二次函數(shù)實(shí)根分布

1、一一.函數(shù)零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)w一般地，對于函數(shù)一般地，對于函數(shù)y=f(x)，我們把使，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)x就做函數(shù)就做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)的零點(diǎn). 由此得出以下三個結(jié)論等價：由此得出以下三個結(jié)論等價：w方程方程f(x)=0有實(shí)根有實(shí)根 w函數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點(diǎn)軸有交點(diǎn)w函數(shù)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)有零點(diǎn) 實(shí)根分布問題實(shí)根分布問題 一元二次方程一元二次方程20(0)axbxca1、當(dāng)、當(dāng)x為全體實(shí)數(shù)時的根為全體實(shí)數(shù)時的根2(1)40 bac 當(dāng)當(dāng)時時，方方程程有有兩兩個個不不相相等等的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)根根2(2)40 bac 當(dāng)當(dāng)時時，方方程程有有兩兩個個相相等等的的實(shí)

2、實(shí)數(shù)數(shù)根根2(3)40 bac 當(dāng)當(dāng)時時，方方程程沒沒有有實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)根根 一元二次方程一元二次方程 在某個區(qū)間在某個區(qū)間上有實(shí)根，求其中字母系數(shù)的問題稱為上有實(shí)根，求其中字母系數(shù)的問題稱為實(shí)根分布問題實(shí)根分布問題。20(0)axbxca實(shí)根分布問題一般考慮四個方面，即實(shí)根分布問題一般考慮四個方面，即： （1）開口方向）開口方向（2）判別式）判別式（3）對稱軸）對稱軸（4）端點(diǎn)值）端點(diǎn)值 的符號。的符號。 24bac 2bxa ( )f m2、當(dāng)、當(dāng)x在某個范圍內(nèi)的實(shí)根分布在某個范圍內(nèi)的實(shí)根分布例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 （1） 兩個根都小于兩個根都小于1一元二次方程a

3、x2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布022) 1 (123204)3(2mfmabmm9mm221212( )(0)0(0), ()f xaxbxc aaxbxcaxxxx 設(shè)設(shè)一一元元二二次次方方程程的的兩兩根根為為(1)(k k方方程程兩兩根根都都小小于于為為常常數(shù)數(shù)）02( )0bkaf k 例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布（2） 兩個根都大于兩個根都大于120456)21(2123204)3(2mfmabmm165mm(2)(k k方方程程兩兩根根都都大大于于為為常常數(shù)數(shù)）02( )0

4、bkaf k 例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 （3） 一個根大于一個根大于1，一個根小于，一個根小于1一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布f(1)=2m-2 0）的的 根的分布根的分布023)2(0)0(2230 04) 3(2mfmfmmm1 32mm112212(4)(,kxxkkk 為為常常數(shù)數(shù)）121202()0()0bkkaf kf k 例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 （5）一個根小于一個根小于2，一個根大于，一個根大于4一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布045)4(023)2(

5、mfmf54mm112212(5)(,xkkxkk 為為常常數(shù)數(shù)）12()0()0f kf k 例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍（6） 兩個根有且僅有一個在（兩個根有且僅有一個在（0 ,2）內(nèi)）內(nèi)一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布f(0)f(2)=m(3m-2) 0）的的 根的分布根的分布04)3(0 22) 1 (0 )0(010)2(mfmfmfmf 12(7) (, ,mxnpxqm n p q 為為常常數(shù)數(shù)）()0( )0( )0( )0f mf nf pf q 例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 （8） 兩個正根

6、兩個正根一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布21212(3)40300mmxxmxxm 10mm兩根都大于兩根都大于0(8)方方程程有有兩兩個個不不相相等等的的正正根根可用韋達(dá)定理表達(dá)式來書寫條件可用韋達(dá)定理表達(dá)式來書寫條件002(0)0baf 也可也可( )f xx1x2x01212000 xxx x ( )f xx1x2x0(9)方方程程有有兩兩個個不不相相等等的的負(fù)負(fù)根根可用韋達(dá)定理表達(dá)式來書寫條件可用韋達(dá)定理表達(dá)式來書寫條件也可也可002(0)0baf (10)方方程程有有一一正正根根一一負(fù)負(fù)根根可用韋達(dá)定理表達(dá)式來書寫：可用韋達(dá)定理表達(dá)式來書寫：ac0也可

7、也可f(0)0即或解2(2) (2)(21)0 1012 .mxmxmm已知二次方程 的兩根分別屬于（， ）和（， ）求的取值范圍21210 1)(87)01122 17480011 42mmmmmffmffm(-1) (0)()() 解：由題(1(4 ) (2) 例例3.就實(shí)數(shù)就實(shí)數(shù)k的取值，討論下列關(guān)于的取值，討論下列關(guān)于x的方的方程解的情況：程解的情況：223xxk2 4 =43 43 33.2kkkkkyxxyk ： 將方程視為兩曲線 與相交，其交點(diǎn)橫坐標(biāo)便是方程的解，由圖知：時， 無解；或時，有兩解；時有四個解；時有三個解解34yx結(jié)論結(jié)論：21 , (2), ( ) ( )0. 4

8、0 ( )0 02 ( )m nm nf m f nbaca f ma f nbmna （） 一元二次方程有且僅有一個實(shí)根屬于（）的充要條件是： 一元二次方程兩個實(shí)根都屬于（）的充要條件是：20(0) axbxca一元二次方程一元二次方程 在區(qū)間上的在區(qū)間上的實(shí)根分布問題實(shí)根分布問題. 22(3) , 4 , , ()0 ( )040 ( )0240 ()02 ,a f ma f nbaca f nbnabaca fm nm nm nmmbmn 一元二次方程兩個實(shí)根分別在（）兩側(cè)的充要條件是： （ ）一元二次方程兩個實(shí)根分別在（）同一側(cè)的充要條件是：分兩類：（ ）在（）右側(cè)（ ）在（）左側(cè)a注

9、：前提注：前提 m,n不是方程不是方程（1）的根的根.課時小結(jié)課時小結(jié)： 緊緊以函數(shù)圖像為中心，將緊緊以函數(shù)圖像為中心，將方程的根方程的根用用圖像圖像直觀的畫出來，或數(shù)形結(jié)合或等價轉(zhuǎn)直觀的畫出來，或數(shù)形結(jié)合或等價轉(zhuǎn)化，將函數(shù)、方程、不等式視為一個統(tǒng)一化，將函數(shù)、方程、不等式視為一個統(tǒng)一整體，另外，要重視參數(shù)的分類討論對圖整體，另外，要重視參數(shù)的分類討論對圖形的影響。形的影響。例例2、已知、已知 求求a的取值范圍。的取值范圍。2|230Ax xx2|40Bx xaxAB且例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 一個正根，一個負(fù)根且正根絕對值較大一個正根，一個負(fù)根且正根絕對值較大一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布02320)0(mabmf0mm1、