2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題(卷)與解答(B卷).doc

1、2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（B卷）一試一、選擇題：（每小題8分，共 64分）1 .等比數(shù)列 an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且aia3 a2a6 2a32 36,則a? 的值為.2 .設(shè)A a | 1 a 2,則平面點(diǎn)集B x, y | x, y A,x y 0的面積為.3 .已知復(fù)數(shù)z滿足z2 2z z- z （Z表示z的共胡復(fù)數(shù)），則z的所有可能值的積 為.4 .已知f x ,g x均為定義在 R上的函數(shù)，f x 的圖像關(guān)于直線 x 1對稱，g x 的圖像關(guān)于點(diǎn)1, 2中心對稱，且f x g x 9X x3 1 ,則f 2g 2 的值為.5 .將紅、黃、藍(lán)3個(gè)球隨機(jī)放入5個(gè)不同的盒子A, B,C, D

2、,E中，恰有兩個(gè)球放在同一 盒子的概率為.6 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓Ci : x2 y2 a 0關(guān)于直線I對稱的圓為C2 : x2 y2 2x 2ay 3 0,則直線I的方程為7 .已知正四棱錐V - ABCD的高等于AB長度的一半，M是側(cè)棱VB的中點(diǎn)，N是側(cè)棱 VD上點(diǎn)，滿足DN 2VN ,則異面直線 AM, BN所成角的余弦值為 .8 .設(shè)正整數(shù)n滿足n 2016 ,且 2223 .這樣的n的個(gè)數(shù)24612為.這里x x x,其中 x表示不超過x的最大整數(shù).二、解答題：（共3小題，共56分）9 . （16分）已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且 a5o,a5i是方程100lg2 x

3、 lg 100x 的兩個(gè)不同的解，求 ai a2 L aioo的值.下載可編輯.uuur uuur uuur uuur uuur uuur10 . （20 分）在 ABC 中，已知 AB AC 2BA BC 3CA CB.(1)將BC,CA, AB的長分別記為 a,b,c ,證明：矛2bz 3cS(2)求cosC的最小值.11. （ 20分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C的方程為X2求的所有大于1的實(shí)數(shù)a ：過點(diǎn)a,0任意作兩條互相垂直的直線11與y2 1 .求符合以下要h,若I與雙曲線C交于P, Q兩點(diǎn),卷與C交于R,S兩點(diǎn)，則總有PQ RS成立.加試一、（40 分）非負(fù)實(shí)數(shù) xi, x

4、2 ,L , X2016 和實(shí)數(shù) yi , y2, L, y2oie 滿足:（1）Xk 2 yk 2 1,k 1,2,L,2016 ；（2） yi L y2oi6 是奇數(shù).X求X1 X2 L 2016的最小值.二、（40分）設(shè)n,k是正整數(shù)，且n是奇數(shù).已知2n的不超過k的正約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù), 證明：2n有一個(gè)約數(shù)d ,滿足kd 2k.三、（50分）如圖所示，ABCD是平行四邊形，G是ABD的重心，點(diǎn)P,Q在直線BD 上，使得GP PC.GQ QC.證明：AG平分 PAQ.四、（50分）設(shè)A是任意一個(gè)11元實(shí)數(shù)集合.令集合 B uv |u ,v A,u v .求B的元 素個(gè)數(shù)的最小值.2016

5、年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（B卷）試題及答案一試一、選擇題：（每小題 8分，共64分）1.等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且aia3a2a6 2a32 36,則a2孔的值為答案：6.2解：由于 36 aiaa a2 a6 2a32 32 22 2a2 a4 a2 a4，且 a2 a4 0,故 a2 a4 6.另解：設(shè)等比數(shù)列的公比為 q，則a2 a6aiq aiq5 .又因36 a a a a 2 a2 a a q 2 a q a q52aq22132 6311111222aiq 2 ai q ai q3 aiq3 ai q aiq3 a2 34 而 8.234 0 ,從而 32346.2.設(shè)A a| 1

6、 a 2 ,則平面點(diǎn)集Bx, y | x, y A,x y 0的面積為答案：7.解：點(diǎn)集B如圖中陰影部分所示，其面積為S S , 3 3 J正方形 MNPQ MRS mQ 2 2 7.3.已知復(fù)數(shù) Z滿足z2 2z z z （2表示Z的共胡復(fù)數(shù)），則Z的所有可能值的積答案：3.解：設(shè) z a bi a,b R .Si z2 2z 2 知,a2 b2 2abi 2a 2bi a bi,比較虛、實(shí)部得2a 3。，即 aa2 b2 a 0,2 ab 3b 0.又由 z號，進(jìn)而b4丁WWs.22于是，滿足條件的復(fù)數(shù)Z的積為-五 223.4.已知f x , g x均為定義在 R上的函數(shù),f x 的圖像關(guān)

7、于直線x 1對稱，g x 的圖像關(guān)于點(diǎn)1, 2中心對稱，且 f x g x 9X x3 1 ,則f 2g 2的值為答案：2016.解：由條件知f0g 02,f2g 2818 190.由fx,g x圖像的對稱性，可得f02 ,g 0 g 24,結(jié)合知,f 2 g 24 f 0 g 02.由、解得f 248,g 242,從而 f 2 g 248 42 2016.另解：因?yàn)閒 x g x 9X所以f 2 g 290.因?yàn)閒 x的圖像關(guān)于直線x 1對稱，所以f x f 2 x.又因?yàn)間 x的圖像關(guān)于點(diǎn) 1, 2中心對稱，所以函數(shù) h x g x 1 2是奇函數(shù),h xh x , g x 12 g x

8、1 2 ,從而g x g 2 x 4.將、代入，再移項(xiàng)，得f 2 x g 2 x 9x x3 5.在式中令X 0,得f 2 g 26.由、解得f 248, g 246.于是f 2g 22016.5.將紅、黃、藍(lán)3個(gè)球隨機(jī)放入5個(gè)不同的盒子A, B,C, D,E中，恰有兩個(gè)球放在同一 盒子的概率為.3解：樣本空間中有5125個(gè)元素.而滿足恰有兩個(gè)球放在同一盒子的元素個(gè)數(shù)為C32 P5 2 60.過所求的概率為p 9 8.125 256.在平面直角坐標(biāo)系xOy中圓Ci : x2 y2 a 0關(guān)于直線I對稱的圓為C2 : x2 y2 2x 2ay 3 0,則直線I的方程為.答案：2x 4y 50.解

9、：C,C2的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為 22Ci : x2 y2 1,C2: x 1 y a a2 2.由于兩圓關(guān)于直線I對稱，所以它們的半徑相等.因此 a a2 2 0,解得a 2.故C1C2的圓心分別是 Oi 0,0, O2 1,2 .直線I就是線段O1O2的垂直平分線，它通過OQ2的中點(diǎn)M 1 J，由此可得直線I的方程是2x 4y 5 0. 2 7.已知正四棱錐V - ABCD的高等于AB長度的一半，M是側(cè)棱VB的中點(diǎn)，N是側(cè)棱VD上點(diǎn)，滿足DN 2VhL則異面直線AM, BN所成角的余弦值為uuur uuur uuurAB, BC,OV的方向?yàn)閤, y, z軸的正解：如圖，以底面 ABCD的中心O

10、為坐標(biāo)原點(diǎn)，向，由條件知Muuuur 3AM 2A 1, 1,0 ,B1,建立空間直角坐標(biāo)系.1 152 2uuur,N設(shè)異面直線AM, BN所成的角為uuuurAMcos uuuurAMuuurBN uuurBN1111 22118.設(shè)正整數(shù)n滿足n.這里x2016 ，其中解:n由于對任意整數(shù)12等號成立的充分必要條件是n 12k1 k 1,2,L ,168另解:這是因?yàn)?表示不超過modi 2，共有168個(gè).首先注意到，若m為正整數(shù),13 .這樣的n的個(gè)數(shù)612X的最大整數(shù).x y mtr）2y mtmod12-D4612容易驗(yàn)證，當(dāng)正整數(shù)滿足才成立.而20161,故當(dāng)1216812個(gè)數(shù)為

11、168.二、解答題:（共3小題，共11-3,12則對任意整數(shù)時(shí),-D22n 2016知，滿足條件的所有正整數(shù)為x, y ,若 x y mod m這里t是一個(gè)整數(shù)，故-02-4212時(shí)，只有當(dāng)n時(shí)，滿足201656分）時(shí),119. （16分）已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且1001g2 xlg 100x等式,n2jn6l 312的兩個(gè)不同的解，求ai 32 L awo 的值.正整數(shù)n的12350 ,351是方程解對 k 50,51，有 1001g 2 ak lg 100ak2 lg ak,即2100 lg ak lg ak 2 0.因此，lg aso Jg asi是一元二次方程100t 2。

12、的兩個(gè)不同實(shí)根，從而lg a50a51lg aso lg asi 1-,即 a50a5110050由等比數(shù)列的性質(zhì)知，aia2 L awoAaso asiuuur uuur uuur1。100uuur10. （20 分）在 ABC 中，已知 AB AC 2BA BC10.uuur uuur3CA CB.證明：a 2b 3c ；uuur uuur222AB AC cb cosA hca-.2222a一bc_.故已知條件化為2（1）將BC,CA, AB的長分別記為a,b,c , （2）求cosC的最小值.解（1）由數(shù)量積的定義及余弦定理知，uuur uuur 222 uuur uuur同理得，BA

13、 BC b_c_b_ ,CA CB2b2 c2 a2 2 a2 c2 b23 a2 b 2 c2 ,即 a2 2b 2 3c2.（2）由余弦定理及基本不等式，得2 22 2aa b ccosC 2aba bb2 J 32 2b2 32ab3b 6a式,3等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a:b:c:褥.因此cosC的最小值為 主.311. （20分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，雙曲線C的方程為x2 y2 1 .求符合以下要 求的所有大于1的實(shí)數(shù)a ：過點(diǎn)a,0任意作兩條互相垂直的直線 11與I2,若卜與雙曲線C交 于P,Q兩點(diǎn)，I2與C交于R,S兩點(diǎn)，則總有|pd rW成立.解 過點(diǎn)a,0作兩條互相垂直的直線l

14、i : x a與12 ： y 0.易知，h與C交于點(diǎn)Po a, v，a 1 , Qo a,右 1 （注意這里 a 1 ）,b與C交于點(diǎn)Ro 1,0 ,S0 1,0,由條件知 2點(diǎn) 1 PQ0（j | Ro So| 2,解得 a 五.這意味著符合條件的a只可能為72.下面驗(yàn)證a <2符合條件.事實(shí)上，當(dāng)。，12中有某條直線斜率不存在時(shí)，則可設(shè)h :x a, l2:y 0 ,就是前面所討論的 1 2PQ RS.12l,l的情況，這時(shí)有 若I ,1的斜率都存在，不妨設(shè)h : y k x Y 2 也：y - x 42 k 0 , k注意這里k1 （否則h將與C的漸近線平行，從而 與C只有一個(gè)交點(diǎn)

15、）.2聯(lián)立k與C的方程知，x2 k2 x 721 0,即1 k2 x2 2尿 x 2k21 0,2這是一個(gè)二次方程式，其判別式為4k 4 0 .故與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P,Q .同樣,12與C也有兩個(gè)不同的交點(diǎn)R,S.由弦長公式知,PQ 1 k1 k2用工代替kRS.于是 PQ F|S.|綜上所述,夜為符合條件的值.加試和實(shí)數(shù)yi, y2, L, y2oi6滿足:、 （ 40 分）非負(fù)實(shí)數(shù) Xi , x2 ,L , X2016（1）Xk 2 yk2 1,k 1,2,L ,2016 ；2 2） yi y2 L y2oi6 是奇數(shù).求X1 X2 L X2016的最小值.解：由已知條件（1）可得：k1

16、,k 1,2,L ,2016,于是（注意 Xi 0 ）2016Xk k 1 不妨設(shè)20162016Xk2 1 yk2 2016 k 1kly1,L , ym 0, ym i,L 5 720162016yk2 k 10,0 m20162016 k 12016,則yk|.myk k 12016m, Ykk m 12016 m.yk mmyk k 1則0 a,b 1,于是2016myk ykk 1kl2016yk12m由條件（2）知,因此必有2016k 1于是結(jié)合得2016ykk m 12016a, ykk m 12016 a b,2016yk是奇數(shù)，所以a12016201520152015m,令m

17、 b,b是奇數(shù),這與0 a,b1矛盾.yk1ykk 12016Xk k 12016ykk m 11.或者2015.X2X2015得不等式等號成立，所以 X10, X2016X2 LykLyiX 20162015m,則y2 Ly20151 , y2016的最小值為1.0時(shí)滿足題設(shè)條件，且使二、（40分）設(shè)n,k是正整數(shù)，且n是奇數(shù).已知2n的不超過k的正約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇 證明：2n有一個(gè)約數(shù)d數(shù)，滿足kd 2k.證明：記A d|d| 2n,0 d k,d是奇數(shù) ，B d |d 12n,0 d k, d是偶數(shù)，則Al B,2n的不超過k的正約數(shù)的集合是AUB.若結(jié)論不成立，我們證明B|.對d A ,

18、因?yàn)閐是奇數(shù)，故 2d |2n ,又2d 2k,而2n沒有在區(qū)間 k,2k中的約數(shù)，故 2d k ,即 2d B ,故 |A B|.k反過來，對d B,設(shè)d 2d ,則d|n , d是奇數(shù)，又d _ k,故d A,從而|耳|A|.2所以|A B .故2n的不超過k的正約數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，與已知矛盾.從而結(jié)論成立.三、（50分）如圖所示，ABCD是平行四邊形，G是ZiABD的重心，點(diǎn)P,Q在直線BD 上，使得GP PC, GQ QC.證明：AG平分PAQ.解：連接AC ,與BD交于點(diǎn)M .由平行四邊形的性質(zhì)，點(diǎn) M是AC , BD的中點(diǎn).因此,點(diǎn)G在線段AC上.由于 GPC GQC 90。，所以P,G,Q,C四點(diǎn)共圓，并且其外接圓是以 GC為直徑的圓.由相交弦定理知PM MQ GM MC.取GC的中點(diǎn)O.注意到AG : GM : MC 2:1:3,故有1OC _GC AG ,2因此G,O關(guān)于點(diǎn)M對稱.于是GM MC AM MO. 結(jié)合、，有 PM MQ AM M