小學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)裂項法試卷(二)

1、裂項法(二) ,.，111前一節(jié)我們已經(jīng)講過，利用等式3 * 1一1一，米用“裂項法”能很快求出n n 1 n(n 1)121n1 111 一 這類問題的結(jié)果來，把這一等式略加推廣便得到另6 12 209900tn(n t),現(xiàn)利用這一等式來解一些分?jǐn)?shù)的計算問題?！镜湫屠}】111例 1.1 3 3 5 5 71993 1995 1995 1997分析與解：此題如按異分母加法法則來求和，計算量太大，下面用裂項法試一試。t 一些具體的值，看看有什么結(jié)果。,現(xiàn)在給1315下面我們用當(dāng) n 1 ,t當(dāng) n 3,t當(dāng) n 5,t11n n t2時，有2時，有tn(n t)211 3 121111993

2、 1995111995 19971993,t 2 時，有1993 1995,21995,t 2 時，有 1997 998 19971995 1997上面這998個等式左邊的分?jǐn)?shù)， 其分母分別與題目中各加數(shù)的分母一樣，只是分子是2 1 ,但是很容易將題目中各數(shù)的分子變?yōu)?2 , 例如,13,32,13213352352111 3，3 52因為-1 32,這樣采用裂項法也能較快求出結(jié)果來。1993 19952 1993 19951997111993 1995 1995 19971111 、 )1993 1995 1995 1997例2.1因為- 1所以2 3 2 311-211同樣可得43 1_2

3、 3 111一一 (一4221198 99_2_2 33)13 3 4)1003 4 5 2一般地，因為1n(n 1) (n 1)( n 2) n 2 nn(n 1)(n 2)2n(n 1)(n 2) 1n(n 1)(n 2)n(n 1) (n 1)(n 2)這里n是任意一個自然數(shù)。利用這1等式，采用裂項法便能較快地求出例2的結(jié)果。(198 99 100-)3 3 4198 99 99 100)(1 24950 12 3 2 3199 100)98 9999 10099004949 990049491980011200例3.計算：122 3分析與解:122(23) 22(24) 32(25)

4、4(n 1)(n 2)而 11而n 1 n 21-(n 2)( n 1)1(n 1)(n 2)(n 2) (n 1)(n 1)(n(n 1)(n 2)（總2)1(n 1)(n 2)3(n 1)(n2)連續(xù)使用上面兩個等式,11便可求出結(jié)果來。1200221212232332 51 1199(21 (2202 3)199 2021111-1(2 3217 5 8 711)(一 1995101333(2 399(20044466201331991100 2014309332022030100【模擬試題】二.嘗試體驗，、一11. 求和：320099404)201) (51202)200（答題時間：15分鐘）2.求和：1 - 310403 4157一. 5 619 - 23811一1991202)12011202)202)3 4 520111881543403. 求和：111 1 2 3 42 3 4 517 18 19 20請做完之后再看答案！【試題答案】111. 求和：3 3 413 4 5 202.3.687836841225求和：11 3工104036220，、一1求和：12 3 4588 7154238113401139205201