向量數(shù)乘運算及其幾何意義

1、2.2.3 2.2.3 向量數(shù)乘運算及其幾何意義向量數(shù)乘運算及其幾何意義問題提出問題提出1.1.如何求作兩個非零向量的和向量、差如何求作兩個非零向量的和向量、差向量？向量？2.2.相同的幾個數(shù)相加可以轉(zhuǎn)化為數(shù)乘運相同的幾個數(shù)相加可以轉(zhuǎn)化為數(shù)乘運算，如算，如3 33 33 33 33=53=53=15.3=15.那么相那么相等的幾個向量相加是否也能轉(zhuǎn)化為數(shù)乘等的幾個向量相加是否也能轉(zhuǎn)化為數(shù)乘運算呢？這需要從理論上進(jìn)行探究運算呢？這需要從理論上進(jìn)行探究. . abaabba+ba- - b探究一：向量的數(shù)乘運算及其幾何意義探究一：向量的數(shù)乘運算及其幾何意義思考思考1 1：已知非零向量已知非零向量a

2、，如何求作向，如何求作向量量aaa和（和（a）（）（a） （a）？）？aaO OaaA AB BC CaaaO OM MN NP Paaa O C=uuu r （a）（a）（a）O P=uuu r思考思考2 2：向量向量aaa和（和（a）（a）（）（a）分別如何簡化其表示）分別如何簡化其表示形式？形式？ aaa記為記為3a，（a）（a）（a）記為記為3a.思考思考3 3：向量向量3 3a和和3 3a與向量與向量a的大小和的大小和方向有什么關(guān)系？方向有什么關(guān)系？2-aaO OaaA AB BC CaaaO OM MN NP P思考思考4 4：設(shè)設(shè)a為非零向量，那么為非零向量，那么 a和和 a還是

3、向量嗎？它們分別與向量還是向量嗎？它們分別與向量a有什么有什么關(guān)系？關(guān)系？232-a23a2-a思考思考5 5： 一般地，我們規(guī)定：實數(shù)一般地，我們規(guī)定：實數(shù)與向與向量量a的積是一個向量，這種運算叫做的積是一個向量，這種運算叫做向量向量的數(shù)乘的數(shù)乘. .記作記作a，該向量的長度與方向，該向量的長度與方向與向量與向量a有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？（1 1）|a|=|=|a| |；（2 2）0 0時時,a與與a方向相同；方向相同； 0 0時時,a與與a方向相反；方向相反； =0=0時時,a =0.=0.思考思考6 6：如圖，設(shè)點如圖，設(shè)點M M為為ABCABC的重心，的重心，D D為為BCBC的中點，

4、那么向量的中點，那么向量 與與 ， 與與 分別有什么關(guān)系？分別有什么關(guān)系？B Duuu rB Cuuu rA Duuu rD Muuuu rABCDM12B DB C=uuu ruuu r3A DD M= -uuu ruuuu r探究二探究二: :向量的數(shù)乘運算性質(zhì)向量的數(shù)乘運算性質(zhì) 思考思考1 1：你認(rèn)為你認(rèn)為2 2（5 5a），），2 2a2 2b， a可分別轉(zhuǎn)化為什么運算？可分別轉(zhuǎn)化為什么運算？(32)+-2-2 (5(5a)= -10)= -10a ；2 2a 2 2b = b = 2(2(a+ +b) )； (3(3 ) )a =3 =3a a. .22思考思考2 2：一般地，設(shè)一般

5、地，設(shè)，為實數(shù)，則為實數(shù)，則(a) )，() a，(ab) )分別分別等于什么？等于什么？(a)=()=() a ；() a = =a a； (a b)=)=ab. .思考思考3 3：對于向量對于向量a（a00）和）和b，若，若存在實數(shù)存在實數(shù)，使，使b=a，則向量，則向量a與與b的方向有什么關(guān)系？的方向有什么關(guān)系？思考思考4 4：若向量若向量a（a00）與）與b共線，則共線，則一定存在實數(shù)一定存在實數(shù)，使，使b=a成立嗎？成立嗎？思考思考5 5：綜上可得向量共線定理：綜上可得向量共線定理：向量向量a（a00）與）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)個實數(shù)，使，使b=a. .

6、 若若a0 0，上述定，上述定理成立嗎？理成立嗎？思考思考6 6：若存在實數(shù)若存在實數(shù)，使，使 ，則則A A、B B、C C三點的位置關(guān)系如何？三點的位置關(guān)系如何？A BBCl=uuu ruuu r思考思考7 7：如圖，若如圖，若P P為為ABAB的中點，則的中點，則 與與 、 的關(guān)系如何？的關(guān)系如何？O Puuu rO Auuu rO Buuu rA AB BP PO OA BBCABCl=uuu ruuu r、 、共線1()2O PO AO B=+uuu ruuu ruuu r思考思考8 8：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算向量的線性運算，對于任意向量

7、，對于任意向量a、b，以及任意實數(shù)以及任意實數(shù)、x x、y y，(x(xay yb）可）可轉(zhuǎn)化為什么運算？轉(zhuǎn)化為什么運算？ (x(xay yb b）=x=xayyb b. . 理論遷移理論遷移 例例1 1 計算計算（1 1）（）（3 3）4 4a； （2 2）3 3（ab b）2 2（ab b）a；（3 3）（）（2 2a3 3b bc）（）（3 3a2 2b bc c）. .2b3babO O例例2 2 如圖，已知任意兩個非零向量如圖，已知任意兩個非零向量a， b b，試作試作 = =ab b， = =a2 2b b， = =a3 3b b. .你能判斷你能判斷A A、B B、C C三點之三

8、點之間的位置關(guān)系嗎？為什么？間的位置關(guān)系嗎？為什么？OAOB OC abA AB BC C2A CA BABC=uuu ruuu r、 、共線例例3 3 如圖，平行四邊形如圖，平行四邊形ABCDABCD的兩條對的兩條對角線相交于點角線相交于點M M，且，且 = =a， = =b b，試用試用a, ,b b表示向量表示向量 、 、 、 A Buuu rA Duuu rM Auuu rM Buuu rM CuuurM DuuurM MA B A B D CD Cab小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè)1.1.實數(shù)與向量可以相乘，其積仍是向量，實數(shù)與向量可以相乘，其積仍是向量，但實數(shù)與向量不能相加、相減但實數(shù)與向量不能相加、相減. .實數(shù)除實數(shù)除以向量沒有意義，向量除以非零實數(shù)就以向量沒有意義，向量除以非零實數(shù)就是數(shù)乘向量是數(shù)乘向量. .2.2.若若a=0=0，則可能有，則可能有=0=0，也可能有，也可能有a=0.=0.3.3.向量的數(shù)乘運算律，不是規(guī)定，而是向量的數(shù)乘運算