06--第六講復(fù)習(xí)不等式新課程

1、第六講 復(fù)習(xí)不等式一、 本講進度不等式復(fù)習(xí)二、本講主要內(nèi)容1、 不等式的概念及性質(zhì)； 2、不等式的證明； 3、不等式的解法； 4、不等式的應(yīng)用。三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、 不等式的性質(zhì)是證明不等式和解不等式的基礎(chǔ)。不等式的基本性質(zhì)有：（1） 對稱性或反身性：a>bb<a；（2） 傳遞性：若a>b，b>c，則a>c；（3） 可加性：a>ba+c>b+c，此法則又稱為移項法則；（4） 可乘性：a>b，當(dāng)c>0時，ac>bc；當(dāng)c<0時，ac<bc。不等式運算性質(zhì)：（1） 同向相加：若a>b，c>d，則a+c>b+d；（

2、2） 正數(shù)同向相乘：若a>b>0，c>d>0，則ac>bd。 特例：（3）乘方法則：若a>b>0，nN+，則；（4）開方法則：若a>b>0，nN+，則；（5） 倒數(shù)法則：若ab>0，a>b，則。掌握不等式的性質(zhì)，應(yīng)注意：（1） 條件與結(jié)論間的對應(yīng)關(guān)系，如是“”符號還是“”符號；（2） 不等式性質(zhì)的重點是不等號方向，條件與不等號方向是緊密相連的。 2、均值不等式；利用完全平方式的性質(zhì)，可得a2+b22ab（a，bR），該不等式可推廣為a2+b22|ab|；或變形為|ab|；當(dāng)a，b0時，a+b或ab.在具體條件下選擇適當(dāng)?shù)男问健?

3、、不等式的證明：（1） 不等式證明的常用方法：比較法，公式法，分析法，反證法，換元法，放縮法；（2） 在不等式證明過程中，應(yīng)注重與不等式的運算性質(zhì)聯(lián)合使用；（3） 證明不等式的過程中，放大或縮小應(yīng)適度。4、 不等式的解法：解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過程中應(yīng)使每一步的變形都要恒等。一元二次不等式（組）是解不等式的基礎(chǔ)，一元二次不等式是解不等式的基本題型。利用序軸標(biāo)根法可以解分式及高次不等式。含參數(shù)的不等式應(yīng)適當(dāng)分類討論。5、不等式的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，如求函數(shù)的定義域，值域，研究函數(shù)單調(diào)性等。在解決問題過程中，應(yīng)當(dāng)善于發(fā)現(xiàn)具體問題背景下的不等式模型。用基本不等式求分式函數(shù)及多

4、元函數(shù)最值是求函數(shù)最值的初等數(shù)學(xué)方法之一。研究不等式結(jié)合函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想，等價變換思想等。四、典型例題例1、 已知f(x)=ax2-c，-4f(1)-1，-1f(2)5，試求f(3)的取值范圍。解題思路分析：從條件和結(jié)論相互化歸的角度看，用f(1)，f(2)的線性組合來表示f(3)，再利用不等式的性質(zhì)求解。設(shè)f(3)=mf(1)+nf(2) 9a-c=m(a-c)+n(4a-c) 9a-c=(m+4n)a-(m+n)c f(3)= -4f(1)-1，-1f(2)5 , -1f(3)20說明：1、本題也可以先用f(1)，f(2)表示a，c，即a=f(2)-f(1)，c=f(2)-4f(1)

5、，然后代入f(3)，達到用f(1)，f(2)表示f(3)的目的。 2、本題典型錯誤是從-4a-c-1，-14a-c5中解出a，c的范圍，然后再用不等式的運算性質(zhì)求f(3)=9a-c的范圍。錯誤的原因是多次運用不等式的運算性質(zhì)時，不等式之間出現(xiàn)了不等價變形。2、 本題還可用線性規(guī)劃知識求解。例2、 設(shè)a>0，b>0，求證：。解題思路分析：法一：比差法，當(dāng)不等式是代數(shù)不等式時，常用比差法，比差法的三步驟即為函數(shù)單調(diào)性證明的步驟。左-右= 0 左右法二：基本不等式根據(jù)不等號的方向應(yīng)自左向右進行縮小，為了出現(xiàn)右邊的整式形式，用配方的技巧。 兩式相加得：例3、 設(shè)實數(shù)x，y滿足y+x2=0，

6、0<a<1，求證：。解題思路分析： ，0<a<1 說明：本題在放縮過程中，利用了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)知識與不等式是緊密相連的。例4、已知a，b為正常數(shù)，x，y為正實數(shù)，且，求x+y的最小值。解題思路分析：法一：直接利用基本不等式：當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立說明：為了使得等號成立，本題利用了“1”的逆代換。法二：消元為一元函數(shù)途徑一：由得 x>0，y>0，a>0 由>0得y-b>0 x+y當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立途徑二：令，（0，） ， x+y=當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立說明：本題從代數(shù)消元或三角換元兩種途徑起到了消元作用。例5、已知f(x)=-3x2+

7、a(6-a)x+b（1） 解關(guān)于a的不等式f(1)>0；（2） 當(dāng)不等式f(x)>0的解集為（-1，3）時，求實數(shù)a，b的值。解題思路分析：（1） f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3 f(1)>0 a2-6a+3-b<0 =24+4b當(dāng)b-6時，0 f(1)>0的解集為；當(dāng)b>-6時， f(1)>0的解集為 （2） 不等式-3x2+a(6-a)x+b>0的解集為（-1，3） f(x)>0與不等式(x+1)(x-3)<0同解 3x2-a(6-a)x-b<0解集為（-1，3） 解之得例6、設(shè)a，bR，關(guān)于x方程x

8、2+ax+b=0的實根為，若|a|+|b|<1，求證：|<1，|<1。解題思路分析：在不等式、方程、函數(shù)的綜合題中，通常以函數(shù)為中心。法一：令f(x)=x2+ax+b則 f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0 f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0又 0<|a|a|+|b|<1 -1<a<1 f(x)=0的兩根在（-1，1）內(nèi)，即|<1，|<1法二：+=-a，=b |+|+|=|+|<1 |-|+|<|+|+|<1（|-1）（|+1）<0 |+1>0 |&l

9、t;1同理：|<1說明：對絕對值不等式的處理技巧是適度放縮，如|a|-|b|a+b|及|b|-|a|a±b|的選擇等。例7、某人乘坐出租車從A地到乙地，有兩種方案：第一種方案，乘起步價為10元，每km價1.2元的出租車；第二種方案，乘起步價為8元，每km價1.4元的出租車，按出租車管理條例，在起步價內(nèi)，不同型號的出租車行駛的里路是相等的，則此人從A地到B地選擇哪一種方案比較適合？解題思路分析：設(shè)A地到B地距離為mkm，起步價內(nèi)行駛的路為akm顯然，當(dāng)ma時，選起步價為8元的出租車比較合適當(dāng)m>a時，設(shè)m=a+x（x>0），乘坐起步價為10元的出租車費用為P(x)元，

10、乘坐起步價為8元的出租車費用為Q(x)元，則P(x)=10+1.2x，Q(x)=8+1.4x P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x) 當(dāng)x>0時，P(x)<Q(x)，此時起步價為10元的出租車比較合適當(dāng)x<10時，P(x)>Q(x)，此時選起步價為8元的出租車比較合適當(dāng)x=10時，此時兩種出租車任選五、同步練習(xí)（一） 選擇題1、“a>0且b>0”是“”的A、充分而非必要條件 B、必要而非充要條件C、充要條件 D、既非充分又非必要條件2、設(shè)a<0，則關(guān)于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集為A、（） B、（） C、（） D、3、

11、若0<a<b且a+b=1，則四個數(shù)，b，2ab，a2+b2中最大的是A、 B、b C、2ab D、a2+b24、 已知x>0，f(x)=，則A、f(x)2 B、f(x)10 C、f(x)6 D、f(x)35、 已知，（a>2），則A、 p>q B、p<q C、pq D、pq6、 若|a-c|<h， |b-c|<h，則下列不等式一定成立的是A、 |a-b|<2h B、|a-b|>2h C、|a-b|<h D、|a-b|>h7、 關(guān)于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，則實數(shù)a的取值范圍是A、 （-，-80，

12、+） B、（-，-4）B、 -8，4） D、（-，-88、 若a>0，b>0，且2a+b=1，則S=2-4a2-b2的最大值是A、 B、 C、 D、（二） 填空題9、 設(shè)a>0，b>0，a，b是常數(shù)，則當(dāng)x>0時，函數(shù)f(x)=的最小值是_。 10、周長為的直角三角形面積的最大值為_。 11、記S=，則S與1的大小關(guān)系是_。12、不等式|x2-2x+3|<|3x-1|的解集為_。（三） 解答題13、要使不等式對所有正數(shù)x，y都成立，試問k的最小值是多少？14、解關(guān)于x的不等式15、已知a0，求證：16、已知不等式對nN+都成立，試求實數(shù)a的取值范圍。17、若a是正實數(shù)，2a2+3b2=10，求的最值。18、商店經(jīng)銷某商品，年銷售量為D件，每件商品庫存費用為I元，每批進貨量為Q件，每次進貨所需費用為S元，現(xiàn)假定商店在賣完該貨物時立即進貨，使庫存量平均為件，問每批進貨量Q為多大時，整個費用最??？參考答案（一） 選擇題 1、A 2、A 3、B 4、C