級數(shù)。其中所以 當時，有 由 可得： 當時，有 從而 3.對于三角級數(shù) ，若級數(shù) 收斂，則它在整個數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂。證：因為 所以若級數(shù) 收斂，則由比較判別法知：三角級數(shù)絕對收斂，由優(yōu)級數(shù)判別法知：三角級數(shù)一致收斂。4.設是以為周期的可積函數(shù)，證明的傅立葉系數(shù)為（其中為任意實數(shù)）證：。5. 設周期函數(shù)的周期為證明：（1）如果，則的傅立葉系數(shù)；（2）如果，則的傅立葉系數(shù).證：（1） 由于 故 同理有 （2）由于 故的傅立葉系數(shù).同理有6.把下列各周期函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)，其中一個周期內(nèi)的表達

9、式為：（1） （2）解： （1）因為在上為偶函數(shù)，故，故 （2）故 7.把函數(shù) 在上展開成余弦級數(shù)。解： 對函數(shù)作偶式延拓后故 。8.將函數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。解：對函數(shù)作奇式延拓后，有，故對函數(shù)作偶式延拓后，有，故。復習題十一（A）1.填空（1）級數(shù)收斂的必要條件是。（2）正項級數(shù)的部分和數(shù)列是單調(diào) 遞增，所以其收斂的充分必要條件為 部分和數(shù)列有界 。（3）若級數(shù)收斂，則級數(shù)必收斂 ；若收斂，級數(shù)發(fā)散，則級數(shù) 必 發(fā)散 。 （4）對于級數(shù)，當 時收斂，當 時發(fā)散。2.證明以下結果：（1）若正項級數(shù)收斂，則收斂；（2）若級數(shù)，收斂，則絕對收斂，也收斂； (3)若且級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)

10、也收斂。證明：（1）因為若正項級數(shù)收斂，所以，從而當充分大時， 此時，故由比較判別法知收斂。 （2）若級數(shù)，收斂,則由，及比較判別法知絕對收斂，也收斂。 （3）若則由比較判別法的極限形式知與 同斂散性，故當級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)也絕對收斂，從而收斂。3.判斷下列級數(shù)的收斂性： （1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）解：（1），而發(fā)散，所以由比較判別法知正項級數(shù)發(fā)散；（2）因為 ，所以由比式判別法知正項級數(shù)發(fā)散；（3）因為 而 收斂所以由比較判別法知正項級數(shù)收斂；（4）因為 ，所以由比式判別法知正項級數(shù)發(fā)散；（5）因為， 所以由比式判別法知正項級數(shù)收斂；（6）因為所以由根式判別法知

11、正項級數(shù)收斂。4.討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性： （1）； （2）； （3）解:（1）因為 ，而收斂，所以 絕對收斂；（2）由于 ，當時， 故這時級數(shù)絕對收斂；當時，由上知發(fā)散， 令 ， 則而 ，故當充分大后，有，即單調(diào)遞減，又由，所以由萊布尼茨判別法知此時級數(shù)條件收斂。（3）因為 而 發(fā)散，即原級數(shù)不絕對收斂，但單調(diào)遞減，又由，所以由萊布尼茨判別法知條件收斂。5.利用級數(shù)收斂的必要條件證明下列等式： （1）； （2）證：（1）設，則正項級數(shù)收斂，這是因為故由收斂的必要條件知 ；（2）設，則正項級數(shù)收斂，這是因為故由收斂的必要條件知.6.求下列冪級數(shù)的收斂域： （1）； （2） ； （

12、3）； （4）解：（1）因為 故 。由于而當時，級數(shù)為 由萊布尼茨判別法知級數(shù)收斂；當時級數(shù)為收斂性與等價，而發(fā)散。故此冪級數(shù)的收斂域為 （2）因為 故 。由于而當時，級數(shù)為 由通項不收斂0知級數(shù)發(fā)散；故此冪級數(shù)的收斂域為 (3) 因為 故 。由于而當時，級數(shù)為 由萊布尼茨判別法知級數(shù)收斂；當時級數(shù)為收斂性與等價，而發(fā)散。故此冪級數(shù)的收斂域為 (4) 因為 而當，級數(shù)發(fā)散，故 。故此冪級數(shù)的收斂域為.7.求下列級數(shù)的和或和函數(shù)： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）解：（1）令 ，則，知該級數(shù)的收斂半徑為， 當時，級數(shù)是發(fā)散的，故該級數(shù)的收斂域為 ，因此對故和函數(shù) （2）易

13、知 的收斂域為 ，其和函數(shù)為 .而 即 故 ； （3）易知 的收斂域為 ，其和函數(shù)為 . =； （4）的收斂域為 ，其和函數(shù)為 .=； （5）由于 , 所以 （6）設 ， 則其收斂域為，由于故 =8.將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù)： (1) ; (2)解：由于 ， 所以 =；（2）由于 所以 。9. 設是以為周期的函數(shù)，它在上的表達式為 試將展開成傅立葉級數(shù)。解：10. 將函數(shù) 分別展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)解： 對函數(shù)作奇式延拓后，有，故。對函數(shù)作偶式延拓后，有，故。復習題十一（B）1.填空題已知冪級數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則冪級數(shù)的收斂域為。 （08年考研題）2.選擇題：（1） 若級數(shù)收斂，則級數(shù)（D ） （06年考研題）（A）收斂； （B）收斂； （C）收斂； （D）收斂。 （2） 設有兩個數(shù)列，若，則 （C） （09年考研題） （A）收斂時，收斂； （B）發(fā)散時，發(fā)散； （C）收斂時，收斂； （D）發(fā)散時，發(fā)散。（3） 設為數(shù)列，則下列命題正確的是： （A） （11年考研題） （A）收斂時，收斂； （B）收斂時，收斂； （C）收斂時，收斂； （D）收斂時，收斂。3.將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。 （06年考研題）解：由知 4.求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)。 （10年考研題）解: 令 ，則，知該級數(shù)的收斂半徑為， 當時，級數(shù)是收斂的，故該級數(shù)的收斂域為 -1,1，和