導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義及導(dǎo)數(shù)公式

1、本講教育信息 】一. 教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義及導(dǎo)數(shù)公式 學(xué)習(xí)目標(biāo) 了解平均變化率的概念和瞬時變化率的意義； 了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景， 體會導(dǎo)數(shù)的思 想及其內(nèi)涵。 通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。 理解導(dǎo)數(shù)的定義， 能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定 義，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 了解基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；了解導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；能利用導(dǎo)數(shù) 公式表的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 考點(diǎn)分析 1. 的平均變化率：已知函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義，令，則當(dāng)時，比值叫做函數(shù)在到之間的平均變化率。2. 瞬時變化率：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，當(dāng)自變量在附近改變時，函數(shù)值相應(yīng)地改 變 ，如果當(dāng)趨近于 0 時，平均變

2、化率趨近于一個常數(shù) L ，則數(shù) L 稱為函數(shù)在點(diǎn)的瞬時 變化率。記作：當(dāng)時，還可以說，當(dāng)時，函數(shù)平均變化率的極限等于函數(shù)在的瞬時變化率 L.記作： =L3. 導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)在的瞬時變化率，通常就定義為在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即 。注（ 1）變速運(yùn)動在的瞬時速度就是路程函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)（2）在定義式中，設(shè)，則，當(dāng)趨近于 0 時，趨近于，因此，導(dǎo)數(shù)的定義式可寫成。（ 3）若極限不存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)。4. 函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么對于開區(qū)間的每一個確定的值都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo) 數(shù)，這樣在開區(qū)間內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù)， 我們把這一新函數(shù)叫做函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù) （簡

3、 稱導(dǎo)數(shù)），記或；即：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在開區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)在處的函數(shù)值，即。 注意：導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱為導(dǎo)數(shù)，這要加以區(qū)分：求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)； 求一個函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)， 就是求導(dǎo)函數(shù)值。 它們之間的關(guān)系是函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo) 函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值。5. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般方法：（ 1）求函數(shù)的改變量。（2）求平均變化率。（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)。6. 與連續(xù)的關(guān)系： 如果函數(shù) y=f （x）在點(diǎn) x0處可導(dǎo)，那么函數(shù) y=f （ x）在點(diǎn) x0 處連續(xù)， 反之不成立。數(shù)具有連續(xù)性是函數(shù)具有可導(dǎo)性的必要條件，而不是充分條件。7. 數(shù)的幾何意義： 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線在點(diǎn)處的切線的

4、斜率。 由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程。體求法分兩步： （ 1）求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率； （2）由切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，得切線方程為：。特別地，如果曲線在點(diǎn)處的切線平行于y 軸， 這時導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為：8. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（ 1）常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 0，即，（2）冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，與此有關(guān)的如下：（3），9. 的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)：（ 1）和、差的導(dǎo)數(shù)：（ 2）積的導(dǎo)數(shù)：（ 3）商的導(dǎo)數(shù)：，（ g（x） 0）（4）【典型例題】例 1、物體的運(yùn)動方程是，其中的單位是米，的單位是秒，求物體在時的瞬時速度及物體 在一段時間內(nèi)相應(yīng)的平均速度。解： = ，

5、即即在的一段時間內(nèi)平均速度為。即 物體在時的瞬時速度是。例 2、 利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。解：即 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為例 3、求曲線在點(diǎn)（ 2， 4）處的切線方程。 解： 曲線在點(diǎn)（ 2， 4）處的切線方程為， 即例 4、求過曲線上的點(diǎn)，且與過這點(diǎn)的切線垂直的直線的方程。解： 由，得 曲線在點(diǎn)的切線的斜率是故所求直線的斜率為 所求直線的方程為即反思：要求與切線垂直的直線方程，關(guān)鍵是確定切線的斜率，即。已知曲線上一點(diǎn)的切線這一條件具有雙重含義， 在確定與切線垂直的直線方程時， 應(yīng)注 意考察函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是否為零， 當(dāng)導(dǎo)數(shù)為零時， 切線平行于 x 軸，過切點(diǎn) P 垂直于切 線的直線斜率不存在

6、。例 5 、已知函數(shù)，判斷在處是否可導(dǎo)。 解： 不存在 即函數(shù)在處不可導(dǎo)。例 6、 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（1）2（ 2） y=3x +x cosx10（ 3） y=5x sin x2cosx9（ 4） y=cot x解： （1）22（2）y=（3x2+xcosx）=（3x2） +（ xcos x）=3·2x+xcosx+x（cosx）=6x+cosxxsin x3）y=（5x10sin x 2cos x 9） =（ 5x10sin x）（ 2cos x） 910 10=5（ x10） sin x+5x10（sin x） 2（）· cos x+2（ cos x） 0=5

7、3; 10x9sin x +5x 10cos x（· cosx 2sin x）=50x9sin x+5x10cosxcosx+2sin x=（50x9+2）sin x+（ 5x10） cosx4） y=（cot x） =（）例 7、 求 y=· cosx 的導(dǎo)數(shù) .分析： 這道題可以看作兩個函數(shù)的乘積， 也可以看作兩個函數(shù)的商， 所以不同的看法有 不同的做法 . 這道題可以用兩種方法來求。解法一：y=（· cosx） =（） cos x+（ cos x）解法二： y=（· cosx） =（）例 8、已知函數(shù)的圖象過點(diǎn) P（0，2），且在點(diǎn) M（ 1，f

8、（ 1）處的切線方程為，求 函數(shù)的解析式。解：由 f（x） 的圖象經(jīng)過 P（0，2），知 d=2，所以即由在 M（ 1，f （ 1）處的切線方程是，知，即，即解得 b=c= 3 故所求的解析式是。模擬試題】、選擇題（本大題共 6 小題，每小題 5分，共 30分）1. 已知函數(shù)的圖象上一點(diǎn)（ 1，）及鄰近一點(diǎn)，則等于（）A. 4 B. C. D.2. 已知曲線上一點(diǎn) P（ 1，），過點(diǎn) P的切線的傾斜角為（）A. B. C. D.3. 如果質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律運(yùn)動，則在時的瞬時速度為（A.3B9C.D. 274.曲線在點(diǎn) P（ 4，2）處的切線方程為（）A.B.C.D.5.拋物線上何處的切線與直線的夾角是（）A. B.C.（1，1)D. 與6.過點(diǎn) P（）且與曲線在點(diǎn) M（ 1， 1）處的切線平行的直線方程是（）A.B.C.D.、填空題（本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20分）7. 設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，為常數(shù)，則 = 。8. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù) = 。9. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù) = 。10. 曲線在 P0 處的切線平行于直線，則 P0 點(diǎn)的坐標(biāo)為 三、解答題（本大題共 4 題，共 50分）11. 利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。12. 已知點(diǎn)為曲線上的一點(diǎn)， 曲線在 A點(diǎn)處的切線方程為， 曲線斜率為 1 的切線有幾條？ 它們之間的距離是多少？13.