二次函數(shù)實根分布

1、一一.函數(shù)零點函數(shù)零點w一般地，對于函數(shù)一般地，對于函數(shù)y=f(x)，我們把使，我們把使f(x)=0的實數(shù)的實數(shù)x就做函數(shù)就做函數(shù)y=f(x)的零點的零點. 由此得出以下三個結論等價：由此得出以下三個結論等價：w方程方程f(x)=0有實根有實根 w函數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點軸有交點w函數(shù)函數(shù)y=f(x)有零點有零點 實根分布問題實根分布問題 一元二次方程一元二次方程20(0)axbxca1、當、當x為全體實數(shù)時的根為全體實數(shù)時的根2(1)40 bac 當當時時，方方程程有有兩兩個個不不相相等等的的實實數(shù)數(shù)根根2(2)40 bac 當當時時，方方程程有有兩兩個個相相等等的的實

2、實數(shù)數(shù)根根2(3)40 bac 當當時時，方方程程沒沒有有實實數(shù)數(shù)根根 一元二次方程一元二次方程 在某個區(qū)間在某個區(qū)間上有實根，求其中字母系數(shù)的問題稱為上有實根，求其中字母系數(shù)的問題稱為實根分布問題實根分布問題。20(0)axbxca實根分布問題一般考慮四個方面，即實根分布問題一般考慮四個方面，即： （1）開口方向）開口方向（2）判別式）判別式（3）對稱軸）對稱軸（4）端點值）端點值 的符號。的符號。 24bac 2bxa ( )f m2、當、當x在某個范圍內的實根分布在某個范圍內的實根分布例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 （1） 兩個根都小于兩個根都小于1一元二次方程a

3、x2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布022) 1 (123204)3(2mfmabmm9mm221212( )(0)0(0), ()f xaxbxc aaxbxcaxxxx 設設一一元元二二次次方方程程的的兩兩根根為為(1)(k k方方程程兩兩根根都都小小于于為為常常數(shù)數(shù)）02( )0bkaf k 例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布（2） 兩個根都大于兩個根都大于120456)21(2123204)3(2mfmabmm165mm(2)(k k方方程程兩兩根根都都大大于于為為常常數(shù)數(shù)）02( )0

4、bkaf k 例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 （3） 一個根大于一個根大于1，一個根小于，一個根小于1一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布f(1)=2m-2 0）的的 根的分布根的分布023)2(0)0(2230 04) 3(2mfmfmmm1 32mm112212(4)(,kxxkkk 為為常常數(shù)數(shù)）121202()0()0bkkaf kf k 例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 （5）一個根小于一個根小于2，一個根大于，一個根大于4一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布045)4(023)2(

5、mfmf54mm112212(5)(,xkkxkk 為為常常數(shù)數(shù)）12()0()0f kf k 例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍（6） 兩個根有且僅有一個在（兩個根有且僅有一個在（0 ,2）內）內一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布f(0)f(2)=m(3m-2) 0）的的 根的分布根的分布04)3(0 22) 1 (0 )0(010)2(mfmfmfmf 12(7) (, ,mxnpxqm n p q 為為常常數(shù)數(shù)）()0( )0( )0( )0f mf nf pf q 例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 （8） 兩個正根

6、兩個正根一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布21212(3)40300mmxxmxxm 10mm兩根都大于兩根都大于0(8)方方程程有有兩兩個個不不相相等等的的正正根根可用韋達定理表達式來書寫條件可用韋達定理表達式來書寫條件002(0)0baf 也可也可( )f xx1x2x01212000 xxx x ( )f xx1x2x0(9)方方程程有有兩兩個個不不相相等等的的負負根根可用韋達定理表達式來書寫條件可用韋達定理表達式來書寫條件也可也可002(0)0baf (10)方方程程有有一一正正根根一一負負根根可用韋達定理表達式來書寫：可用韋達定理表達式來書寫：ac0也可

7、也可f(0)0即或解2(2) (2)(21)0 1012 .mxmxmm已知二次方程 的兩根分別屬于（， ）和（， ）求的取值范圍21210 1)(87)01122 17480011 42mmmmmffmffm(-1) (0)()() 解：由題(1(4 ) (2) 例例3.就實數(shù)就實數(shù)k的取值，討論下列關于的取值，討論下列關于x的方的方程解的情況：程解的情況：223xxk2 4 =43 43 33.2kkkkkyxxyk ： 將方程視為兩曲線 與相交，其交點橫坐標便是方程的解，由圖知：時， 無解；或時，有兩解；時有四個解；時有三個解解34yx結論結論：21 , (2), ( ) ( )0. 4

8、0 ( )0 02 ( )m nm nf m f nbaca f ma f nbmna （） 一元二次方程有且僅有一個實根屬于（）的充要條件是： 一元二次方程兩個實根都屬于（）的充要條件是：20(0) axbxca一元二次方程一元二次方程 在區(qū)間上的在區(qū)間上的實根分布問題實根分布問題. 22(3) , 4 , , ()0 ( )040 ( )0240 ()02 ,a f ma f nbaca f nbnabaca fm nm nm nmmbmn 一元二次方程兩個實根分別在（）兩側的充要條件是： （ ）一元二次方程兩個實根分別在（）同一側的充要條件是：分兩類：（ ）在（）右側（ ）在（）左側a注

9、：前提注：前提 m,n不是方程不是方程（1）的根的根.課時小結課時小結： 緊緊以函數(shù)圖像為中心，將緊緊以函數(shù)圖像為中心，將方程的根方程的根用用圖像圖像直觀的畫出來，或數(shù)形結合或等價轉直觀的畫出來，或數(shù)形結合或等價轉化，將函數(shù)、方程、不等式視為一個統(tǒng)一化，將函數(shù)、方程、不等式視為一個統(tǒng)一整體，另外，要重視參數(shù)的分類討論對圖整體，另外，要重視參數(shù)的分類討論對圖形的影響。形的影響。例例2、已知、已知 求求a的取值范圍。的取值范圍。2|230Ax xx2|40Bx xaxAB且例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 一個正根，一個負根且正根絕對值較大一個正根，一個負根且正根絕對值較大一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布02320)0(mabmf0mm1、