(完整)初二數(shù)學(xué)最短路徑問(wèn)題知識(shí)歸納+練習(xí)(2),推薦文檔

1、初二數(shù)學(xué)最短路徑問(wèn)題【問(wèn)題概述】 最短路徑問(wèn)題是圖論研究中的一個(gè)經(jīng)典算法問(wèn)題，旨在尋找圖（由結(jié)點(diǎn)和路徑組成的）中兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑.算法具體的形式包括：確定起點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題 -即已知起始結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問(wèn)題.確定終點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題 -與確定起點(diǎn)的問(wèn)題相反，該問(wèn)題是已知終結(jié)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問(wèn)題.確定起點(diǎn)終點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題-即已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑.全局最短路徑問(wèn)題-求圖中所有的最短路徑.【問(wèn)題原型】“將軍飲馬”，“造橋選址”，“費(fèi)馬點(diǎn)”.【涉及知識(shí)】“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“三角形三邊關(guān)系”，“軸對(duì)稱”，“平移”.【出題背景】 角、三角形、菱形、矩形、正方形

2、、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等.【解題思路】 找對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”,近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問(wèn)題考查.【十二個(gè)基本問(wèn)題】【問(wèn)題1作法圖形原理A *lb在直線l上求一點(diǎn) P,使PA+PB值最小.連AB,與l交點(diǎn)即為P.AViB兩點(diǎn)之間線段最短.FA + PB最小值為AB.【問(wèn)題2】“將軍飲馬”作法圖形原理A.B l在直線l上求一點(diǎn) P,使PA+PB值最小.作B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B/連A B"與l交點(diǎn)即為P.A5P B'兩點(diǎn)之間線段最短.PA+PB最小值為A B"【問(wèn)題3】作法圖形原理liAl l2在直線li、l2上分別求點(diǎn)M、N,使 PMN的周長(zhǎng) 最小.分別

3、作點(diǎn)P關(guān)十兩直線的 對(duì)稱點(diǎn)P，和P，連P，P, 與兩直線交點(diǎn)即為M, N .P兩點(diǎn)之間線段最短.PM +MN + PN的最小值為 線段，的長(zhǎng).12N:12 P''【問(wèn)題4】作法圖形原理li/,Q *P乙l2在直線li、l2上分別求點(diǎn)M、N,使四邊形 PQMN 的周長(zhǎng)最小.分別作點(diǎn)Q、P關(guān)于直線 li、l2的對(duì)稱點(diǎn)Q/和P， 連CT P,與兩直線交點(diǎn)即 為 M , N.Q'11Q,/ 42N! .P'兩點(diǎn)之間線段最短.四邊形PQMN周長(zhǎng)的最小 值為線段P的長(zhǎng).【問(wèn)題5】“造橋選址”作法圖形原理1A*M mB直線m / n ,在m、n , 上分別求點(diǎn)M、N,使MN

4、，m ,且 AM + MN + BN 的 值最小.將點(diǎn)A向下平移MN的長(zhǎng) 度單位得A"連A B,交n 于點(diǎn)N ,過(guò)N作NM，m于 M .【問(wèn)題6】作法AB M a N-l在直線l上求兩點(diǎn)M、N（ M 在左），使MN a ,并使 AM + MN + NB的值最小.將點(diǎn)A向右平移a個(gè)長(zhǎng)度 單位得A，作A，關(guān)于1的 對(duì)稱點(diǎn)A，連AB,交直線 1于點(diǎn)N,將N點(diǎn)向左平 移a個(gè)單位得M.【問(wèn)題7】作法ll12在11上求點(diǎn)A,在12上求 點(diǎn)B,使PA+AB值最小.作點(diǎn)P關(guān)于11的對(duì)稱點(diǎn)p/,作 P B± 12 于 B,交 12 于A.【問(wèn)題8】作法JX11 AA 12MBA為11上一定點(diǎn)

5、，B為12上 一定點(diǎn)，在12上求點(diǎn)M, 在11上求點(diǎn) N ,使 AM + MN + NB的值最小.作點(diǎn)A關(guān)于12的對(duì)稱點(diǎn) A工作點(diǎn)B關(guān)于11的對(duì)稱 點(diǎn)B"連A B交12于M, 交11于N.【問(wèn)題9】作法A.,B 1在直線1上求一點(diǎn) P,使PA PB|的值最小.連AB ,作AB的中垂線與 直線1的交點(diǎn)即為P.AA, '-m 士?jī)牲c(diǎn)之間線段最短.AM +MN + BN的最小值為AB+MN.圖形原理AA'聿 fa ii 2WI1M : ，N：/ vA''兩點(diǎn)之間線段最短.AM +MN + BN的最小值為AB+MN.圖形原理11B12點(diǎn)到直線，垂線段最短.PA

6、+AB的最小值為線段 PB的長(zhǎng).圖形原理B' fjMB 12A'兩點(diǎn)之間線段最短.AM +MN + NB 的最小值為 線段A B，的長(zhǎng).圖形原理>B 1y P垂直平分上的點(diǎn)到線段兩 端點(diǎn)的距離相等.PA PB = 0 .【問(wèn)題10作法圖形原理7 - ACD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng) AC'、AD'分別與BC、CDA .B l在直線l上求一點(diǎn) P,使pA PB|的值最大.作直線AB,與直線1的交 點(diǎn)即為P.A、1P三角形任意兩邊之差小于第三邊.PA PB| <AB.PA PB的最大值 =AB.【問(wèn)題11作法圖形原理A .1*B在直線1上求一點(diǎn) P,使|PA PB的

7、值最大.作B關(guān)于1的對(duì)稱點(diǎn)B/ 作直線A B"與1交點(diǎn)即 為P.AIPB三角形任意兩邊之差小于第三邊.PA PB <ABZ.PA PB最大值=AB'【問(wèn)題12“費(fèi)馬點(diǎn)”作法圖形原理A ABC中每一內(nèi)角都小于 120° ,在 ABC內(nèi)求一點(diǎn) P,使PA+PB + PC值最小.所求點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”，即滿足/ APB = / BPC = / APC=120° ,以 AB、AC 為邊向外作等邊 ABD、 ACE,連 CD、BE 相交于P,點(diǎn)P即為所求.D 出-”A w BC兩點(diǎn)之間線段最短.PA+PB+PC 最小值=CD.【精品練習(xí)】1 .如圖所示，正方形 A

8、BCD的面積為12, ABE是等邊三角形，點(diǎn) E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線 AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為()A. 23B, 2而 C. 3 D. V62 .如圖，在邊長(zhǎng)為 2的菱形 ABCD中，/ ABC = 60 °,若將 交于點(diǎn)E、F,則ACEF的周長(zhǎng)的最小值為()A. 2B, 23C. 2 v'3D. 43 .四邊形 ABCD中，/ B = / D = 90°, / C=70°,在BC、CD上分別找一點(diǎn) M、N,使 AMN的周長(zhǎng)最小時(shí),/AMN+/ANM的度數(shù)為(A. 120 B. 130)C. 110° D. 1

9、404.如圖，在銳角ABC中，AB = 4 4萬(wàn)，/ BAC = 45 °, / BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D , M、N分別是 AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則 BM+MN的最小值是 5 .如圖，RtAABC中，/ C=90°, / B=30°, AB = 6,點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn) D在BC邊上（不與點(diǎn) B、C重合），且ED = AE,則線段AE的取值范圍是6 .如圖，/ AOB = 30°,點(diǎn) M、N分別在邊 OA、OB上，且 OM = 1, ON = 3,點(diǎn)P、Q分別在邊 OB、OA上, 則MP + PQ+QN的最小值是 .（注“勾股定理”：直角三角形中兩直角

10、邊的平方和等于斜邊的平方， 即 RtAABC 中，/ C=90° ,則有 AC2 BC2 AB2 )7 .如圖，三角形 AABC中，/ OAB = /AOB= 15°,點(diǎn)B在x軸的正半軸，坐標(biāo)為 B（6/3, 0）.OC平分/ AOB,點(diǎn)M在OC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn) N為邊OA上的點(diǎn)，則 MA + MN的最小值是 8 .已知此時(shí)A (2,C、D4)、B (4, 2). C在y軸上，D在x軸上，則四邊形兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為9 .已知A (1,1)、 B (4,(1)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求2).PA+PB的最小值和此時(shí) P點(diǎn)的坐標(biāo);(2)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求PA PB，的值最大時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);ABCD的周長(zhǎng)最小值為(3) CD為x軸上一條動(dòng)線段， D在C點(diǎn)右邊且 CD = 1,求當(dāng)AC+CD+DB的最小值和此時(shí) C點(diǎn)的坐標(biāo);10 .點(diǎn)C為/ AOB內(nèi)一點(diǎn).(1)在OA求作點(diǎn)D, OB上求作點(diǎn)E,使 CDE的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)畫(huà)出圖形;(2)在(1)的條件下，若/ AOB = 30° , OC=10,求 CDE周長(zhǎng)的最小值和此時(shí)/ DCE的度數(shù).A11 . (1)如圖， ABD和 ACE均為等邊三角形，BE、CE交于F,連AF ,求證：AF + BF + CF = CD;(2)在 ABC 中，/ ABC = 3