MATHEMATICA在高等代數(shù)與微積分中的實(shí)際應(yīng)用

1、MATHEMATICA 在高等代數(shù)與微積分中的應(yīng)用1高等代數(shù)運(yùn)算 1.1 矩陣的輸入例：輸入矩陣、表輸入:69命令：A=1,2,3,4,5,6,7,8,9A= 1, 2, 3, 4, 56 f 7, 6, 9)Out1= 1, 2* 3, 4, 5* 6, 7, 8, 9不過(guò)，我們看到輸出的結(jié)果不是矩陣形式，如果希望得到矩陣形式，可再使用 函數(shù) MatrixForm，如:inm= A- 1, 2f 3r 4, 5, 6f 8, 9 / MatrixForm/14Out(2/MatrixForm=258或者:ln8:= A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9;MatrixForm

2、AOut9/MatrixForm=、二階方陣可直接用模板輸入單擊輸入面板上的，再輸入矩陣的元素即可，例如，求矩陣的逆:矚慫潤(rùn)厲釤瘞睞櫪廡賴(lài)。或:或:求矩陣逆的函數(shù)是：In verse ,Inverse(:Dot1= Of lf lf 010 1'10- 、菜單來(lái)輸入.操作：“輸入”宀“創(chuàng)建表單/矩陣/面板 T” 二 對(duì)話(huà)框-選擇“矩陣”- 輸入行數(shù)和列數(shù)- 確“二 空白矩陣.計(jì)算 結(jié)果如下圖示： 聞創(chuàng)溝燴鐺險(xiǎn)愛(ài)氌譴凈。例:fl 0 kiin3：= HatrixForm inverse 0 1010 0 1/Oytp/JTotatrixForm=fl 0| 0 10o 01 J 、增加行

3、與列按 Ctrl+ Shift +、輸入任意矩陣增加行，Ctrl+ “ ”增加列例：輸入任意矩陣A二a11ia21a12a22,可用命令：Arraya,2,2 / MatrixForm、創(chuàng)建一個(gè)n階單位矩陣：IdentityMatrixn殘騖樓諍錈瀨濟(jì)溆塹kArray®, m , n、創(chuàng)建一個(gè)對(duì)角線(xiàn)上為表list的元素的方陣:Diago nalMatrix list 倉(cāng)U建m行、n 列的矩陣，元素為 ai, j 例: a1二123,4,5Diago nalMatrixa1 / MatrixForm1.2MATHEMATICA 的矩陣運(yùn)算命令(1) a=a1,a2,an功能：定義一個(gè)一

4、維向量(a!,a2J|,an),這里a1,a2|,an是數(shù)或字母. a=Tablefj , j,n例： -玉蕊1：糾丁亀 口,.訂Out1= 1, 4, 9, 16(3) a=a11,a 12, ,a 1n,a 21,a22,.,a 2n,.,a m1,a m2,.,a mn釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐。ain功能:定義一個(gè)二 11矩陣：a -am1 111amn例:InR卑 a = 1/ 21 3 t if 5j 6 tOutpj- 1, 2t 3, 4, 5, 6), 7, B, 9in3：= a= 1# 2f 3), 4, 5, 6, 7* 8, 9 /NatrixFonn0utp/4vtatr

5、ixForrn=12 34 5 6 a=Tablefi,j , i , m, j , n功能：定義一個(gè)分量可以用fi,j計(jì)算的二矩陣，其中f是關(guān)于i和j的函數(shù)，給出矩陣在第i行第j列的元素值. 彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡。例：5. -ii-ii ；i.1 j .? |'Out1/MtriM Form=(5) MatrixForma功能：把a(bǔ)按通常的矩陣或向量形式輸出，其中a是矩陣或向量.(6) Diago nalMatrixlist功能：使用列表中l(wèi)ist的元素生成一個(gè)對(duì)角矩陣.例：ln4:= a= 1, 2, 3；Diaqonalllatrix a / MatrixFormOutForTT

6、i=(10 0 XI 0 2 0U 0 3丿(7) Ide ntityMatrix n功能：生成n階單位陣(8) A+B功能：求A與B的和，這里A與B都是矩陣或都是向量.(9) A-B功能：求A與B的差.這里A與B都是矩陣或都是向量.(10) k*A功能：求常數(shù)k與A的數(shù)乘，這里A是矩陣或向量.(11) A.B功能：求矩陣A與矩陣B的乘積，注意A與B之間的乘號(hào)“.” 必須使用數(shù)字鍵盤(pán)上的小數(shù)點(diǎn).(12) a.b功能：求向量a與向量b的內(nèi)積，注意a與b之間的乘號(hào)“.” 必須使用數(shù)字鍵盤(pán)上的小數(shù)點(diǎn).(13) A.b 或 b.A功能：求矩陣A與向量b的乘積，注意A與b之間的乘號(hào)“.” 必須使用數(shù)字鍵

7、盤(pán)上的小數(shù)點(diǎn).(14) .Transpose A功能：求矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣.(15) . Inverse A功能：求矩陣A的逆矩陣(16) . MatrixPowerA ， n功能：計(jì)算方陣A的n次幕.(17) . DetA功能:求方陣A的行列式(18) ai, j 功能：取矩陣 a 的位于第 i 行，第 j 列的元素 .(19) . a i 功能：取矩陣 a 的第 i 行的所有元素或取向量 a 的第 i 個(gè)分量.(20) Transpose a j 功能：取矩陣a的第j列的所有元素.1.3 多項(xiàng)式運(yùn)算命令 PolynomialGCDf,g功能：求多項(xiàng)式f、g的最大公因式。例：f=4 xA4-2

8、 xA3-16 xA2+5 x+9;g=2 xA3-xA2-5 x+4;PolynomialGCDf,g PolynomialQuotientf,g,x功能：求g除f的商，x為變量。 PolynomialRemainderf,g,x功能：求 g 除 f 的余式， x 為變量。 Lengthq1功能：求表 q1 中元素的個(gè)數(shù)。 Expandu功能：Expandf把分式u的分子展開(kāi)，分母不變且被看成單項(xiàng)。例： f=4 xA4-2 xA3-16 xA2+5 x+9;g=2 xA3-xA2-5 x+4;Expandf/g Collectexpr， x， y 將 expr 表示成 x 的多項(xiàng)式，再把多項(xiàng)

9、式的每 一項(xiàng)系數(shù)表示成 y 的多項(xiàng)式。 謀蕎摶篋飆鐸懟類(lèi)蔣薔。 Pol yno mialLCMp i，P2,. 求多項(xiàng)式Pi, P2，的最小公倍式。 廈礴懇蹣駢時(shí)盡繼價(jià)騷。 PowerExpandexpr將(xy)n分解成 xnyn 的形式。 用mathematica進(jìn)行分式運(yùn)算Denomin atorf提取分式f的分母Numeratorf提取分式f的分子Expa ndDe nomin atorf展開(kāi)分式f的分母Expa ndNumeratorf展開(kāi)分式f的分子Expa ndf把分式f的分子展開(kāi)，分母不變且被看成單項(xiàng)Expa ndAIIf把分式f的分母和分子全部展開(kāi)ExpandAllf, x只

10、展開(kāi)分式f中與x匹配的項(xiàng)Togetherf把分式f的各項(xiàng)通分后再合并成一項(xiàng)Apartf把分式f拆分成多個(gè)分式的和的形式Apartf, x對(duì)指疋的變量x (x以外的變量作為常數(shù))把分式f拆分成多個(gè)分式的和的形式 煢楨廣鰳鯡選塊網(wǎng)羈淚Ca ncelf把分式f的分子和分母約分Factorf把分式f的分母和分子因式分解Factorf把f因式分解。1.3 應(yīng)用舉例：例A 求多項(xiàng)式的最大公因式及相應(yīng)的u(x)、v(x)。在高等代數(shù)中有以下結(jié)論：最大公因式設(shè)F是一個(gè)數(shù)域，F(xiàn)ix 1是F上一元多項(xiàng)式環(huán)。定義1令f(x)和g(x)是F'x啲兩個(gè)多項(xiàng)式 若是Fx啲一個(gè)多項(xiàng)式h(x)同時(shí)整除f(x)和g(x

11、),那么h(x)叫做f(x)與g(x)的一個(gè)公因式.鵝婭盡損鶴慘歷蘢鴛賴(lài)。定義2設(shè)d(x)是多項(xiàng)式f(x)與g(x)的一個(gè)公因式。若是d(x)能被f(x)與g(x) 的每一個(gè)公因式整除，那么d(x)叫做f(x)與g(x)的一個(gè)最大公因式 .籟叢媽羥為贍債蟶練淨(jìng)。 最大公因式的求法 一一輾轉(zhuǎn)相除法設(shè)f(x)和g(x)是FLx 1的兩個(gè)多項(xiàng)式且g(x)=O,用g(x)除f(x)，得到商式qi (x) 及余式ri (x)，如果ri(x) -0，那么再以ri (x)除g(x),得商式q?(x)及余式q(x )，如 果Q(x ) -0，再以r2(x )除ri(x)，如此繼續(xù)下去，因?yàn)橛嗍降拇螖?shù)每次降低，

12、所 以此過(guò)程必在有限次后得到這樣一個(gè)余式rk(x):它整除前一個(gè)余式r(x).這樣我們就得到一串等式：預(yù)頌圣鉉儐歲齦訝驊糴。f(x)=g(x) q i (x)+ ri(x)g(x)= ri(x) q2(x)+2(x )ri (x)= r2(x )q3(x)+3(x) (1)r2(x)=(x) q k(x)+ r k4 (x)rkv(x)二 r“(x) q k(x)+ r k(x)rkv(x)二 r k (x)q k i(x)則rk(x)就是f(x)與g(x)的一個(gè)最大公因式.由(1)的倒數(shù)第二個(gè)等式得：rk2 (x) - 厲斗(x)qk(x)二 R(x)令：Ui(x) = 1, Vi(x) =

13、qk(x)(2)則：rk2(x)ui(x) rk_i(x)vi(x)二 rk(x)(3)由(1)的倒數(shù)第三個(gè)等式得:(4)k；(x) - rk<(x)qk_i(x)二k_i(x)把(4)代入(3),并令U2(x)二 Vi(x), V2(x) = Ui(x) - Vi(x)qk_i(x)(5)即得：k；(x)U2(x) - 2(x)V2(x)二 rk(x)(6)一直下去，最后可得到u(x)與v(x)，使得：f(x)u(x) g(x)v(x) = rk(x) = d(x)( 7)算法描述：根據(jù)上述推導(dǎo)及結(jié)論，可以得到以下算法：1。 輸入 f(x)與 g(x);2o輾轉(zhuǎn)相除：定義數(shù)組q1 :存

14、儲(chǔ)每次帶余除法所得的商式。定義數(shù)組r1 :存儲(chǔ)每次帶余除法所得的余式。While(1)f(x)=g(x) q(x)+ r(x);if(r(x)=0) Break ;添加q(x)到q1，添加r(x)到r1 ;f(x)=g(x);g(x)=r(x);r1中的最后一個(gè)元素就是所求最大公因式.3° 求 u(x)與 v(x)k= q1 中元素的個(gè)數(shù)；u(x)=1;v(x)=-q1k;for(i=1,i<k,i+) w(x)=u(x);u(x)=v(x);v(x)=w(x)-v(x)*q1k-i;4o 輸出結(jié)果； mathematic 程序f=4 xA4-2 xA3-16 xA2+5 x+

15、9;g=2 xA3-xA2-5 x+4;f1=f;g1=g;d=PolynomialGCDf,g;(*求多項(xiàng)式f, g的最大公因式*)q1=;WhileTrue,q=Poly nomialQuotie ntf,g,x;(* 求g除 f 的商,x 為變量 *)r=PolynomialRemainderf,g,x ;(* 求g除f 的余式,x為變量 *) Ifr=0,Break;AppendToq1,q;f=g;g=r;k=Lengthq1;u=1;v=-q1k;For i=1,i<k,i+,w=u;u=v;v=w-v*q1k-i;；u=Expa ndu;v=Expa ndv;Print&q

16、uot;當(dāng)："Prin t"f(x)=",f1;Print"g(x)=",g1;Print"時(shí)，f(x)與g(x)的最大公因式是：",d;Print"并且可取:"Print"u(x)=",u;Print"v(x)=",v;Print"使得：:"Prin t" f(x)u(x)+ g(x)v(x)=",d;計(jì)算結(jié)果f (x) -9 + 5 x - 16 x2 - 2 x3 + 4 x4 g (x) =4 - 5 x - x2 +

17、 2 x3時(shí)，仁幻與魚(yú)沁)的最大公因式是：-丄+冥 并且可取：U(證)=+ 33r r 2 X 2 X2V(X ) =1 十33使得：二11f (x) u (x) +g (x) v (x) = - 1 + x例B求極大無(wú)關(guān)組問(wèn)題Mathematica中，沒(méi)有提供求向量組的極大無(wú)關(guān)組的功能，但是提供了用行 初等變換化簡(jiǎn)矩陣的功能：行簡(jiǎn)化矩陣： RowReduceA我們可以用此功能來(lái)求向量的極大無(wú)關(guān)組，因?yàn)槲覀冇薪Y(jié)論：矩陣的行變換不改變列的線(xiàn)性關(guān)系，此結(jié)論書(shū)中很少給出證明，下面我們給出具體結(jié)論及 證明，供大家參考 。 滲釤嗆儼勻諤鱉調(diào)硯錦。定理 對(duì)矩陣施行行的初等變換不改變其列的線(xiàn)性關(guān)系.即若：A

18、=但1忌，|2.)揪行初揪變換井B=(d,匕2,川,“)則：4*2,111,air線(xiàn)性相關(guān)? 0,*川，6線(xiàn)性相關(guān). at能由a屜,111邑線(xiàn)性表示? b能由川,線(xiàn)性表示. a» a2,11|向是a1,a2,IH,an的極大無(wú)關(guān)組? bbi2川,g是b1,b2,lll,bn極大無(wú) 推論：設(shè) A=(a1,|),am) , B=(b川,bj，且(A,B)= (a1, HI,am,b1,HLbt)揪行初揪換? (a1，,am,bll,bt)(A,B)則有： b1川,bt能(不能)由a1川,am線(xiàn)性表示=b1川,bt能(不能)由a1川,am線(xiàn) 性表示.由上述結(jié)論可知：要判定向量組ajH,an

19、的線(xiàn)性關(guān)系.可令A(yù)=®川,a.)，對(duì)A進(jìn)行行變換使 之化簡(jiǎn)為B=(bi,|,bn)，則可由5,1|1,5的線(xiàn)性關(guān)系來(lái)判定之；要判斷bH,bt能(不能)由aH,am線(xiàn)性表示，可令A(yù)= ®川,am), B= (b“川,bj , 對(duì)(A,B)進(jìn)行行變換使之化簡(jiǎn)為(A,B),則可由bi,川,bt能(不能)由 ai川,am線(xiàn)性表示來(lái)判斷之例 1：設(shè) ai = (1,11)，a2= (0,3,2)，a3= (1,4,3)，判斷 a“，a?，a3 的線(xiàn)性關(guān)系.解法一（人工解）：驏驏0以ai , a? , a3為列作矩陣A= | 3桫21 土4言對(duì)A作行變換，使之變?yōu)樽詈?jiǎn)單形式:a2 a0

20、 3 2wow0Q02S?-1 1 OO 1 OS驏13 2 0 3 2(bibs)B .3土則有下列結(jié)論： Tb3 =bi + b2,a3 =ai + a2 .Tbi ,b3線(xiàn)性無(wú)關(guān),ai ,a3線(xiàn)性無(wú)關(guān). 又 bi , b2是bi , b2, b3的極大無(wú)關(guān)組，二ai , a2是ai , a? , a3的極大無(wú)關(guān)組.解法二(Mathematica 求解)：輸入以下命令：a=Tra nsposei,i,i,0,3,2,i,4,3a/MatrixFormRowReducea /MatrixForm計(jì)算結(jié)果為：ln17:= a = Transpose1, lr 0, 3*(1, 4, 3a /

21、MatriomRo誣educe3 / MatriiffomOut171= (K Of lr tb 34U (1, 2f 3ijt 18/TVtatrixForm=/ 1 O 1134.123.Os 1Form=f 101OilL 0 0 ,可見(jiàn)，此化簡(jiǎn)結(jié)果與解法一相同，故可得相同結(jié)論。例 2 設(shè)有兩組向量 ai= (1,2,3), a2 = (1,0,2)和向量組 6 = (3,4,8), b2=(2,2,5), b3= (0,2,1)，判定這兩組向量是否等價(jià).解：先以給定的向量為列作矩陣A= (ai ,a2 bi4,b3),對(duì)A作行初等變換，使a1 , a2 盡量化簡(jiǎn)，輸入命令：a=Tra

22、nspose1,2,3,1,0,2,3,4,8,2,2,5,0,2,1鐃誅臥瀉噦圣騁貺頂廡。a/MatrixFormRowReducea /MatrixForm計(jì)算結(jié)果為：In20：= a = Transpoself 23), 1,0； lf J, 4* 嘰2； 2； 5)；仙 2f 1) a MatrimoniiRm Seduce a /MatriiffomOutpD1 1, h 3,2f t)L (2, 0； 4, Zf 2； 3； 2f 8； 5f 1Outpi/WtrixForm=1 132Oi2 0422J2851Outp2/flVfetrij(FonTi=/I0211i0 111-

23、1LO0000j于是，設(shè)：A= (aa2 bb2,b3)=9 .-.z0 2 12 2 53 4 810 2A =o 1 o?-T一4=一： 一-rz1 o-1 1 o2 10b1 = 2a1 + a2 ,b2= ai+ a2 ,= 2a! + a2, b2 = a1 + a2 ,bi,b2,b3b3 = ai -b3= aia2a2二bi , b2 , b3能用ai, a2線(xiàn)性表示.再作矩陣B= (bi,b2,bai,a2)，對(duì)B是施行行變換使bs, b?, bi盡量化簡(jiǎn),輸入命令:b=Tra nspose3,4,8,2,2,5,0,2,i,i,2,3,i,0,2擁締鳳襪備訊顎輪爛薔。b/M

24、atrixFormRowReduceb /MatrixForm計(jì)算結(jié)果為：hp3:= > = Transpose(3s« 8, 2, 2,5s 0,2,1, (1, 2,3s 1, 2 b / MatrixFormR0vRedurel) /khtrixFoimOut畸3* S 0,1, 1, (4, 2r 2t 2t 0打他 5f lf 3t 2-B一一21a3Q2b?._,.一.z10 212 3Outp4/AtatrixForm-/3 2 0 1 14 2 2 2 0(8 5 1 3 2)OLit25/MstrixForm=rl021-101-3-12L000001-1?1

25、2圭(b3,b2,bi,aa2)00歹2 3 0 -o 1 o-Bai =:bi-b2 ,a2 =:2b2 -bi ,ai =b1 -b2,a2 =2b2-bi,二ai, a2能由bi , b2, bs線(xiàn)性表示.綜上即知這兩個(gè)向量組等價(jià).2微積分運(yùn)算2.1 基本命令求極限命令有： 求極限的命令：Limit f, x x0 其中f :函數(shù)表達(dá)式，x:自變量，x0:自變量的趨向值. 求左極限的命令：Limitf ,x；xO,Direction-； +1其中f :函數(shù)表達(dá)式，x:自變量，xO：自變量的趨向值，+1 :左極限. 求右極限的命令：Limitf ,x >xO,Direction、一

26、1 其中f :函數(shù)表達(dá)式，x:自變量，xO:自變量的趨向值，-1 :左極限.求極值命令FindMinimumfx,x,xO找出fx在xO附近的極小值及極小值點(diǎn).解方程命令 求方程 f（x）=g（x）的解：Solve f x =gx , x其中：fx=gx是方程，x :是未知數(shù). 求方程的數(shù)值解NSolve方程或方程組，變量或變量組（用法和Solve相同）求導(dǎo)數(shù)命令：求導(dǎo)數(shù)的命令“ D”與求微分的命令“ Dt”Df,x 給出f關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)，而將表達(dá)式f中的其它變量看作常量. 因此，如果f是多元函數(shù)，則給出f關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù) .贓熱俁閫歲匱閶鄴鎵騷。Df,x,n 給出f關(guān)于x的n階導(dǎo)數(shù)或者偏導(dǎo)數(shù).D

27、f,x,y,z,給出f關(guān)于x,y,z,的混合偏導(dǎo)數(shù).Dtf,x 給出f關(guān)于x的全導(dǎo)數(shù)，將表達(dá)式f中的其它變量都看作x 的函數(shù).Dtf 給出f的微分.如果f是多元函數(shù)，則給出f的全微分.上述命令對(duì)表達(dá)式為抽象函數(shù)的情形也適用，其結(jié)果也是一些抽象符 命令D的選項(xiàng)NonConstants->指出內(nèi)的字母是x的函數(shù). 命令Dt的選項(xiàng)Constants->指出內(nèi)的字母是常數(shù).求積分命令： 求不定積分的命令：Integratef, x其中f :被積函數(shù)表達(dá)式，x :積分變量， Mathematica對(duì)不定積分的計(jì)算完成后輸出的只是一個(gè)結(jié)果，而不定 積分的結(jié)果應(yīng)是原函數(shù)族，因此需要自己加上積分常

28、數(shù)C.壇搏鄉(xiāng)囂懺蔞鍥鈴氈淚。 求定積分的命令：In tergratef , x, a, b其中f ：被積函數(shù)表達(dá)式，x:積分變量，a：積分下限，b：積分上限. 數(shù)值積分：Nintegratef,x,a,b在a,b上求 f 數(shù)值積分Nintegratef,x,a,x1,x2, ,b 以 x1,x2 .為分割求a,b上的 數(shù)值積分 蠟變黲癟報(bào)倀鉉錨鈰贅。數(shù)值積分是解決求定積分的另一種有效的方法，它可以給出一個(gè)近似解.特別是對(duì)于用Integrate命令無(wú)法求出的定積分，數(shù)值積分更是可以發(fā)揮巨大作用.買(mǎi)鯛鴯譖曇膚遙閆擷凄。2.2導(dǎo)數(shù)的求法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分例1 求函數(shù)f(x)二sin axcosbx的

29、一階導(dǎo)數(shù).并求f .la + b 丿輸入：DSi na*x*Cosb*x,x/.x->1/(a+b)計(jì)算結(jié)果：|叩：=D|Sina*x * Cos|b * x, x/.x->l/(a+ b)Sin Outi= a Cos I I Cos I -1 a + b J 1 a + b例2 求函數(shù)y = x10 (x-IO)9的1階到11階導(dǎo)數(shù).輸入:fx_:=xA10+2(x-10)A9DoPri ntDfx,x, n, n,1,11計(jì)算結(jié)果：怡古 fx : = xA10 + 2 (x -10)A9DoPrintDfxb x3 n), n, 1,1118 (-10 +x) + lOx&#

30、39;144 (-10 +X)T + 90 Xs1008 (-10 + x)& + 720 xT6048(-10 + x + 5040X630240 (-10 + x)4 + 30240 x5120960 (-10 +x)3 + 151200 x4362880 (-10 +x)£ + 604800725760 (-10 +x) + 1814400 X1725760 + 3628800x36288000或輸入：TableDfx,x,n,n,11則輸出集：in4：= TableDfxf k, n, n, 11Out4= (18 (-10 + x)f + 10x 144 (10 +

31、 x)? + 90x1008 (-10 + xjc + 720x 6048 (-10 +x)s + 5040 x6, 30240 (10 + x)4 + 30240x 120960 (-10 + x)s + 151200 x4, 362880 (-10 + x)E + 604800 x3f 725760 (-10 + x) + 1814400 X2x 725760+ 3628800xf 3628800, 0或輸入：fx:=x"0+2(x-10F9TableDfx,x, n, n,11/.x->1則輸出集：774840988,-688747446,535693248,-35712

32、3312,198434880,-88028640綾 鏑鯛駕櫬鶘蹤韋轔糴。29998080,-4717440,4354560,3628800,0注：此處用到“循環(huán)語(yǔ)句Do”Do表達(dá)式，循環(huán)變量的范圍其中，表達(dá)式中一般有循環(huán)變量，有多種方法說(shuō)明循環(huán)變量的取值范圍.最完整的格式是：Do表達(dá)式,循環(huán)變量名，最小值，最大值，增量其中，當(dāng)省略增量時(shí)，默認(rèn)增量為1.省略最小值時(shí)，默認(rèn)最小值為1.例3求由方程2x2xy y2 x 2y0確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).方法1使用導(dǎo)數(shù)命令，輸入：d1=D2 xA2-2 x*yx+yxA2+x+2 yx+1=0,x其中，輸入yx以表示y是x的函數(shù).輸出為對(duì)原方程兩邊求導(dǎo)數(shù)后的

33、方程：W dl =D2xA2"2x*yx + yxA2 + x + 2yx + 1 =0, x0i/tl= 1+ 4x - 2 y x +2 y' x - 2 xy'x + 2 y(x yfx = 0再解關(guān)于y x的方程，輸入：Solved1,y'x（此處的'是單引號(hào)）則輸出所求結(jié)果:inp：= Solvedl, y*x方法2 使用微分命令.輸入:Dt2 xA2-2x*y+yA2+x+2y+ 仁=0,xSolve%,Dty,x則輸出：Out(4= 1 + 4x - 2 y + 2 Dty x - 2 x Dt(yf x) + 2yDty, x 

34、7; 0Out(5=注意：方法1是用y 'x表示導(dǎo)數(shù)，而方法2是用Dty,x表示導(dǎo)數(shù). 例4求由方程2x2 - 2xy y x 2y0確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)輸入：d1=D2 xA2-2 x*yx+yxF2+x+2 yx+仁=0,x d2=Dd1,xSolved1,d2,y' x,y'' x則輸出結(jié)果岬卜 dl 二 D2 臚 2 -加擱 + yx|A2 + X+2 咽+1 = 0,期d2=Ddlfx|碩仙叫y屈y|繃OimP= l + 4x-2yx +2yfx -2x/x +2yxy'x 0Out(lO=+-2xyf xjylxly'jx: 0.8

35、 + %*肚綁岡)* _ gz訕 * v曲勺圉)”制JZ燦廠(chǎng)禺訕4刖沖今12曲U5 + 2y|x2(-l + x-yx)但結(jié)果是繁分式，對(duì)此，可用函數(shù)“ Simplify ”使其化簡(jiǎn)，如下所示，輸入：d1=D2 xA2-2 x*yx+yxF2+x+2 yx+1=0,xd2二Dd1,xSolved1,d2,y' x,y'' x/Simplify則輸出結(jié)果ini2：= dl=D2xA2-2 x*yx + yxA2 + x+2 yx| + l=0, x d2=Ddl,xSdvedld,yxF 剛 SimplifyOutp2>Ou! 13=l+4x-2yx +2/x -2

36、xyfx +2yxyrx » 0 44/x + 2/x£ + 2y,¥x -2xy,fx+ 2yx y；fx = 0錦。例5求由參數(shù)方程x二£在數(shù)學(xué)分析中已有結(jié)果:若:則:誅髏貺廡。l + 4x-2yx4(-1 + x-yx|)13+4x + axl-8C-l+x)yx+4yx1一小匕2皿-2咖；x"(t)， “(t)dy dy . dx dx dt dt/x于是求一階導(dǎo)數(shù)，可輸入命令:DEAt*Si nt,t/DEAt*Cost,t則得到：in H：= DEAt*Sin(t t|/DEAt*Costt於 Cost +(Et 5int0址1fl

37、=e* Cost -e* 5int求二階導(dǎo)數(shù)，則再輸入：D%,t/DEAt*Cost,t /Simplify則得到：in(i6：= D%,t|/DEAt*Cost|,t| /Sim)lify2嚴(yán)Outl6=(Cost2.3求二元多項(xiàng)式函數(shù)的極值理論基礎(chǔ)：在數(shù)學(xué)分析中有以下結(jié)論：極值與駐點(diǎn)極值：設(shè)函數(shù)z = f(x,y)在點(diǎn)(xo,yo)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)在此鄰域內(nèi)除 點(diǎn)(xo,yo)外的任意點(diǎn)(x , y )，均有 f (x,y) < f (xo, y°)(或者 f (x,y) > f (xo, y°)，則 稱(chēng)點(diǎn)(x0,y°)為函數(shù)z=f(xy

38、)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)).f(x0,y°)稱(chēng)為極大 值(或極小值)，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極 值。鍬籟饗逕瑣筆襖鷗婭薔。駐點(diǎn):使fx(x, y) =0, fy(x,y) =0同時(shí)成立的實(shí)數(shù)點(diǎn)(x , y )稱(chēng)為函數(shù)z二f (x, y) 的駐點(diǎn). 極值存在的必要條件設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(xo,yo)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且存在一階偏導(dǎo)數(shù)，如果(xo, yo)是極值點(diǎn)，則必有 fx(Xo,yo)=O, fy(Xo,yo)=O.極值存在的充分條件設(shè)函數(shù)z= f(x,y)在點(diǎn)(xo,yo)的某個(gè)鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且(xo,yo)是 駐點(diǎn)設(shè) A 二

39、fxx(xo,yo)， B= fxy(x0,y0) ,C 二 fyy(xo,yo)，貝S 當(dāng)B2-AC：0時(shí)，點(diǎn)(xo, yo)是極值點(diǎn)，且當(dāng)A ： 0時(shí)，點(diǎn)(xo, yo)是極大值 點(diǎn)；當(dāng)A 0時(shí)，點(diǎn)(xo,yo)是極小值點(diǎn)； 當(dāng)B2-AC 0時(shí)，點(diǎn)(xo,yo)不是極值點(diǎn)； 當(dāng)B2 - AC = 0時(shí)，點(diǎn)(xo,yo)有可能是極值點(diǎn)也可能不是極值點(diǎn).算法描述：根據(jù)上述結(jié)論，可以得到以下算法：1° 輸入 z = f(x,y);2° 求 a(x ,y )二 fx(x ,y )、b(x ,yfy(x ,y )與A(x,y) = fxx(x ,y )、B(x,y fxy(x ,

40、y )、C(x, y fyy(x ,y )；3° 求 P(x, y)二 B(x, y)2 - A(x, y)C(x, y)；4°解方程組：fx(x,y0，取其實(shí)數(shù)解得到z二f(x,y)的駐點(diǎn)集S；fy(x,y)=05°依次取每個(gè)(xo,y。)，S，計(jì)算P(xo,y。)，依照極值存在的充分條來(lái)判斷 (xo,yo)是否為極值點(diǎn)：若P(xo,y。)0，則(xo,yo)不是極值點(diǎn)；若 P(xo,yo):：o 且 A(xo,yo):：o，則 f(xo,yo)是極大值；若 P(Xo,y。)：0 且 A(xo,yo) 0，則 f(xo,yo)是極小值；若P(Xo, yo)=O,則不能確定(xo,yo)是否為極值點(diǎn)； 相關(guān)的 mathematic命令 Df x,y,x功能：求函數(shù)f(