高中數(shù)學(xué)選修4-5教案

1、選修4-5不等式選講教學(xué)札記高中數(shù)學(xué)選修4-5教案一、課程目標(biāo)解讀選修系列4-5專題不等式選講，內(nèi)容包括：不等式的基本性質(zhì)、含有絕對值的不等式、不等式的證明、幾個著名的不等式、利用不等 式求最大（?。┲?、數(shù)學(xué)歸納法與不等式。通過本專題的教學(xué)，使學(xué)生理解在自然界中存在著大量的不等量關(guān)系 和等量關(guān)系，不等關(guān)系和相等關(guān)系都是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，它們在數(shù)學(xué) 研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要的作用；使學(xué)生了解不等式及其證明的幾 何意義與背景，以加深對這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的 邏輯思維能力和分析問題解決問題的能力。二、教材內(nèi)容分析作為一個選修專題，雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了高中必修課程的5個模塊和三個選修模塊，

2、教材內(nèi)容仍以初中知識為起點，在內(nèi)容的呈現(xiàn)上 保持了相對的完整性.整個專題內(nèi)容分為四講，結(jié)構(gòu)如下圖所示：第一講是“不等式和絕對值不等式”，為了保持專題內(nèi)容的完整性，教材回顧了已學(xué)過的不等式 6個基本性質(zhì)，從“數(shù)與運算”的思 想出發(fā)，強調(diào)了比較大小的基本方法。回顧了二元基本不等式，突出 幾何背景和實際應(yīng)用，同時推廣到 n個正數(shù)的情形，但教學(xué)中只要求 理解掌握并會應(yīng)用二個和三個正數(shù)的均值不等式。對于絕對值不等式，借助幾何意義，從“運算”角度，探究歸納 了絕對值三角不等式，并用代數(shù)方法給出證明。通過討論兩種特殊類 型不等式的解法，學(xué)習(xí)解含有絕對值不等式的一般思想和方法，而不#三、教學(xué)目標(biāo)要求教學(xué)札記第

3、二講是“證明不等式的基本方法”，教材通過一些簡單問題， 回顧介紹了證明不等式的比較法、 綜合法、分析法，反證法、放縮法。 其中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標(biāo)準(zhǔn)才引入到中學(xué)數(shù) 學(xué)教學(xué)中的內(nèi)容。這些方法大多在選修2-2 ”推理與證明”已經(jīng)學(xué)過， 此處再現(xiàn)也是為了專題的完整性，對于新增的放縮法，應(yīng)通過實際實 際例子，使學(xué)生明確不等式放縮的幾個簡單途徑和方法，比如舍掉或 加進一些項，在分式中放大或縮小分子或分母，應(yīng)用基本不等式進行 放縮等（見分節(jié)教學(xué)設(shè)計）。本講內(nèi)容也是本專題的一個基礎(chǔ)內(nèi)容。第三講是“柯西不等式和排序不等式”。這兩個不等式也是本專 題實質(zhì)上的新增內(nèi)容，教材主要介紹柯西不等式的

4、幾種形式、幾何背 景和實際應(yīng)用。其中柯西不等式及其在證明不等式和求某些特殊類型 函數(shù)極值中的應(yīng)用是教材編寫和我們教學(xué)的重點。事實上，柯西不等 式和均值不等式在求最值方面的簡單應(yīng)用，二者同樣重要，在某些問 題中，異曲同工。比如課本 P41頁，習(xí)題3.2 第四題。排序不等式只作了解，建議在老師指導(dǎo)下由學(xué)生閱讀自學(xué)，了解 教材中展示的“探究一一猜想一一證明一一應(yīng)用”的研究過程，初步 認(rèn)識排序不等式的有關(guān)知識。第四講是“數(shù)學(xué)歸納法證明不等式”.數(shù)學(xué)歸納法在選修2-2中也學(xué)過，建議放在第二講，結(jié)合放縮法的教學(xué)，進一步理解“歸納遞 推”的證明。同時了解貝努利不等式及其在數(shù)學(xué)估算方面的初步運 用。1 .不等

5、式的基本性質(zhì)掌握不等式的基本性質(zhì)，會應(yīng)用基本性質(zhì)進行簡單的不等式變形。2 .含有絕對值的不等式理解絕對值的幾何意義，理解絕對值三角不等式，會解絕對值不壁寸 工 K o3 .不等式的證明通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法4 .幾個著名的不等式(1)認(rèn)識柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，會用二維三維柯西不等式進行簡單的證明與求最值。(2)理解掌握兩個或三個正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式并應(yīng)用。(3) 了解n個正數(shù)的均值不等式，n維柯西不等式，排序不等式,貝努利不等式5 .利用不等式求最大(小)值會用兩個或三個正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等

6、式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值。6 .數(shù)學(xué)歸納法與不等式了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍；會用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的不等式。會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式。#(4)基本不等式及其應(yīng)用(求最值)。教學(xué)札記1、本專題的教學(xué)重點：不等式基本性質(zhì)、均值不等式及其應(yīng)用、 絕對值不等式的解法及其應(yīng)用；用比較法、分析法、綜合法證明不等 式；柯西不等式及其應(yīng)用、排序不等式；2、本專題的教學(xué)難點：三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式及其應(yīng) 用、絕對值不等式解法；用反證法，放縮法證明不等式；運用柯西不 等式和排序不等式證明不等式以及求最值等。五、教學(xué)總體建議1、回顧并重視學(xué)生已學(xué)知識學(xué)習(xí)本專題，學(xué)生已掌握的知識有：第

7、一、初中課標(biāo)要求的不等式與不等式組(1)根據(jù)具體問題中的大小關(guān)系了解不等式的意義，并探索不等式 的基本性質(zhì)。(2)解簡單的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集。解由兩 個一元一次不等式組成的不等式組，并會用數(shù)軸確定解集。(3)根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式和一元一次 不等式組，解決簡單的問題第二、高中必修5不等式內(nèi)容：(1)不等關(guān)系。通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在 著大量的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實際背景。(2) 一元二次不等式。(3)二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題。第三、高中選修2-2推理與證明中的比較法、綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等內(nèi)容?；仡櫜?/p>

8、重視學(xué)生在學(xué)習(xí)本課程時已掌握的相關(guān)知識，可適當(dāng)指導(dǎo) 學(xué)生閱讀自學(xué)，設(shè)置梯度恰當(dāng)?shù)牧?xí)題，采用題組教學(xué)的形式，達(dá)到復(fù) 習(xí)鞏固系統(tǒng)化的效果，類似于高考第二輪的專題復(fù)習(xí)，構(gòu)建知識體系 2、控制難度不拓展在解絕對值不等式的教學(xué)中，要控制難度：含未知數(shù)的絕對值不 超過兩個；絕對值內(nèi)的關(guān)于未知數(shù)的函數(shù)主要限于一次函數(shù)。解含有 絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來加以討論，把含有 絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式；不等式證明的教學(xué)，主要使學(xué)生掌握比較法、綜合法、分析法，其它 方法如反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法，應(yīng)用柯西不等式和排序不等式 的證明，只要求了解。代數(shù)恒等變換以及放縮法常常使用一些技巧。

9、這些技巧是極為重 要的，但對大多數(shù)學(xué)生來說，往往很難掌握這些技巧，教學(xué)中要盡力 使學(xué)生理解這些不等式以及證明的數(shù)學(xué)思想，對一些技巧不做更多的 要求，不要把不等式的教學(xué)陷在過于形式化的和復(fù)雜的技巧之中。3、重視不等式的應(yīng)用不等式應(yīng)用的教學(xué)，主要是引導(dǎo)學(xué)生解決涉及大小比較、解不等 式和最值問題，其中最值問題主要是用二個或三個正數(shù)平均不等式、 二維或三維柯西不等式求解。對于超過 3個正數(shù)的均值不等式和柯西#教學(xué)札記不等式；排序不等式；貝努里不等式的應(yīng)用不作要求。4、重視展現(xiàn)著名不等式的背景幾個重要不等式大都有明確的幾何背景。教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生了解 重要不等式的數(shù)學(xué)意義和幾何背景，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中把握這些

10、幾何背景，力求直觀理解這些不等式的實質(zhì)。特別是對于n元柯西不等式、排序不等式、貝努利不等式等內(nèi)容，可指導(dǎo)學(xué)生閱讀了解相關(guān)背景知 識。第一講不等式和絕對值不等式課 題： 第01課時不等式的基本性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：1. 理解用兩個實數(shù)差的符號來規(guī)定兩個實數(shù)大小的意義，建立不等式研究的基礎(chǔ)。2. 掌握不等式的基本性質(zhì)，并能加以證明；會用不等式的基本性質(zhì)判斷不等關(guān)系和用比較法，反證法證明簡單的不等式。教學(xué)重點：應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)推理判斷命題的真假；代數(shù)證明，特別是反證法。教學(xué)難點：靈活應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)。教學(xué)過程：一、引入：不等關(guān)系是自然界中存在著的基本數(shù)學(xué)關(guān)系。列子？湯問中膾7教學(xué)札記炙人口的“兩小兒

11、辯日”：“遠(yuǎn)者小而近者大”、“近者熱而遠(yuǎn)者涼”， 就從側(cè)面表明了現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的廣泛存在；日常生活中息息相 關(guān)的問題，如“自來水管的直截面為什么做成圓的，而不做成方的 呢？”、“電燈掛在寫字臺上方怎樣的高度最亮？ ”、“用一塊正方形白鐵皮，在它的四個角各剪去一個小正方形，制成一個無蓋的盒子。要 使制成的盒子的容積最大，應(yīng)當(dāng)剪去多大的小正方形？”等，都屬于 不等關(guān)系的問題，需要借助不等式的相關(guān)知識才能得到解決。而且， 不等式在數(shù)學(xué)研究中也起著相當(dāng)重要的作用。本專題將介紹一些重要的不等式(含有絕對值的不等式、柯西不 等式、貝努利不等式、排序不等式等)和它們的證明，數(shù)學(xué)歸納法和 它的簡單應(yīng)用等。

12、人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因 與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實世界中的量，不 等是普遍的、絕對的，而相等則是局部的、相對的。還可從引言中實 際問題出發(fā)，說明本章知識的地位和作用。生活中為什么糖水加糖甜更甜呢？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：a克糖水中含 有b克糖(a>b>0),若再加m(m>0)克糖，則糖水更甜了，為什么？分析：起初的糖水濃度為b，加入m克糖后的糖水濃度為遼 aam只要證b m>b即可。怎么證呢？ a m a二、不等式的基本性質(zhì)：1、實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總大于左邊的點所表示的數(shù)，從實數(shù)的#aba

13、b0abab0abab0得出結(jié)論：要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可。2、不等式的基本性質(zhì)：、如果a>b,那么b<a,如果b<a,那么a>b。（對稱性）、如果 a>b,且 b>c,那么 a>c,即 a>b, b>c a>c。、如果 a>b,那么 a+c>b+c,即 a>b a+c>b+c。推論：如果 a>b,且 c>d,那么 a+c>b+d.即 a>b, c>d a+c>b+d.、如果a>b,且c>0,那么ac>bc;如果a>b,且c&l

14、t;0,那么ac<bc.、如果 a>b >0,那么 an bn （n N,且 n>1）、如果a>b >0,那么嗎 Vb （n N,且n>1）。三、典型例題：例1、比較（x 3）（x 7）和（x 4）（x 6）的大小。分析：通過考察它們的差與 0的大小關(guān)系，得出這兩個多項式的 大小關(guān)系。例2、已知a b,c d ,求證：a c b d .例3、已知a>b>0, c>d>0,求證：居 在。四、課堂練習(xí)：1：已知x 3,比較x3 11x與6x2 6的大小。2:已知 a>b>0, c<d<0,求證：b a。 a

15、c b d五、課后作業(yè)：教學(xué)札記課本P9第1、2、3、4題六、教學(xué)后記：課 題：第02課時基本不等式教學(xué)目標(biāo)：1 .學(xué)會推導(dǎo)并掌握均值不等式定理；2 .能夠簡單應(yīng)用定理證明不等式并解決一些簡單的實際問題。教學(xué)重點：均值不等式定理的證明及應(yīng)用。教學(xué)難點：等號成立的條件及解題中的轉(zhuǎn)化技巧。教學(xué)過程：一、知識學(xué)習(xí)：定理1：如果a、b6R,那么a 2 +b 2 n2ab （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取號）證明：a 2 + b 2 2ab= （ab） 2當(dāng) a?b 時，（a-b） 2>0,當(dāng) a=b 時，（a-b） 2=0所以，（ab） 2>0即 a 2 +b 2 n2ab由上面的結(jié)論，我們又可得到定

16、理2（基本不等式）：如果a, b是正數(shù)，那么ayb >Jab （當(dāng)且僅當(dāng)a= b時取號）教學(xué)札記證明：( 4a)2+ (鄧)備2相a +b>2/ab ,即 a ；b Ry/Oba + bj顯然，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，- =Vab.a + b一一一 .說明：1)我們稱為a, b的算術(shù)平均數(shù)，稱強為a, b的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2 2一 a + bi , _ 、，一2) a2 + b2n2ab和五一ngb成立的條件是不同的：前者只要求a, b都是實數(shù)，而后者要求a, b都是正數(shù).3) “當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件.4)幾何意義.二

17、、例題講解：例1已知x, y都是正數(shù)，求證：(1)如果積xy是定值P,那么當(dāng)x=y時，和x + y有最小值2fP ;1(2)如果和x + y是te值S,那么當(dāng)x = y時，積xy有取大值4 S 證明：因為x, y都是正數(shù)，所以號>Vxy(1)積 xy 為定值 P時，有x4y >VP/.x + y>2VP2上式當(dāng)x=y時，取“=”號，因此，當(dāng)x=y時，和x+y有最小值 2 P .11S(2)和x + y為定值S時，有而<212xyw 4 S上式當(dāng)x=y時取"=”號，因此，當(dāng)x=y時，積xy有最大值4 S2.說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三

18、個條件：i )函數(shù)式中各項必須都是正數(shù)；ii)函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；iii)等號成立條件必須存在。例2 :已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：(ab+ cd) (ac+bd) > 4abcd分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系,從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認(rèn)識.證明：由a、b、c、d都是正數(shù)，得ab+ cd . ac+bd -2 >ab - cd >0, -2Zac bd >0,(ab+ cd) (ac+ bd). >abcd4即(ab+ cd) (ac+bd) >4abcd例3某工廠要建造一個長方體無蓋

19、貯水池，具容積為4800品，深為3m,如果?4底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120 元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān) 系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理.解：設(shè)水池底面一邊的長度為xmi水池的總造價為l元，根據(jù)題 教學(xué)札記 意，得1=240000+720 (x+1600 ) A 240000+ 720X2、/x 1600=240000+720X 2X40= 297600x = 1600 即x=40時1有最小值297600 x因此，當(dāng)水池的底面是邊長為 40m的正方形時，水池的總造價最

20、低，最低總造價是297600元.評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的 應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注 意不等式性質(zhì)的適用條件.三、課堂練習(xí)：課本P9i練習(xí)1,2, 3, 4.四、課堂小結(jié)：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們 的幾何平均數(shù)的定理，并會應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值， 但是在應(yīng)用時，應(yīng)注意定理的適用條件。五、課后作業(yè)課本Pi。習(xí)題1.1第5, 6, 7題六、教學(xué)后記：15課 題：第03課時三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式教學(xué)目標(biāo)：1 .能利用三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題；2

21、 . 了解基本不等式的推廣形式。教學(xué)重點：三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式教學(xué)難點：利用三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題教學(xué)過程：一、知識學(xué)習(xí)：定理3:如果a,b,c R ,那么溫。當(dāng)且僅當(dāng)a b c時，3等號成立。推廣：曳一aMnn/a® an 。當(dāng)且僅當(dāng)ai a2 第時，等號n成立。語言表述：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。思考：類比基本不等式，是否存在：如果a,b,c R,那么a3 b3 c3 3abc(當(dāng)且僅當(dāng)a b c時，等號成立)呢？試證明。二、例題分析：例1 ：求函數(shù)y 2x2 3(x 0)的最小值。 x教學(xué)札記解一：y 2x2

22、32x21133/2x2 1 233/4ymin 33/4xxx, x x解二：y 2x2 3 2(2x2 3 2辰當(dāng) 2x2 3即 x 返時 x , xx2.二 ymin 2"6 孚 2、：3R2 2324上述兩種做法哪種是錯的？錯誤的原因是什么？變式訓(xùn)練1若a,b R且a b,求a 1的最小值。(a b)b由此題，你覺得在利用不等式解決這類題目時關(guān)鍵是要例2 :如下圖，把一塊邊長是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的 小正方形，再把它的邊沿名著虛線折轉(zhuǎn)成一個無蓋方底的盒子，問切 去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？變式訓(xùn)練2 已知：長方體的全面積為定值S ,試問這個長方體

23、的長、 寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值.由例題，我們應(yīng)該更牢記 一 二 三,三者缺 一不可。另外，由不等號的方向也可以知道：積定 ,和 士7E.教學(xué)札記三、鞏固練習(xí)1 .函數(shù)y 3x 1!（x 0）的最小值是（）xA.6B.6 6C.9D.122 .函數(shù)y 4x2;6_，的最小值是 （x 1）3 .函數(shù)y x4（2 x2）（0 x、的最大值是（）A.0B.1C. 16D. 32272724 .（2009浙江自選）已知正數(shù)x,y,z滿足x y z 1,求4x 4y 4z的最小值。5 （2008,江蘇，21）設(shè)a,b,c為正實數(shù)，求證： 工 口 abc 2北 a b c四、課堂小結(jié)

24、：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，但是在應(yīng)用時，應(yīng)注意定理的適用條件。五、課后作業(yè)P10 習(xí)題 1.1 第 11, 12, 13 題六、教學(xué)后記：17教學(xué)札記課 題： 第04課時絕對值三角不等式教學(xué)目標(biāo)：1: 了解絕對值三角不等式的含義，理解絕對值三角不等式公式 及推導(dǎo)方法，會進行簡單的應(yīng)用。2:充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體 會轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。教學(xué)重點：絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解和運用。教學(xué)難點：絕對值三角不等式的

25、發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)、取等條件。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：關(guān)于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。本節(jié)課探討不等式證明這類問題。1.請同學(xué)們回憶一下絕對值的意義。x,如果x 0x|0,如果 x 0 。X,如果x 0幾何意義：在數(shù)軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的 數(shù)的絕對值。2.證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外，經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對值的和、 差、積、商的性質(zhì)：(1) a a,當(dāng)且僅當(dāng)a 0時等號成立，|a| a.當(dāng)且僅當(dāng)a 0時21b/Va ba b4已知a,b是實數(shù)，試證明：|a b|<立.)方法一：證明：10 .當(dāng)

26、abn 0時，ab |ab|,| a b| (a b)2 、a2 2ab b2 ja|2 2|a|b| |b|2 ：(|a| |b|)2|a| |b| |b| （當(dāng)且僅當(dāng)ab）0時，等號成2O.當(dāng) ab<0時ab | ab |, |a b| (a b)2x a2 2ab b2、|a|2 2|ab| |b |2%|a|2 2|a|b| |b|2、,(|a| |b|)2 |a| |b|（2）ai 血2,（ 3）a 忖 a 耳，那么"I b a b|? |a| 忖 |a b|?二、講解新課：探究：a|,|b|,|a b|, a b之間的什么關(guān)系？結(jié)論：|a bwa b （當(dāng)且僅當(dāng)ab

27、0時，等號成立.）綜合10, 2 0知定理成立.方法二：分析法，兩邊平方（略）定理1如果a,b是實數(shù)，則|a b|w|a| |b| （當(dāng)且僅當(dāng)at> 0時，等號成教學(xué)札記立.)(1)若把a,b換為向量a,b情形又怎樣呢?r a根據(jù)定理1 ,有|ab| b|abb| ,就是，|ab|a b| a bi o定理(絕對值三角形不等式)如果 a,b是實數(shù)，則 |a| |b|W |a b|<|a| |b|注：當(dāng)a, b為復(fù)數(shù)或向量時結(jié)論也成立.推論 1 : |a a? L an 1ali 卜21 L 扇|推論2 :如果a、b、c是實數(shù)，那么|a c| < |a b|(a b)(b c)

28、 ) 0時，等號成立.思考：如何利用數(shù)軸給出推論 2的幾何解釋？(設(shè)A, B, C為數(shù)軸上的3個點，分別表示數(shù)AB AC CB.當(dāng)且僅當(dāng)C在A, B之間時，等號成立。rb>r bb忖。所以,|b c,當(dāng)且僅當(dāng)a, b, c,則線段這就是上面的例教學(xué)札記3。特別的，取c = 0 (即C為原點)，就得到例2的后半部分。) 三、典型例題：例1、已知|x證明(x y) x(2)由(1),(ac 21yb)|c2.1 yl(xc2，a)求證(y(x y) (a b)c.(1)(2)得:y)(a b) c例 2、已知 |x| a,|y| a.求證：|2x 3y| a。證明X| a,|y| a, ：|

29、2x| a,13yl a,461212由例 1 及上式，|2x 3yll2x| 13yl a a ao注意：在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。 但這種寫法，只能用于不等號方向相同的不等式。例3兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工，這兩個地點分別位于公路路碑的第10公里和第20公里處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū)，每個施工隊每天在生活區(qū)和施工 地點之間往返一次，要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小，生活 區(qū)應(yīng)該建于何處？解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第 x km處，兩施工隊每天往返的路 程之和為S(x)km那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)10x

30、20四、課堂練習(xí)：1 .(課本P20習(xí)題1.2第1題)求證： a b| |a b|> 2|a|; (2) |a b| |a b|< 2|b|2 .(課本P19習(xí)題1.2第3題)求證：卜 a| |x b|> |a b;卜 a| |x b|< |a b3 . (1)、已知|Aa|c,|Bb|c.求證：|(AB) (ab)|c。(2)、已知 x a cjy b c.求證：2x 3y 2a 3b c。五、課堂小結(jié)：1 .實數(shù)a的絕對值的意義：a (a 0) |a|0 (a 0)；(定義)a (a 0)a的幾何意義：2 .定理(絕對值三角形不等式)如果a,b是實數(shù)，則同 H|&l

31、t; |a b|< |a| |b|注意取等的條件。六、課后作業(yè)：課本P19第2, 4, 5題七.教學(xué)后記：23課 題：第05課時絕對值不等式的解法教學(xué)目標(biāo)：1:理解并掌握|x| a和|x| a型不等式的解法。2:充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。教學(xué)重點：絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解和運 用。教學(xué)難點：絕對值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)、取等條件。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：在初中課程的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)對不等式和絕對值的一些基本知識有了一定的了解。請同學(xué)們回憶一下絕對值的意義。在數(shù)軸上，一個

32、點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。即x,如果x 0x 0,如果x 0 。X,如果x 0在此基礎(chǔ)上，本節(jié)討論含有絕對值的不等式。二、新課學(xué)習(xí)：教學(xué)札記關(guān)于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等 式，另一類是證明不等式。下面分別就這兩類問題展開探討。1、解在絕對值符號內(nèi)含有未知數(shù)的不等式 （也稱絕對值不等式）， 關(guān)鍵在于去掉絕對值符號，化成普通的不等式。主要的依據(jù)是絕對值 的幾何意義.2、含有絕對值的不等式有兩種基本的類型。第一種類型：設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，不等式IX a的解 集是x| a x a,它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離小于a的點的集合是開區(qū)間（一a,

33、a）,如圖所示。a圖 1-1a如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結(jié)果來解。第二種類型：設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，不等式IX a的解 集是 x| X a或X a,它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離大于a的點的集合是兩個開區(qū)間（，a）,（a,）的并集。如圖1-2所示。27-aa教學(xué)札記圖1-2同樣，如果給定的不等式符合這種類型，就可以直接利用它的結(jié)果來解。3、|ax b| c和|ax b| c型不等式的解法。axb|cc axb cbxb|cax bc或axb c4、xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法。(三種思路)三、典型例題：例1、解不等式|3x 1 x 2。例2、

34、解不等式|3x 1| 2 xo方法1 ：分類討論。方法2:依題意，原不等式等價于3x 1 2 x或3x 1 x 2,然后 去解。例3、解不等式2x 1| 3x 2| 5。例4、解不等式|x 2 |x 1 5。解：本題可以按照例3的方法解，但更簡單的解法是利用幾何意義。原不等式即數(shù)軸上的點x到1, 2的距離的和大于等于5。因為1, 2的距離為1,所以x在2的右邊，與2的距離大于等于2(= (51)2);或者x在1的左邊，與1的距離大于等于2。這就是說，x 4或 x 1.例5、不等式|x 1| |x 3|>a,對一切實數(shù)x都成立，求實數(shù)a的取值范圍。教學(xué)札記3、|3 2x x 4.6、x2

35、1 x 2.9、|x |x 1| 2四、課堂練習(xí)：解下列不等式:1、 2Rx 1| 1.2、4|1 3x| 1 04、|x1|2 x.5、|x22x 4 17、|x|x2| 48、|x1| |x 36.10、 悶 |x 4| 2.五、課后作業(yè)：課本20第6、7、8、9題。六、教學(xué)后記：第二講 證明不等式的基本方法課 題： 第01課時不等式的證明方法之一：比較法教學(xué)目標(biāo)：能熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。教學(xué)重、難點：能熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。教學(xué)過程：一、新課學(xué)習(xí)：要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可，即利用不等式的性質(zhì)：a b a b 0a b a b 02）

36、商值比較法：設(shè)a b 0,教學(xué)札記a b a b 0二、典型例題：例1、設(shè)a,b都是正數(shù)，且a b,求證：a3 b3 a2b ab2例 2、若實數(shù) x 1,求證：3(1 x2 x4) (1 x x2)2.證明：采用差值比較法：3(1 x2 x4) (1 x x2)2=3 3x2 3x4 1 x2 x4 2x 2x2 2x3= 2(x4 x3 x 1)x 1)* 312)4.0Ji(x ；)27 0,243 0, 4(1 x x2)2.= 2(x 1)2(x2= 2(x 1)2(x2 x 1,從而(x 1)2(x 1)2(x 1)223(1 x2 x4)討論：若題設(shè)中去掉x 1這一限制條件，要求

37、證的結(jié)論如何變換?例 3、已知 a,b R，求證 aabb abba.本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行。a, b對稱，不妨設(shè),從而原不等式0證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于a b 0.a b 0 a b b a b b a bab、a b a b a b (a b )得證。aba 1,a b 0,* （a）ab 1.故原不等式ba b b得證。例4、甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點。甲有一半時間 以速度m行走，另一半時間以速度n行走；乙有一半路程以速度 m行 走，另一半路程以速度n行走。如果m n,問甲、乙兩人誰先到達(dá)指 定地點。分析：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的

38、路程是 S,甲、乙兩人走完這段 路程所用的時間分別為3工。要回答題目中的問題，只要比較3上的大 小就可以了。解：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是 S,甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為根據(jù)題意有S，熹/力，可得ti ' t2笆" m n2mn從而ti t22S S(m n) m n 2mn一，、2 _S4mn (m n)2(m n)mn_2S(m n)2(m n)mn29。，即 tit2。其中S,m,n都是正數(shù)，且m n o于是t t2從而知甲比乙首先到達(dá)指定地點討論：如果m n,甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點?三、課堂練習(xí)：1 .比較下面各題中兩個代數(shù)式值的大?。航虒W(xué)札記(1

39、) x2與x2 x 1; (2) x2 x 1 與(x 1)2.2 .已知 a 1.求證：(1) a2 2a 1;(2) -2a 1.1 aa b c3 .若 a b c 0,求證 aabbcc (abc) 3 .四、課時小結(jié)：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證 明不等式的步驟是：作差(或作商)、變形、判斷符號。“變形”是解 題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變 形”的常用方法。五、課后作業(yè)：課本23頁第1、2、3、4題。六、教學(xué)后記：課 題：第02課時 不等式的證明方法之二：綜合法與分析法教學(xué)目標(biāo)：1、結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種

40、基本方法：分 析法和綜合法。2、了解分析法和綜合法的思考過程。教學(xué)重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程。教學(xué)難點：根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適教學(xué)札記當(dāng)?shù)淖C明方法。教學(xué)過程：一、引入：綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。由于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性，這里將其放在一起加以認(rèn) 識、學(xué)習(xí)，以便于對比研究兩種思路方法的特點。所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式，逐步推導(dǎo)出要證的不等式。而分析法，則是由結(jié)果開始，倒過來尋找原因，直至原因 成為明顯的或者在已知中。前一種是“由因及果”，后一種是“執(zhí)果索因

41、”。打一個比方：張三在山里迷了路，救援人員從駐地出發(fā)，逐 步尋找，直至找到他，這是“綜合法”；而張三自己找路，直至回到 駐地，這是“分析法”。二、典型例題：例1、已知a,b,c 0 ,且不全相等。求證：222222 一a(b c ) b(c a ) c(a b ) 6abc分析：用綜合法。例 2、設(shè) a 0,b 0,求證 a3 b3 a2b ab2.證法一分析法要證a3 b3 a2b ab2成立.只需證(a b)(a2 ab b2) ab(a b)成立，又因 a b 0,31只需證a2 ab b2 ab成立，又需證a2 2ab b2 0成立, 即需證(a b)2。成立.而(a b)2 0顯然成

42、立.由此命題 得證。證法二綜合法(a b)2 0 a2 2ab b2 0 a2 ab b2 ab注意到a 0,b 0 ,即a b 0,由上式即得(a b)(a2 ab b2) ab(a b),從而 a3 b3 a2b ab2 成立。 議一議：根據(jù)上面的例證，你能指出綜合法和分析法的主要特點嗎？例3、已知 a, b, m都是正數(shù)，并且 a b.求證：里-. b m b (1)證法一要證(1),只需證b(a m) a(b m)(2)要證(2),只需證bm am(3)要證(3),只需證b a已知(4)成立，所以(1)成立。上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。證法二 因為b a,m是正數(shù)，

43、所以bm am兩邊同時加上ab得b(a m) a(b m)兩邊同時除以正數(shù) b(b m)得(1)。例4、證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時，如果水管橫截面的 周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。分析：當(dāng)水的流速相同時，水管的流量取決于水管橫截面面積的教學(xué)札記大小。設(shè)截面的周長為L,則周長為L的圓的半徑為異截面積為2；周長為L的正方形為L，截面積為I。所以本題只需證明2L2-2L 一 o4#證明：設(shè)截面的周長為L,則截面是圓的水管的截面面積為截面是正方形的水管的截面面積為o只需證明:為了證明上式成立，只需證明L22L2o16兩邊同乘以正數(shù)十,得：1因此，只需證明上式顯然成立

44、，所以這就證明了：通過水管放水,當(dāng)流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。例5、證明：a2 b2c2ab bc ca o證法一:因為a2b22ab(2)b22bc(3)2ca(4)所以三式相加得2（a2b2c2)2(ab bc ca)(5)兩邊同時除以2即得（1）證法二:2.2ab* a0，21212c (ab bc ca) (a b) (b c)22所以(1)成立。教學(xué)札記例 6、證明：(a222二(a b c)(a b) (b c) (c a). 由于a,b,c都是正數(shù)，所以abc0.而 b2)(c2 d2) (ac bd)2.(1)證明 (

45、1)(a2 b2)(c2 d 2) (ac bd )2 0(2)a2c2 b2c2 a2d2 b2d2 (a2c2 2abcd b2d2) 0b2c2 a2d2 2abcd 0(4)(bc ad)2 0(5)(5)顯然成立。因此(1)成立。例7、已知a,b,c都是正數(shù)，求證a222(a b) (b c) (c a) 0,可知 a3 b3 c3 3abc 0即a3 b3 c3 3abc (等號在a b c時成立)探究：如果將不等式a3 b3 c3 3abc中的a3,b3,c3分別用a,b,c來代 b3 c3 3abc.并指出等號在什么時候成立？分析：本題可以考慮利用因式分解公式3,332,22a

46、 b c 3abc (a b c)(a b c ab bc ca)看于。證明： a3 b3 c3 3abc2. 22=(a b c)( a b c ab bc ca)35教學(xué)札記替，并在兩邊同除以3,會得到怎樣的不等式？并利用得到的結(jié)果證 明不等式：(1 a b)(1 b c)(1 c a) 27,其中a,b,c是互不相等的正數(shù),且 abc 1.三、課堂小結(jié)：解不等式時，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊 同時加上(或減去)一個數(shù)或代數(shù)式，移項，在不等式的兩邊同時乘 以(或除以)一個正數(shù)或一個正的代數(shù)式，得到的不等式都和原來的 不等式等價。這些方法，也是利用綜合法和分析法證明不等式時

47、常常 用到的技巧。四、課堂練習(xí)：11、已知x 0,求證：x - 2.x37課 題： 第03課時不等式的證明方法之三：反證法教學(xué)目標(biāo)：通過實例，體會反證法的含義、過程與方法，了解反證法的基 本步驟，會用反證法證明簡單的命題。教學(xué)重點：體會反證法證明命題的思路方法，會用反證法證明簡單的 命題。教學(xué)難點：會用反證法證明簡單的命題。教學(xué)過程：一、引入：前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說，直接 從題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對于一些 較復(fù)雜的不等式，有時很難直接入手求證，這時可考慮采用間接證明 的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實性，而是 證明它的反

48、論題為假，或轉(zhuǎn)而證明它的等價命題為真，以間接地達(dá)到 目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方法。教學(xué)札記反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾。具體地說，反證法不直接證明命題“若 p則q”，而是先肯定命題 的條件p,并否定命題的結(jié)論q,然后通過合理的邏輯推理，而得到 矛盾，從而斷定原來的結(jié)論是正確的。利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：第一步 分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；第二步 作出與所證不等式相反的假定；第三步 從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。二、典型例題：例1

49、、已知a b 0,求證：&必(n N且n 1)例1、設(shè)a3 b3 2 ,求證a b 2.證明：假設(shè)a b 2,則有a 2 b,從而a3 8 12b 6b2 b3,a3 b3 6b2 12b 8 6(b 1)2 2.因為6(b 1)2 2 2 ,所以a3 b3 2 ,這與題設(shè)條件a3 b3 2矛 盾，所以，原不等式a b 2成立。例 2、設(shè)二次函數(shù) f(x) x2 px q ,求證：|f (1)|,| f (2)|,| f (3)| 中至 少有一個不小于1 .2證明：假設(shè)|f(1)|,|f (2)|,| f (3)|都小于1,則(1)教學(xué)札記f(1)| 21f(2) |f(3)| 2.另

50、一方面，由絕對值不等式的性質(zhì)，有f(1)| 21f(2)| |f(3)| |f(1) 2f(2)f(3)|(2)(1 P q) 2(4 2p q) (9 3p q) 2(1)、(2)兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來的結(jié) 論正確。注意：諸如本例中的問題，當(dāng)要證明幾個代數(shù)式中，至少有一個 滿足某個不等式時，通常采用反證法進行。議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾 結(jié)果，通常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、 已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例，討 論尋找矛盾的手段、方法有什么特點?例 3、設(shè) 0 < a, b, c < 1,

51、求證：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同時大于14證：設(shè)(1 a)b > 1 , (1 b)c >1, (1 c)a >1,444則三式相乘：ab < (1 a)b?(1 b)c?(1 c)a <64又.0 < a, b, c < 1 0 (1 a)a(1 a)a 2124同理：(1 b)b 1,(1 c)c 144以上三式相乘：(1 a)a?(1 b)b?(1c)c<2與矛盾64原式成立例 4、已知 a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > 0,求證：a, b, c &g

52、t;教學(xué)札記證：設(shè) a < 0,abc > 0, . bc < 0 又由 a + b + c > 0,則 b + c =a > 0.ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 與題設(shè)矛盾 又：若 a = 0,貝U與abc > 0矛盾，必有a > 0同理可證：b > 0, c > 0三、課堂練習(xí)：1、利用反證法證明：若已知 a, b, m都是正數(shù)，并且a b,則 a m a. b m b2、設(shè) 0 < a, b, c < 2,求證：(2 a)c, (2 b)a, (2 c)b,不可能同時大于13、若x,

53、 y > 0,且x + y >2,則1y和1x中至少有一個小于2。 x y提示：反設(shè)A2,3A2/X, y > 0,可得x + y <2與xxy+ y >2矛盾。四、課時小結(jié)：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：第一步 分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；第二步 作出與所證不等式相反的假定；第三步 從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。五、課后作業(yè)：教學(xué)札記課本29頁第1、4題。六、教學(xué)后記：課 題： 第04課時 不等式的證明方法之四：放縮法教學(xué)目標(biāo)：1 .感受在什么情況下，需要用放縮法證明不等式。2 .探索用放縮法證明不等式的理論依據(jù)和技巧。教學(xué)重、難點：1 .掌握證明不等式的兩種放縮技巧。2 .體會用放縮法證明不等式時放大或縮小的“度”。教學(xué)過程：一、引入：所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。怪贸雒黠@的不等量關(guān)系后，再應(yīng)用不等量大、小的傳遞性，從而使 不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其 在今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時用處更為廣泛。下面我