DOC定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

1、第五章第五節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用教學(xué)目的：掌握用元素法計(jì)算平面圖形的面積、計(jì)算體積、計(jì)算平面曲線的弧 長、計(jì)算平面曲線的弧長。教學(xué)重點(diǎn)：直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積計(jì)算，體積的計(jì)算，平面曲線弧長的 計(jì)算、平面曲線弧長的計(jì)算。教學(xué)難點(diǎn)：面積元素的選取、體積元素的選取、弧長元素的選取教學(xué)內(nèi)容：一、定積分的元素法1、能用定積分計(jì)算的量 U，應(yīng)滿足下列三個(gè)條件(1)、U與變量X的變化區(qū)間|a,b有關(guān);、U對(duì)于區(qū)間a,b具有可加性;、U部分量也Ui可近似地表示成f( i) M2、寫出計(jì)算U的定積分表達(dá)式步驟(1)、根據(jù)問題，選取一個(gè)變量X為積分變量，并確定它的變化區(qū)間a,b(2)、設(shè)想將區(qū)間a,b分成若

2、干小區(qū)間，取其中的任一小區(qū)間x,x+ dx，求出它所對(duì)應(yīng)的部分量AU的近似值也U常f (x)dx ( f (x)為a,b上一連續(xù)函數(shù))則稱f (x)dx為量U的元素，且記作dU = f (x)dx(3)、以U的元素0U作被積表達(dá)式，以|a,b|為積分區(qū)間，得bU = Jf(x)dxa這個(gè)方法叫做元素法，其實(shí)質(zhì)是找出U的元素dU的微分表達(dá)式dU = f (x)dx ( a 乞 x 空 b )因此，也稱此法為微兀法二、平面圖形面積的計(jì)算1直角坐標(biāo)的情形由曲線y= f(x) ( f(x)O)及直線|x = a|與與兇軸所圍成的曲邊梯形面積 O由曲線 y = f (x)與 y = g(x)及直線 |x

3、 = a|，儀=b|( |a v b|)且f (x)色g(x)|所圍成的圖形面積 HbA = if (x) dx _ g (x) dx = J f (x) - g(x) dxaaa其中：f(x) - g(x)dx為面積元素2II例1計(jì)算拋物線y2 = 2x與直線y = x - 4所圍成的圖形面積解：1、先畫所圍的圖形簡圖(8, 4)42、選取岡為積分變量，則|0x蘭83、給出面積元素在10蘭x蘭2上,dA= 2x -(- 2x)dx二 2 2xdx在|2蘭x蘭8|上,dA 叮 2x -(x - 4) dx(4 2x - x)dx4、列定積分表達(dá)式2A 二 2 72 xdx0 4 7 23847

4、 2 x2x dx3x3x28另解：若選取國為積分變量，則1 2 dA = (y 4)-2y2dy412 、A =（y十4-y)dy-22234-y+ 4 y -y26-2=18顯然，解法二較簡潔，這表明積分變量的選取有個(gè)合理性的問題例2 求橢圓2 2 x_ + i_2 .2 a b=1所圍成的面積（a > O,bA 0）取因?yàn)榉e分變量，則 0 w X W a解：據(jù)橢圓圖形的對(duì)稱性，整個(gè)橢圓面積應(yīng)為位于第一象限內(nèi)面積的y = br：2x2dA = ydx = b，1 dx a2aa x2A = 4 ydx = 4 b 1 - 2dx0o a2 JI作變量替換 儀=a cost I （ 0

5、蘭t蘭一）2y = b1 - 務(wù)=bsi ntdx 二-asintdt0A =4 (bsint)(-asint)dtJI22= 4ab sin2 tdt 二04abS2!JIab22極坐標(biāo)情形0 = a日=P所圍成的曲邊扇形,在平面圖形中任意截取一典型的面積元素叵A，它是極角變化區(qū)間為|日月+卍|的窄曲邊扇形。麗的面積可近似地用半徑為|r =半（日）|，中心角為 畫的窄圓邊扇形的面積來 代替，即1 2也A瘁一®e）2d日1 2從而得到了曲邊梯形的面積元素dA = ®（£） d2從而 A= J2（日）d日«2例3計(jì)算心臟線r = a（1 + cos日）（a

6、 > 0）所圍成的圖形面積解：由于心臟線關(guān)于極軸對(duì)稱,0A 52lt)H 1A = 2 a 2 (1 cos )2 d r 二 02一 22SOC2JrJ O2aji2 44 a cos d 二o8a2(4!a 2 2 4令 t 8a2 cos4tdt oJI二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形繞該平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而生成的立體，該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸。計(jì)算由曲線|y = f(x)直線有a, |x= b|及岡軸所圍成的曲邊梯形，繞因 軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的立體的體積。y = f(x)取岡為積分變量，則|x乏a,b，對(duì)于區(qū)間|a, b上的任一區(qū)間|x, x + dx|，它 所對(duì)應(yīng)的

7、窄曲邊梯形繞區(qū)軸旋轉(zhuǎn)而生成的薄片似的立體的體積近似等于以 f (x)為底半徑，d2為高的圓柱體體積。即：體積元素為dV=兀f (x)2dx所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為=If(x)2dxax = h ( h > 0 )和X軸所圍成的三例4求由曲線”；X及直線ix=o 角形繞兇軸旋轉(zhuǎn)而生成的立體的體積。 解：取因?yàn)榉e分變量，則|x E 0, h2dxr2h32平行截面面積為已知的立體的體積(截面法)由旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算過程可以發(fā)現(xiàn)：如果知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面的面積，那么這個(gè)立體的體積也可以用定積分來計(jì)算。取定軸為岡軸，且設(shè)該立體在過點(diǎn),1x= b且垂直于因軸的兩個(gè)平面之內(nèi)，以A(x)表示過

8、點(diǎn)岡且垂直于S軸的截面面積取兇為積分變量，它的變化區(qū)間為a,b立體中相應(yīng)于a,b上任一小區(qū)A(x)|，高為亟的扁圓柱體的體間x, x + dx的一薄片的體積近似于底面積為即：體積元素為dV = A(x)dxb于是，該立體的體積為V = (A(x)dx計(jì)算橢圓所圍成的圖形繞兇軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積解：這個(gè)旋轉(zhuǎn)體可看作是由上半個(gè)橢圓y = Bpa2 - x2及因軸所圍成的圖形aa繞兇軸旋轉(zhuǎn)所生成的立體在岡處(-a蘭x蘭a )，用垂直于岡軸的平面去截立體所得截面積為b 22 2A(x)二- (，a- x2 )2a22 b兀2 ax2)dx 二a二 A(x)dx 二-a例6計(jì)算擺線的一拱X = a(t

9、- sint)<(0蘭t蘭2兀)ty = a(1 - cost)以及y = 0所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而生成的立體的體積02 二(t - sin t)2asin tdt二- a2公2(t - sint)2sintdt0o 3 3=6兀a請(qǐng)自行計(jì)算定積分'(sint)2sintdt0三、平面曲線的弧長1 直角坐標(biāo)情形設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間|a,b|上具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算曲線 y= f(x)的 長度s。0«z 兀+ * b取區(qū)為積分變量，則xa,b,在a,b上任取一小區(qū)間x,x+dx，那 么這一小區(qū)間所對(duì)應(yīng)的曲線弧段的長度 Es可以用它的弧微分ds來近似。于是，弧長元素為

10、ds 二 f (x) f dx弧長為s = b 1f(X)l2 dxa的弧長例8計(jì)算曲線解：ds =屮 + (Jx)2 dx =山 + xdxb3b2s =+ xdx = (1 + x)23a°b233/打(1 + b) 2-(1+a) 2 a2 參數(shù)萬程的情形若曲線由參數(shù)方程 = (t) = ©(t)(:-t -)給出，計(jì)算它的弧長時(shí)，只需要將弧微分寫成ds = J(dx)2 + (dy)2 = J I® '(t)】2 + I* '(t)】2dt的形式，從而有s - 丨(t) F (t) 1 2dta例9計(jì)算半徑為J的圓周長度。 解:圓的參數(shù)方程

11、為x = rcost廠 rsint (。氣ds = J (-r sint)2 + (r cost)2 dt = rdt2兀s = Jrdt = 2兀 r03 極坐標(biāo)情形若曲線由極坐標(biāo)方程r = r （日）（口蘭日蘭B）再利用參給出，要導(dǎo)出它的弧長計(jì)算公式，只需要將極坐標(biāo)方程化成參數(shù)方程, 數(shù)方程下的弧長計(jì)算公式即可。曲線的參數(shù)方程為x = r(Rcos) y 二 r(Rsin 二此時(shí)日變成了參數(shù)，且弧長元素為ds 二.(dx)2 (dy)2(r cos； - r sin旳2(在)2 (r sin rcosr)2(dr)2 =Jr2 +r "2d8從而有s= Nr2 + r *2d0例10 計(jì)算心臟線r = a（1 + cos日）（0蘭日蘭2兀）的弧長解：ds =彳a2(1 + cos日)2 + (_asin)2d日4a2cos 4sin2 cos2 d -2 2 26=2a cos d日22兀