北京高考卷數(shù)學(xué)理科試題及答案

1、2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)（理工類）第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1若集合，則（A） （B）（C）（D）2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（ ）ABCD4“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的

2、比都等于若第一個(gè)單音的頻率為，則第八個(gè)單音的頻率為（ ）ABCD5某四棱錐的三視圖如圖所示，在此三棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（ ）ABCD6.設(shè)均為單位向量，則“”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件7. 在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)變化時(shí)，的最大值為（A）（B）2 （C）3（D）48. 設(shè)集合，則對(duì)任意實(shí)數(shù)， 對(duì)任意實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，二.填空（9）設(shè)是等差數(shù)列，且，則的通項(xiàng)公式為 。 （10）在極坐標(biāo)系中，直線與圓 相切，則 。（11）設(shè)函數(shù) 。若對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，則的最小值為 。（12）若 滿足

3、 ，則的最小值是 。（13）能說(shuō)明“若對(duì)任意的都成立，則在上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是 。（14）已知橢圓，雙曲線。若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為 ；雙曲線的離心率為 。三解答題（15）（本小題13分） 在，。（）求；（）求邊上的高。（16）（本小題14分）如圖，在三棱柱中，平面,分別為,的中點(diǎn)，,.（I）求證：平面;（II）求二面角的余弦值；（III）證明：直線與平面相交. （16）（本小題12分）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)好評(píng)率好評(píng)率是指：一類電

4、影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立（）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；（）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取部，估計(jì)恰有部獲得好評(píng)的概率；（）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等，用“”表示第類電影得到人們喜歡，“” 表示第類電影沒(méi)有得到人們喜歡（）.寫(xiě)出方差的大小關(guān)系（18）（本小題13分）設(shè)函數(shù)，（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍（19）（本小題14分）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且直線交軸于，直線交軸于（1）求直線的斜

5、率的取值范圍；（2）設(shè)為原點(diǎn)，求證：為定值20.（本小題14分）設(shè)為正整數(shù)，集合.對(duì)于集合中的任意元素和，記當(dāng)時(shí)，若，求和的值；當(dāng)時(shí)，設(shè)是的子集，且滿足：對(duì)于中的任意元素，當(dāng)相同時(shí)，是奇數(shù)；當(dāng)不同時(shí)，是偶數(shù).求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值；給定不小于的，設(shè)是的子集，且滿足：對(duì)于中的任意兩個(gè)不同的元素，.寫(xiě)出一個(gè)集合，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明理由.答案：一. 選擇題1. 【答案】A2. 【答案】D，則，故的共軛復(fù)數(shù)在第四象限，故選3. 【答案】【解析】根據(jù)程序框圖可知，開(kāi)始，執(zhí)行，此時(shí)不成立，循環(huán)，此時(shí)成立，結(jié)束，輸出故選4. 【答案】【解析】根據(jù)題意可得，此十三個(gè)單音形成一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)

6、列，故第八個(gè)單音的頻率為故選5. 【答案】【解析】由三視圖可知，此四棱錐的直觀圖如圖所示，在正方體中，,均為直角三角形，,，故不是直角三角形故選6. 【答案】 C【解析】 充分性：，又，可得，故.必要性：，故，所以，所以7. 【答案】【解析】：，所以點(diǎn)的軌跡是圓。 直線恒過(guò)點(diǎn)。 轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離加上半徑取到最大值，所以答案為3.8. 【答案】：D【解析】：若，則。則當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 選D二.填空題9答案：解析：由題知，設(shè)等差數(shù)列公差為，所以：，即，解得，所以。10 答案：解析： 直線方程轉(zhuǎn)化為 即 圓的方程轉(zhuǎn)化為 即 、 直線與圓相切 解得 11. 答案：解析：由題知：，即，所以，解得:

7、，所以時(shí)，。12答案：3解析：將不等式轉(zhuǎn)換成線性規(guī)劃，即 目標(biāo)函數(shù)如右圖在 處取最小值13. 答案：，解析：函數(shù)需要滿足在上的最小值為，并且在上不單調(diào)。選取開(kāi)口向下，對(duì)稱軸在上的二次函數(shù)均可，其余正確答案也正確。14. 【答案】：，【解析】：設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為；根據(jù)橢圓的定義，雙曲線的漸近線方程為，所以。三.解答題15. 【解析】（ ），所以為鈍角，；由正弦定理：，所以，所以；或者；又，為鈍角，所以為銳角，所以。（），三角形的面積，設(shè)邊上的高為，所以，即邊上的高為。16. 【解析】（I）證明：，且是的中點(diǎn)，,在三棱柱中，,分別是,的中點(diǎn)，平面，平面,平面，,平面,平面.（II）由（I）知，, 以

8、為原點(diǎn)，,分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有，,，設(shè)平面的法向量，,即，.易知平面法向量，由圖可知，二面角的平面角為鈍角，二面角的余弦值.（III）方法一：,平面的法向量，設(shè)直線與平面的夾角為，直線與平面相交. 方法二：假設(shè)直線與平面平行，設(shè)與的交點(diǎn)為,連結(jié)，平面,且平面平面,四邊形為平行四邊形，,易知，假設(shè)不成立，直線與平面相交.17. 【解析】（）由表格可知電影的總部數(shù) 獲得好評(píng)的第四類電影 設(shè)從收集的電影中選部，是獲得好評(píng)的第四類電影為事件,則（）由表格可得獲得好評(píng)的第五類電影 第五類電影總數(shù)為 未獲得好評(píng)的第五類電影 第四類電影總數(shù)為 未獲得好評(píng)的第四類定影 設(shè)從第四類電

9、影和第五類電影中各隨機(jī)選取部，估計(jì)恰有部獲得好評(píng)為事件則（）18. 【解析】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，若函?shù)在處切線與軸平行，則，即（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，令，極大值不滿足題意；當(dāng)時(shí)，令，或，當(dāng)時(shí)，即，極小值極大值不滿足題意；當(dāng)時(shí)，1）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)；2）當(dāng)，即時(shí)，極大值極小值滿足題意；3）當(dāng)，即時(shí)，極大值極小值不滿足題意綜上所述，若在處取得極小值，19. 【解析】（1）由已知可得，所以拋物線的方程為令，直線顯然不能與軸垂直，令其方程為，帶入整理得，即所以由已知可得，解得且所以直線的斜率的取值范圍為（2）由（1）知，而點(diǎn)，均在拋物線上，所以，因?yàn)橹本€與直線與軸相交，則直線與直線的斜率均存在，即，因?yàn)?，所以直線的方程為，令，可得，即同理可得而由可得，所以同理由可得，所以所以20. 【解析】 解：（）, （），因?yàn)闉槠鏀?shù)，則有1項(xiàng)或3項(xiàng)為1，其余為0，所以理論上元