8.3極坐標系下的二重積分

1、8.38.3極坐標系下的二重積分極坐標系下的二重積分P P( (r r, , ) r=r() r=r( ) )oorr)rP Pr)r r= =r r( ( ) )cossinxryryx如如: r r=a =a r r=2cos=2cos r r=2sin=2sin 有些有些二重積分用直角坐標計算比較繁二重積分用直角坐標計算比較繁瑣，甚至無法計算，如例瑣，甚至無法計算，如例6 6。22xyDIed2214xyDIed22( , )14Dx yxyx x2 2+y+y2 2=1=1x x2 2+y+y2 2=4=4x xy yD D1 1D 注記注記 ：對于一個二重積分，當：對于一個二重積分，

2、當： 積分區(qū)域積分區(qū)域D D的邊界曲線用極坐標方程表示比較的邊界曲線用極坐標方程表示比較 容易；容易； 被積函數(shù)用極坐標變量被積函數(shù)用極坐標變量r r、 來來表達比較簡單表達比較簡單 這時，用極坐標計算會帶來方便。這時，用極坐標計算會帶來方便。因為直角坐標與極坐標之間有關(guān)系：因為直角坐標與極坐標之間有關(guān)系： 所以極坐標系下二重積分的表達式為所以極坐標系下二重積分的表達式為 ( , )( cos , sin )Df x y df rrrdrdcossinxryrAoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .

3、)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 在極坐標系下計算二重積分，同樣是化為二次在極坐標系下計算二重積分，同樣是化為二次 積分來計算，同樣有選擇積分次序和確定積分積分來計算，同樣有選擇積分次序和確定積分 限的問題。但積分次序多以先對限的問題。但積分次序多以先對r后對后對 的次序，的次序， 而確定積分限可而確定積分限可分為分為三三種種情形：情形： 于是得到在極坐標下于是得到在極坐標下二重積分化為二次積分二重積分化為二次積分的公式：的公式： 21( )( ),cos , sinDfx y df rrrdr d 12( )( ),r AOD2( )r 1( )r 1 1 若積分區(qū)

4、域若積分區(qū)域D： 21( )( ),cos, sinDfx y ddf rrrdr 或?qū)懽骰驅(qū)懽鰽O1( )r 2( )r D 2 2若極點在若極點在D的內(nèi)部的內(nèi)部02 0( ),r 2( )00,( cos , sin )Df x y ddf rrrdr 則則D可以用不等式表示可以用不等式表示:D( )r 這時有這時有AO( )rr 2( )0( ),( cos , sin )rDf x y ddf rrrdr 若若D由兩條封閉曲線圍成（如圖），則由兩條封閉曲線圍成（如圖），則3 3若極點若極點O O在在D D的邊界上，且的邊界上，且D D由射線由射線 = = 、 = = 和連續(xù)曲線和連續(xù)曲

5、線r=r(r=r( ) )圍成。即圍成。即這時這時例如例如 ( , ) 0( ),Drrr ( )0,( cos , sin )rDfx y ddf rrrdr or22r=r( ( ) )ro r=r( ( ) ) ,Df x y d 把把化化為為極極坐坐標標下下的的二二次次積積分分，. 41:22 yxD其中其中xyO121D4D2D3D ,Df x y d 計計算算例：例： 20 , 21: rD1 r22=1xy 2r 22=4xy 2201,( cos , sin )Df x y ddf rrrdr 直角坐標直角坐標極坐標極坐標22=1xy 22=4xy 1 r2r 解解利用利用 把

6、積分區(qū)域的邊界曲把積分區(qū)域的邊界曲 2,:112,01Dfx y dDxyxx 將將，化化為為極極坐坐標標下下例例的的二二次次積積分分. .cossinxryr 1,r 線化為極坐標形式：線化為極坐標形式：xy 121xy 1sincosr 圓圓：直直線線：xy1121xy xy 1解解1:1,0sincos2Dr 于是于是1r 1sincosr yx11 1210sincos,cos , sinDfx y ddf rrrdr 2:11,01Dxyxx ，例例3 3 計算計算 ，其中，其中D是以是以22xyDedxdy 解解 D可以表示成可以表示成0,02ra222xyrDDedxdyerdr

7、d 原點為圓心，半徑為原點為圓心，半徑為a的圓域的圓域.2200arderdr 2201(1)2aed 220012raed 2(1)ae 用極坐標用極坐標 22224sin,Dxydxy 計計算算例例 :12,2Dr 212sin rdrdrr 原原積積分分2122:14,0,0.Dxyxy其其中中212sindrdr 221d xyO解解例例5 計算計算 其中其中D 為為 2224Daxy dxdy ，222(0)xyaxy 解解2 cosra xOyDa2a02 cos2ra ，0 0所以所以D可表示為可表示為2 cosra 圓的方程：圓的方程：和和x軸所圍成的區(qū)域，軸所圍成的區(qū)域，并說

8、明該積分的幾何意義并說明該積分的幾何意義. 表示成極坐標形式：表示成極坐標形式：222xyax 于是，利用極坐標得于是，利用極坐標得：2222244DDaxy dxdyar rdrd 2 cos222004adar rdr 33208(1sin)3ad :02 cos2Dra ，0 0382323a （ ）幾何意義幾何意義2224zaxy，22,yaxxxOzxOy面面及及面面圓柱面圓柱面所所圍圍成成的的立立體體的的體體積積。2224Daxy dxdy ，yOxz2aD2224zaxy 頂頂：是球面是球面 當積分區(qū)域為當積分區(qū)域為(部分部分)圓、扇形或扇面圓、扇形或扇面等等,22yx 常用常用極坐標極坐標計算計算.形狀時，函數(shù)含有形