應(yīng)用反比例函數(shù)中k的幾何意義解題舉例(共5頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上反比例圖像上的點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積 圖1ANMXYO一般地，如圖1，過(guò)雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)A作x軸、y軸的垂線(xiàn)AM、AN，所得矩形AMON的面積為：S=AM×AN=|x|×|y|=|xy|.又y=，xy=k.=|k|.這就是說(shuō)，過(guò)雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，做X軸、Y軸的垂線(xiàn)，所得矩形的面積為|k|,這是系數(shù)k的幾何意義，明確了k的幾何意義會(huì)給解題帶來(lái)許多方便，請(qǐng)思考下列問(wèn)題：1、求函數(shù)的解析式ACOBx圖2例1如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第一象限相交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)分別作軸、軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)、如果四邊形是正方形，求一次函數(shù)的關(guān)系

2、式解析四邊形是正方形及反比例函數(shù)的圖象在第一象限相交于點(diǎn)，則正方形的面積為：Sxy9，所以正方形的邊長(zhǎng)為3，即點(diǎn)A的坐標(biāo)（3，3，）。將點(diǎn)A（3，3，）代入直線(xiàn)得y=x+1。2.特殊點(diǎn)組成圖形的面積xyABO圖3例2如圖3，點(diǎn)、是雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，分別經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)向軸、軸作垂線(xiàn)段，若則 解析由A,B分別向兩坐標(biāo)軸作垂線(xiàn)圍成圖形的面積相等，S1+S陰影S2+S陰影xy3.圖4224。例3如圖4，A、B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，BC軸，AC軸，ABC的面積記為，則（）A BCD 解析A、B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，ABC的面積記為4SAOD=4×xy=4.圖53、求字母

3、的值例4如圖5，直線(xiàn)y=mx與雙曲線(xiàn)y=交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AMx軸，垂足為M，連結(jié)BM,若=2，則k的值是（）A2B、m-2C、mD、4解析直線(xiàn)y=mx與雙曲線(xiàn)y=交于A、B兩點(diǎn)，已知A,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，所以=2SAOM=2×xy=xy=2k=2。例5如圖6，已知雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)直角三角形OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于點(diǎn)C若OBC的面積為3，則k_解析：由雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)直角三角形OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，圖6設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)（x,y），又DEBA,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2x,2y），OBC的面積3,OA.AB=×2x×2y=2xy=2k=3,k=.4、求線(xiàn)段的長(zhǎng)度

4、例6如圖7，已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第一象限相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)軸于點(diǎn)，的面積為1，則的長(zhǎng)為 （保留根號(hào)） 解析：的面積為1，yOxACB圖7k=1,k=2。解方程組y=x+1Y=,得A的坐標(biāo)（1，2）。由一次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)C，OC=1,BC=2,AB=2,由勾股定理得2。5、探討面積的變化xyOAB圖8例7如圖7，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是軸正半軸上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)（）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，的面積將會(huì)（）A逐漸增大B不變C逐漸減小D先增大后減小解析是軸正半軸上的一個(gè)定點(diǎn)，OA的長(zhǎng)度是定值，即的底邊一定。點(diǎn)是雙曲線(xiàn)（）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)

5、，縱坐標(biāo)y的值逐漸減小，故的面積將會(huì)逐漸減小，選B。6.確定自變量的取值范圍例8已知一次函數(shù)點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上,PAx軸,垂足為A,PBy軸,垂足為B,且四邊形AOBP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為2.求k值;求所有滿(mǎn)足的x;試根據(jù)這兩個(gè)函數(shù)的圖象,寫(xiě)出滿(mǎn)足的x的取值范圍(只需直接寫(xiě)出結(jié)論).分析:根據(jù)四邊形AOBP的面積為2,可以求出反比例函數(shù)中的k值.再利用轉(zhuǎn)換為一元二次方程求出相應(yīng)的x值.解:(1)四邊形AOBP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為2,k=2.解得x=-2或x=1.由圖象得當(dāng)-2x0或x1時(shí),滿(mǎn)足.點(diǎn)撥:反比例函數(shù)常與一次函數(shù)結(jié)合起來(lái)考查,而反比例函數(shù)獨(dú)有的特性就是反比例函數(shù)圖象上任

6、意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸做垂線(xiàn),形成矩形的面積為|k|.探究反比例函數(shù)中k的意義反比例函數(shù)(k0)的比例系數(shù)k的意義，除同學(xué)們熟悉的“當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線(xiàn)的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x的增大而減??；當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線(xiàn)的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x的增大而增大”外，還有一個(gè)非常重要的意義，即過(guò)反比例函數(shù)(k0)的圖像上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線(xiàn)，與兩坐標(biāo)軸所圍成矩形的面積都等于；過(guò)反比例函數(shù)(k0)圖像上任意一點(diǎn)作x軸(或y軸)的垂線(xiàn)，且連結(jié)坐標(biāo)原點(diǎn)，與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積都等于.PyxOMN圖1探究1：若P(x，y)為反比例函數(shù)(k0)圖像上的任意一

7、點(diǎn)如圖1所示，過(guò)P作PMx軸于M，作PNy軸于N，求矩形PMON的面積.分析：S矩形PMON=, xy=k, S =.探究2：若Q(x，y)為反比例函數(shù)(k0)圖像上的任意一點(diǎn)如圖2所示，過(guò)Q作QAx軸于A(或作QBy軸于B)，連結(jié)QO，則所得三角形的面積為：SQOA=（或SQOB=）.（本題由同學(xué)們自己試著說(shuō)明理由）說(shuō)明：當(dāng)k>0時(shí)，所圍成的矩形的面積為k，三角形的面積為；OByxAQ圖2當(dāng)k<0時(shí)，所圍成的矩形的面積為-k，三角形的面積為.以上結(jié)論與點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上的位置無(wú)關(guān).應(yīng)用舉例：例1 如圖3，在反比例函數(shù)（x0）的圖象上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作軸、軸的垂線(xiàn)，垂足分別為M、N，那么四邊形的面積為 PyMx0N圖3解：S四邊形PMON=.MyNxO圖4例2 反比例函數(shù)的圖象如圖