中考數(shù)學(xué)專題動(dòng)態(tài)幾何之定值(恒等)問題(含解析)

1、專題44動(dòng)態(tài)幾何之定值（恒等）問題數(shù)學(xué)因運(yùn)動(dòng)而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈。動(dòng)態(tài)題是近年來中考的的一個(gè)熱點(diǎn)問題，以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題，隨之產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)幾何試題就是研究在幾r何圖形的運(yùn)動(dòng)中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題，就其運(yùn)動(dòng)對(duì)象而言，有 點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)三大類，就其運(yùn)動(dòng)形式而言，有軸對(duì)稱（翻折）、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對(duì)稱、滾動(dòng)）等，就問題類型而言，有函數(shù)關(guān)系和圖象問題、面積問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。解 這類題目要 “以靜制動(dòng)”，即把動(dòng)態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解，而靜態(tài)問題又是動(dòng)態(tài)問題的特殊情況。以 動(dòng)態(tài)幾

2、何問題為基架而精心設(shè)計(jì)的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。動(dòng)態(tài)幾何形成的定值和恒等問題是動(dòng)態(tài)幾何中的常見問題，其考點(diǎn)包括線段（和差）為定值問題；角 度（和差）為定值問題；面積（和差）為定值問題；其它定值問題。本專題原創(chuàng)編寫動(dòng)態(tài)幾何之定值（恒 等）問題模擬題。在中考中，動(dòng)態(tài)幾何形成的定值和恒等問題命題形式主要為解答題。在中考?jí)狠S題中，動(dòng)態(tài)幾何之定值（恒等）問題的重點(diǎn)是線段（和差）為定值問題 一問題的難點(diǎn)在于準(zhǔn)確應(yīng)用適當(dāng)?shù)亩ɡ砗头椒ㄟM(jìn)行探究。1.如圖，在 RHABC和 RtDEF中，/ ACBW DEF=900, Z A=Z F=45，DF=4,將 DEF沿 AC方向平移， 使點(diǎn)D在線段AC上，DE/

3、 AR求證：點(diǎn) E到AC的距離為常數(shù) 2?！敬鸢浮?解：如圖，過點(diǎn) E作EHL AC于點(diǎn)H,則EH即為點(diǎn)E到AC的距離。.在 RtDEF 中，/DEF=9(0, / F=450, DF=4,DE 4= 2支 02. DE/ AR ，/EDHW A= 45°。 EH2。點(diǎn)E到AC的距離為常數(shù)2?！究键c(diǎn)】 平移問題，作輔助線，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)。【解析】如圖，過點(diǎn)E作EH1AC于點(diǎn)口劃EH即為點(diǎn)E到AC的距離，由等腰直角三角形的性DF質(zhì)和平行的性質(zhì)可證得EH 票奉上.7- 742.對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x “四舍五入”到個(gè)位的值記為x ,L 則 x n.2如：<0>=<

4、;0.48>=0 , <0、64>=<1.493>=1 , <2>=2, <3.5>=<4.12>=4 , 試解決下列問題：(1)填空：= (為圓周率)；如果2x 13則實(shí)數(shù)x的取值范圍為 ；r (2)當(dāng)x Qm為非負(fù)整數(shù)時(shí)，求證：x m m x舉例說明x y x y不恒成立;x(3)求滿足4 ,-x的所有非負(fù)實(shí)數(shù)x3 的值;(4)設(shè)n為常數(shù)，且為正整數(shù)，函數(shù)1 ,一的自變重x在n x n 14范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)值y為整數(shù)的個(gè)數(shù)記為a;滿足Jkn的所有整數(shù)k的個(gè)數(shù)記為b.求證：a b 2n.【答案】74x (1)34（2）證明略

5、舉反例:0.60.7 1 1 2,而 0.6 0.71.31,0.60.70.6 0.7 , x y xy 不一定成立則 x 3k.43k k,41 31k k k ,k 0 (6 分)(3)2 423 3.0k2,k01,2,x 0,4, 2.(7分)4 4) a b 2n.證明略。74 x 【解析】（1）3; （1分）49 ；（2分）(2)證明:x n,則 n x n - ,n(3分)法一設(shè)22為非負(fù)整數(shù)二；“、1又(n m) 2 xm (n m)x m n m m x一，且 n m2為非負(fù)整數(shù),（4分）法二設(shè)x k6卜為乂的整數(shù)部分，b為其小數(shù)部分1 當(dāng) 0b0.5寸，xk,m x (m

6、 k) b,m k為m x的整數(shù)部分，b為其小數(shù)部分.mxm kxmmx.(3分)2 當(dāng) b 0.5時(shí)，x k 1,則m x (m k) b,m k為m x的整數(shù)部分，b為其小數(shù)部分.x mm k 1,m xm x .綜上所述：x m m x . (4分)舉反例:0.60.7 1 1 2,而 0.6 0.71.31,(5分)0.60.70.6 0.7 , x y x y不一定成立4y x ,y -x(3)法一作3 的圖象，如圖28 (6分)(注：只要求畫出草圖，如果沒有把有關(guān)點(diǎn)畫成空心點(diǎn)，不扣分)y x的圖象與y 4x圖象交于點(diǎn)(0,0)，點(diǎn)(3,1)，點(diǎn)(0,2), 342八3 3x 0,，

7、一.4 2（7分）4_ 4x0,-*為整數(shù)，設(shè)一*k, k為整數(shù),法二33則 x 3k.43k4k 1 2k,31八k k ,k 0,（6 分）423 3 八2, k 0,1,2, x 0, , . （7分）4 2U);函熟M + ： =o用為整數(shù), ria當(dāng)打W r mb+1時(shí)=1隨H的增大而增大，二盟：尸 <("i-；)L即5-丁 < v -t X_jLJL-.- w: -H + 4<y <rt：十 X十二二¥為整數(shù)r 44二丁二/一修+ 1/r一打+ 2,理-一門+工，？r -內(nèi)a二耳 其2卻個(gè)幺:.d l n. <B 分)"/

8、 k > 0,< 跖 >=/JiJJw -<. 4k < n +(n - -): jt (jt+ i)2，dwM-比段?j尋：& =占=2批(9分)3.已知 ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作菱形.ADEF （A、D、E F按逆時(shí)針排列），使/ DAF=60 ,連接 CF.如圖，當(dāng)點(diǎn) D在邊CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，證明 AC=CD 一CF?！敬鸢浮?解：. /BACW DAF=60 °/ DABW CAF.在 BAD 和4CAF 中，AB=AC / DABW CAF AD=AF. .BA¥CAIZ

9、（ SAS。，CF=BD，CD- CF=CD- BD=BC=AC.AC=CD CF。【考點(diǎn)】 單動(dòng)點(diǎn)問題，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)一等量代換。【解析】 根據(jù)SAS證ABADACAF推出 CF=BD可。4.已知，點(diǎn)A、B、C在。上,OCX AB, / AOC=40° ,點(diǎn)DO O上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重,合)是則/BDC的度數(shù)是【答案】20°或160 °。垂徑定理圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用?！究键c(diǎn)】圓周角定理，【解析】如圖j當(dāng)點(diǎn)D在優(yōu)弧BAC上時(shí)R/OC_L AB, ZAOC=40C,，邨 A.C鄴 AZAOC2ZBDC&

10、 -i-ZbDC=20c9當(dāng)點(diǎn)D在劣弘BC上時(shí),7與ZBD是圓內(nèi)接四邊形的對(duì)南1ZBD< =180c -BDC =1的BDC的度數(shù)是2(T或16。，5.如圖，已知菱形 ABCD43, / ABC=60，點(diǎn)P是對(duì)稱線 AC上的一點(diǎn)，點(diǎn) F為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) E在AB邊上，且滿足條件/ EPF= 60° 。求證：/ APE4CFP【答案】 解：二.菱形 ABCD43, / ABC=50° ,ABC是等邊三角形。/ ACB=60 ,/CFP吆 FPC=180 / ACB =180° 60° =120° 。又. /EPF=60° ,

11、 APE+/FPC=180 r/EPF =180° 60° =120° 。 /APE至 CFP【考點(diǎn)】 單動(dòng)點(diǎn)問題，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平角定義，三角形內(nèi)角和定理?！窘馕觥坷昧庑闻c三角形的相關(guān)角之間的關(guān)系和平角定義可以證明結(jié)論。:6.閱讀下列材料:我們知道，一次函數(shù) y=kx+b的圖象是一條直線，而 y = kx+b經(jīng)過恒等變形可化為直線的另一種表達(dá)形式：Ax+ Bx+ C= 0 (A B、C是常數(shù)，且 A B不同日為0).如圖1,點(diǎn)P (mi n)到直線l： Ax+ Bx+ C=A m B n CQ的距離(d)計(jì)算公式是：d=JA2 B2515

12、1例：求點(diǎn)P (1, 2)至ij直線y= 12 x- 6的距離d時(shí)，先將y= 12 x- 6化為5x- 12y- 2=0,再由上述5 112 22 I12L21距離公式求得d=¥512= 13 .解答下列問題：4如圖2,已知直線y= 3x 4與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y= x 24x+5上的一點(diǎn)M (3,(2)拋物線上是否存在點(diǎn) P,使彳PAB的面積最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)及 PAE0積的最小值；若 不存在，請(qǐng)說明理由.41311365【答案】(1)6(2)存在，P ( 3 , 9), 4PAB面積的最小值為2x 5X 3 = 64試題分析：（1）將y= 3 x 4

13、化為4x+3y+12 = 0,由上述距離公式得:4 3 3 2 124232點(diǎn)M到直線AB的距離為6（2）存在設(shè)產(chǎn)Cr,產(chǎn)一收十5）,網(wǎng)點(diǎn)F到直線用B的距離為:x+3fj?-4x+51 + L2 |、J山二+藜由圖象知mMP到直線的距離最時(shí)，L ”一帖+5>04a + 3x2 4x+5 j+12|J? 3-74 、13(x- - /+ 33，當(dāng)a 3時(shí)/最小,為了一TX；13PC-,-)39在尸一 y 丫-4 中,令kO, !QJ v=-4j .'.3 (0, -4令產(chǎn)。?則邛=一3” F (3； 0)11365.PAB面積的最小值為2x5x3= 6考點(diǎn)：直線與拋物線點(diǎn)評(píng)：本題考

14、查直線與拋物線，掌握直線與拋物線的性質(zhì)，會(huì)求點(diǎn)到直線的距離1 2 11 7.已知拋物線 G的解析式為y -x -x - .將拋物線。向下平移h個(gè)單位（h>0）得到拋物線 C.一 424條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于 A、日C D四點(diǎn)（如圖），且點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對(duì)稱，直線 AB與x軸的距離是mi （m>0）。來若拋物線C1的對(duì)稱軸與直線 AB交于點(diǎn)E,與拋物線 G交于點(diǎn)F.求證：, 1tan ECF tan EDP = 一。2【答案】解：直線22 6 1'一 ，2、x 1 m ,解得 x1=1+2m, x2=1 -2mo /.點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(1 - 2m, m)。點(diǎn)A、

15、C關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn) C的坐標(biāo)為（-1+2m,吊）。1=2m- 2。又.拋物線 C的對(duì)稱軸為直線 x=1,CE=- 1+2m- AE ED (1 2m)2m。設(shè)拋物線G的解析式為1,則1142m,解得 h=2m- 1。EF= m2 - h=n2- 2m+1。tan ECF tan EDPEFCEEPED2m 12m 22 m2m軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待【考點(diǎn)】 平移問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，關(guān)于 y定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)定義?！窘馕觥肯劝阎彬_AB與x軸的£隱一代入拋物線J的解析式求出A的坐標(biāo).再表示出懸C的坐標(biāo)，從 而求出0 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性表示出ED,根據(jù)

16、平移的性質(zhì)設(shè)出拋鏤卜g的解析式,把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求出h的值，然后表示出EF,最后根據(jù)鉗角的正切值等于對(duì)邊比鄰邊列式整理即可指證“8.如圖，已知半圓 O的直徑AB,將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)固定在圓心。上，當(dāng)三角板繞著點(diǎn) 。轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),角板的兩條直角邊與半圓圓周分別交于C、D兩點(diǎn)，連結(jié)AR BC交于點(diǎn)E.線段BD是否恒等于DE，若是請(qǐng)證明，若不是t#說明理由.【答案】見解析1rM析】試題解析：解；BD=S. 證明01.ZEBD-ZCOD=45° ； 2.就是00的直接，二/EDE :90" j .ZBFD-45e ，/BED ; NEED, bD=ED.考點(diǎn)：圓周角定理點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半；直徑所對(duì)的圓周角是直角.9.已知，如圖，AB是。的直徑，弦 CDL AB于點(diǎn)E, CD=。AE=4,點(diǎn)P為弧CBD上的動(dòng)點(diǎn)（P不與C、D重.合）,連結(jié) AP交CD于點(diǎn)F,證明：AFAP=25o【答案】 解.：如圖，連接 AC CP；在Aact和 APC中,TAB是O的直包，弦CD1AB于點(diǎn)F,，由垂役定理易知！弧NC巡AD.，/ACF=/