二次函數(shù)實(shí)根分布

1、一一.函數(shù)零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)w一般地，對(duì)于函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)y=f(x)，我們把使，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)x就做函數(shù)就做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)的零點(diǎn). 由此得出以下三個(gè)結(jié)論等價(jià)：由此得出以下三個(gè)結(jié)論等價(jià)：w方程方程f(x)=0有實(shí)根有實(shí)根 w函數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點(diǎn)軸有交點(diǎn)w函數(shù)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)有零點(diǎn) 實(shí)根分布問(wèn)題實(shí)根分布問(wèn)題 一元二次方程一元二次方程20(0)axbxca1、當(dāng)、當(dāng)x為全體實(shí)數(shù)時(shí)的根為全體實(shí)數(shù)時(shí)的根2(1)40 bac 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，方方程程有有兩兩個(gè)個(gè)不不相相等等的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)根根2(2)40 bac 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，方方程程有有兩兩個(gè)個(gè)相相等等的的實(shí)

2、實(shí)數(shù)數(shù)根根2(3)40 bac 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，方方程程沒(méi)沒(méi)有有實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)根根 一元二次方程一元二次方程 在某個(gè)區(qū)間在某個(gè)區(qū)間上有實(shí)根，求其中字母系數(shù)的問(wèn)題稱(chēng)為上有實(shí)根，求其中字母系數(shù)的問(wèn)題稱(chēng)為實(shí)根分布問(wèn)題實(shí)根分布問(wèn)題。20(0)axbxca實(shí)根分布問(wèn)題一般考慮四個(gè)方面，即實(shí)根分布問(wèn)題一般考慮四個(gè)方面，即： （1）開(kāi)口方向）開(kāi)口方向（2）判別式）判別式（3）對(duì)稱(chēng)軸）對(duì)稱(chēng)軸（4）端點(diǎn)值）端點(diǎn)值 的符號(hào)。的符號(hào)。 24bac 2bxa ( )f m2、當(dāng)、當(dāng)x在某個(gè)范圍內(nèi)的實(shí)根分布在某個(gè)范圍內(nèi)的實(shí)根分布例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 （1） 兩個(gè)根都小于兩個(gè)根都小于1一元二次方程a

3、x2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布022) 1 (123204)3(2mfmabmm9mm221212( )(0)0(0), ()f xaxbxc aaxbxcaxxxx 設(shè)設(shè)一一元元二二次次方方程程的的兩兩根根為為(1)(k k方方程程兩兩根根都都小小于于為為常常數(shù)數(shù)）02( )0bkaf k 例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布（2） 兩個(gè)根都大于兩個(gè)根都大于120456)21(2123204)3(2mfmabmm165mm(2)(k k方方程程兩兩根根都都大大于于為為常常數(shù)數(shù)）02( )0

4、bkaf k 例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 （3） 一個(gè)根大于一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于，一個(gè)根小于1一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布f(1)=2m-2 0）的的 根的分布根的分布023)2(0)0(2230 04) 3(2mfmfmmm1 32mm112212(4)(,kxxkkk 為為常常數(shù)數(shù)）121202()0()0bkkaf kf k 例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 （5）一個(gè)根小于一個(gè)根小于2，一個(gè)根大于，一個(gè)根大于4一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布045)4(023)2(

5、mfmf54mm112212(5)(,xkkxkk 為為常常數(shù)數(shù)）12()0()0f kf k 例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍（6） 兩個(gè)根有且僅有一個(gè)在（兩個(gè)根有且僅有一個(gè)在（0 ,2）內(nèi)）內(nèi)一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布f(0)f(2)=m(3m-2) 0）的的 根的分布根的分布04)3(0 22) 1 (0 )0(010)2(mfmfmfmf 12(7) (, ,mxnpxqm n p q 為為常常數(shù)數(shù)）()0( )0( )0( )0f mf nf pf q 例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 （8） 兩個(gè)正根

6、兩個(gè)正根一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布21212(3)40300mmxxmxxm 10mm兩根都大于兩根都大于0(8)方方程程有有兩兩個(gè)個(gè)不不相相等等的的正正根根可用韋達(dá)定理表達(dá)式來(lái)書(shū)寫(xiě)條件可用韋達(dá)定理表達(dá)式來(lái)書(shū)寫(xiě)條件002(0)0baf 也可也可( )f xx1x2x01212000 xxx x ( )f xx1x2x0(9)方方程程有有兩兩個(gè)個(gè)不不相相等等的的負(fù)負(fù)根根可用韋達(dá)定理表達(dá)式來(lái)書(shū)寫(xiě)條件可用韋達(dá)定理表達(dá)式來(lái)書(shū)寫(xiě)條件也可也可002(0)0baf (10)方方程程有有一一正正根根一一負(fù)負(fù)根根可用韋達(dá)定理表達(dá)式來(lái)書(shū)寫(xiě)：可用韋達(dá)定理表達(dá)式來(lái)書(shū)寫(xiě)：ac0也可

7、也可f(0)0即或解2(2) (2)(21)0 1012 .mxmxmm已知二次方程 的兩根分別屬于（， ）和（， ）求的取值范圍21210 1)(87)01122 17480011 42mmmmmffmffm(-1) (0)()() 解：由題(1(4 ) (2) 例例3.就實(shí)數(shù)就實(shí)數(shù)k的取值，討論下列關(guān)于的取值，討論下列關(guān)于x的方的方程解的情況：程解的情況：223xxk2 4 =43 43 33.2kkkkkyxxyk ： 將方程視為兩曲線 與相交，其交點(diǎn)橫坐標(biāo)便是方程的解，由圖知：時(shí)， 無(wú)解；或時(shí)，有兩解；時(shí)有四個(gè)解；時(shí)有三個(gè)解解34yx結(jié)論結(jié)論：21 , (2), ( ) ( )0. 4

8、0 ( )0 02 ( )m nm nf m f nbaca f ma f nbmna （） 一元二次方程有且僅有一個(gè)實(shí)根屬于（）的充要條件是： 一元二次方程兩個(gè)實(shí)根都屬于（）的充要條件是：20(0) axbxca一元二次方程一元二次方程 在區(qū)間上的在區(qū)間上的實(shí)根分布問(wèn)題實(shí)根分布問(wèn)題. 22(3) , 4 , , ()0 ( )040 ( )0240 ()02 ,a f ma f nbaca f nbnabaca fm nm nm nmmbmn 一元二次方程兩個(gè)實(shí)根分別在（）兩側(cè)的充要條件是： （ ）一元二次方程兩個(gè)實(shí)根分別在（）同一側(cè)的充要條件是：分兩類(lèi)：（ ）在（）右側(cè)（ ）在（）左側(cè)a注

9、：前提注：前提 m,n不是方程不是方程（1）的根的根.課時(shí)小結(jié)課時(shí)小結(jié)： 緊緊以函數(shù)圖像為中心，將緊緊以函數(shù)圖像為中心，將方程的根方程的根用用圖像圖像直觀的畫(huà)出來(lái)，或數(shù)形結(jié)合或等價(jià)轉(zhuǎn)直觀的畫(huà)出來(lái)，或數(shù)形結(jié)合或等價(jià)轉(zhuǎn)化，將函數(shù)、方程、不等式視為一個(gè)統(tǒng)一化，將函數(shù)、方程、不等式視為一個(gè)統(tǒng)一整體，另外，要重視參數(shù)的分類(lèi)討論對(duì)圖整體，另外，要重視參數(shù)的分類(lèi)討論對(duì)圖形的影響。形的影響。例例2、已知、已知 求求a的取值范圍。的取值范圍。2|230Ax xx2|40Bx xaxAB且例：例：x2+（m-3)x+m=0 求求m的范圍的范圍 一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根且正根絕對(duì)值較大一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根且正根絕對(duì)值較大一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的的 根的分布根的分布02320)0(mabmf0mm1、