《新學案》2015年春高中數(shù)學蘇教版必修4名師導學：第一章三角函數(shù)

1、 第1章三角函數(shù)第1課時任意角 教學過程一、 問題情境情境1:在初中,我們已經(jīng)學習過的角有哪些?它們的范圍是多少?3情境2:在體操、跳水運動中,有“轉(zhuǎn)體720°”“翻騰兩周半”這樣的動作名稱,“720°”在這里也是用來表示旋轉(zhuǎn)程度的一個角,那么“720°”是怎樣的一個角?4二、 數(shù)學建構(gòu)(一) 生成概念問題1在初中,角的概念是如何定義的?(初中平面幾何中角的定義是:從一個端點出發(fā)的兩條射線所組成的幾何圖形.這個定義形象、直觀、容易理解,但它是靜態(tài)的,具有一定的局限性)問題2體操運動中的“轉(zhuǎn)體720°”是如何形成的?(引導學生來說明這個角可由旋轉(zhuǎn)的方式得到

2、)問題3你能根據(jù)上面的例子,給角下一個新的具有動態(tài)意義的定義嗎?(引導學生由特殊來歸納一般,給角下一個動態(tài)性的定義)通過師生互動,以及多媒體演示,學生親手作圖,給出角的動態(tài)性定義:角是平面內(nèi)一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形,射線旋轉(zhuǎn)的開始位置和終止位置稱為角的始邊和終邊,射線的端點稱為角的頂點.問題4既然角可以看做平面內(nèi)一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形,那么有幾種旋轉(zhuǎn)方式呢?如何來區(qū)分這些不同旋轉(zhuǎn)方式所得到的角呢?(通過旋轉(zhuǎn)方式的討論,引導學生來區(qū)別旋轉(zhuǎn)所得到的角,進而得到正角、負角、零角的概念)通過討論,結(jié)合下圖(圖1),給出正角、負角、零

3、角的定義.(圖1)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角,按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負角.如果射線沒有作任何旋轉(zhuǎn),那么也把它看成一個角,叫做零角.(二) 理解概念 1. 用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后,角的范圍大大地擴充了. 角有正負之分(結(jié)合圖2,引導學生知道區(qū)分正、負角的關鍵是抓住終邊的旋轉(zhuǎn)方向是逆時針、順時針,還是沒有轉(zhuǎn)動); 角可以任意大; 還有零角.(圖2) 2. 正角和負角是表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量,它的正負規(guī)定純系習慣,就好像與正數(shù)、負數(shù)的規(guī)定一樣,零角無正負,就好像數(shù)零無正負一樣.問題5角的概念推廣后,角的范圍也就擴大了,那么,我們又該如何來研究角?為了便于研究,我們要將角放在直角坐標系

4、中.建立直角坐標系的方法:角的頂點與原點重合,角的始邊為x軸的正半軸.問題6將角放入直角坐標系中研究后,角的終邊會出現(xiàn)在哪些位置?我們該如何稱呼它們?(通過討論,得到象限角與軸線角的概念)角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標軸上,稱這個角為軸線角.(三) 鞏固概念(1) 分別舉幾個第一、 二、 三、 四象限角的例子.(2) 30°, 390°, -330°角分別是第幾象限角?觀察這些角,你有什么發(fā)現(xiàn)?(3) 終邊相同的角有何特點?試寫出與30°角終邊相同的角的集合.5問題7與角終邊相同的角的集合如何表示?S=|=k·3

5、60°+, kZ.注意以下問題:kZ;是任意角;終邊相同的角不一定相等,但是相等的角的終邊一定相同;終邊相同的角有無數(shù)多個,它們相差360°的整數(shù)倍.6三、 數(shù)學運用【例1】寫出與下列各角終邊相同的角的集合S,并把S中在0°360°的角寫出來,并分別判斷它們是第幾象限角.(1) 460°(2) -21°(3) 963°14'7.(見學生用書P1)處理建議選例1的第一小題板書來示范解題的步驟,其他例題請幾個學生板演,教師針對板演同學所出現(xiàn)的問題及時給予更正,適時引導學生做好總結(jié)歸納.規(guī)范板書解(1) S=|=460&#

6、176;+k·360°, kZ. S中在0°360°范圍內(nèi)的角是(-1)×360°+460°=100°,它是第二象限角.(2) S=. S中在0°360°范圍內(nèi)的角是1×360°-21°=339°,它是第四象限角.(3) S=|=963°14'+k·360°, kZ. S中在0°360°范圍內(nèi)的角是(-2)×360°+963°14'=243°14

7、9;,它是第三象限角.題后反思只需將這些角表示成k·360°+(kZ)的形式,然后根據(jù)角選擇一個適當?shù)恼麛?shù)k值,使得k·360°+在0°360°的范圍內(nèi)則可.變式寫出與下列各角終邊相同的角的集合S,并把S中在-360°到720°間的角寫出來:(1) -120°(2) 640°.處理建議先由學生討論,然后讓學生回答,互相更正,對出現(xiàn)的錯誤進行糾正講解,并要求學生熟練掌握這些常見角的集合的表示方法.答案(1) S=|=k·360°-120°, kZ,分別令k=0, 1,

8、 2得S中在-360°到720°間的角為-120°, 240°, 600°.(2) S=|=k·360°+640°, kZ,分別令k=-2, -1, 0得S中在-360°到720°間的角為-80°, 280°, 640°.【例2】已知與320°角的終邊相同,判斷是第幾象限角.8(見學生用書P2)處理建議引導學生先寫出的表達式,然后將表達式中的k值具體化,取幾個具體的值來發(fā)現(xiàn)結(jié)論.規(guī)范板書由=k·360°+320° (kZ),可

9、得=k·180°+160° (kZ).若k為偶數(shù),設k=2n (nZ),則=n·360°+160° (nZ), 與160°角的終邊相同,是第二象限角;若k為奇數(shù),設k=2n+1 (nZ),則=n·360°+340° (nZ), 與340°角的終邊相同,是第四象限角.所以是第二或第四象限角.題后反思(1) 解題的關鍵在于將表示出來;(2) 在判斷所在象限的過程中,蘊含著分類討論的思想,要讓學生充分領悟此方法;(3) 從本題中可以得到這樣的一個結(jié)論:若角可以表示為=k·180&#

10、176;+ (kZ),則的終邊與的終邊所在的直線重合.變式若角的終邊落在x軸上,則的集合為;若角的終邊落在第一、三象限的角平分線上,則的集合為. (根據(jù)上述題后反思的結(jié)論可得到結(jié)果)答案|=k·180°, kZ; |=k·180°+45°, kZ(或|=k·180°+225°, kZ)*【例3】(教材第10頁習題1.1第11題)如圖,寫出終邊落在陰影部分的角的集合(包括邊界).9(例3)處理建議此題較難,引導學生觀察、分析陰影部分圖形的特點.規(guī)范板書解(1) 方法1:根據(jù)例2的變式可得|k·18

11、0°+45°k·180°+90°, kZ.方法2:|k·360°+45°k·360°+90°, kZ=|k·180°+45°k·180°+90°, kZ.(2) |k·360°-150°k·360°+120°, kZ.題后反思(1)一個角按順、逆時針旋轉(zhuǎn)k·360° (kZ)角后與原來角終邊重合,同樣一個“區(qū)間”內(nèi)的角,按順、逆時針旋轉(zhuǎn)k·

12、;360° (kZ)角后,所得“區(qū)間”仍與原區(qū)間重疊,因此,解決此類問題,我們可以首先在0°到360°范圍內(nèi)找出滿足條件的角,然后在加上k·360° (kZ)即可.(2) 此類問題要注意角的終邊的大小關系,以及按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的角是越來越大的.如第二小題表示為|k·360°+210°k·360°+120°, kZ或|k·360°+120°k·360°+210°, kZ都是錯誤的解答.變式若是第四象限角,判斷是第幾象限角.10處

13、理建議根據(jù)象限角的定義結(jié)合不等式的知識求解,最后來確定所在的象限.規(guī)范板書因為是第四象限角,所以k·360°+270°<<k·360°+360° (kZ),故k·180°+135°<<k·180°+180° (kZ),從而在第二或第四象限.題后反思在學生領悟了分類討論的思想后,在此基礎之上可增講八卦圖的巧解法.四、 課堂練習 1. 已知角為-30°,將角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角的度數(shù)為1050°. 2. 鐘表經(jīng)過4小時,時針

14、轉(zhuǎn)了-120度.提示鐘表每12個小時,時針順時針轉(zhuǎn)一圈,即轉(zhuǎn)了-360°,故4小時轉(zhuǎn)過的角度為×4=-120°. 3. 設A=|=k·360°+45°, kZ, B=|=k·360°+225°, kZ, C=|=k·180°+45°, kZ,D=|=k·360°-135°, kZ, E=|=k·360°+45°或=k·360°+225°, kZ,則相等的角集合為B=D, C=E.

15、0;提示可通過分類討論的方法或在直角坐標系中作出角用數(shù)形結(jié)合的方法來解決. 4. 寫出與下列各角終邊相同的角的集合,并將集合中適合不等式-720°<360°的元素寫出來.(1) 60°(2) -225°解(1) 與60°角終邊相同的角的集合S=|=k·360°+60°, kZ,當k=0時,=60°當k=-1時,=-300°當k=-2時,=-660°.(2) 因為-225°=-360°+135°,所以與-225°角終邊相同的角的集合S=|=k

16、·360°+135°,kZ,當k=0時,=135°當k=-1時,=-225°當k=-2時,=-585°.五、 課堂小結(jié) 1. 任意角、終邊相同的角的概念. 2. 與角終邊相同的角的集合為S=|=k·360°+, kZ,這一結(jié)果表示角周而復始的變化規(guī)律,同時,它也是研究角之間關系的最為基礎的知識. 3. 本節(jié)課主要涉及了數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化的思想方法.第2課時弧度制 教學過程一、 問題情境在本章引言中,我們曾考慮用(r, l)來表示點P,那么r, l與之間具有怎樣的關系呢?二、 數(shù)學建構(gòu)(一) 生成概念問題1

17、在初中,我們是如何求一個扇形的弧長的?(回到學生的已有的知識體系中來解決此問題)問題2在弧長公式中,角是如何度量的?度量的單位是什么?它的1個單位是怎么定義的?用這種單位制來度量角叫做什么制?(進一步引導學生復習舊的知識,達到溫故而知新的目的)問題3除了上面用“度”作為單位來度量角的角度制外,我們有沒有其他的方式來度量角呢?(引入課題)通過學生自學,老師引導,得到1弧度角的定義、角的弧度與角的關系.長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角,記作1rad.用弧度作為單位來度量角的單位制稱為弧度制.(二) 理解概念 1. 用弧度表示角的大小時,只要不引起誤解,可以省略單位. 2. 正角的弧度數(shù)

18、是正數(shù),負角的弧度數(shù)是負數(shù),零角的弧度數(shù)是0. 3. 1rad與圓的半徑的大小沒有關系.(三) 鞏固概念練習:(1) 圓的半徑為r,圓弧長為2r, 3r, 的弧所對的圓心角分別是2、 3、 .(2) 若圓的半徑為r,圓心角所對的圓弧長為2r,則的弧度數(shù)就是2.問題4角度制與弧度制如何換算?(引導學生從弧度定義出發(fā)歸納出角度制與弧度制的換算公式)問題5半徑為r,圓心角為的圓弧長是多少?此扇形的面積又是多少?(與角度制下的弧長及扇形面積公式相比較)說明: 1. 在應用公式|=求圓心角時,要注意其結(jié)果是圓心角的弧度數(shù)的絕對值. 2. 應用弧度制后,弧長公式及扇形面積公式要比角度制中的公式要簡單.問題

19、6角的概念推廣以后,在弧度制下,角的集合是什么?它與實數(shù)集之間有怎樣的對應關系?(進一步鞏固弧度定義,從不同角度加深對弧度制的理解)三、 數(shù)學運用【例1】把下列各角從弧度化為度:(1) ;(2) 4.5.2(見學生用書P3)處理建議讓學生獨立思考,給出解答,老師給出規(guī)范解答.規(guī)范板書解(1) rad=×=72°(2) 4.5rad=4.5×257.85°.題后反思若化為角度時不是整數(shù),則要注意近似計算的準確性,此時有兩種表達形式,一是表示為度的形式,一是表示為度分的形式,要注意度與分之間的轉(zhuǎn)換關系:1°=60'.問題知道了將弧度化為角度

20、,那么,又該如何將角度化為弧度?變式1把下列各角從度化為弧度:(1) 75°(2) 22°30'.處理建議讓學生進行板演,同時規(guī)范解題的格式.規(guī)范板書解(1) 75°=75×=;(2) 22°30'=22.5°=22.5×=.題后反思(1) 將帶“分”的角度化為弧度,首先要將“分”化為“度”,然后再用換算公式轉(zhuǎn)化;(2) 用“弧度”為單位度量角,當弧度數(shù)用來表示時,如無特殊要求,不必將寫成小數(shù);(3) 一些特殊角的弧度數(shù)應該加強記憶.變式2填寫下表:3角度0°30°90°135&

21、#176;150°180°弧度角度240°270°300°315°弧度2處理建議要求學生一邊填表,一邊進行記憶.解角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0角度210°225°240°270°300°315°330°360°弧度2【例2】已知扇形的周長為10cm,圓心角為3rad,求該扇形的面積.4(見學生用書P4)處理建議扇形的周長包含2

22、條半徑和1條弧長,引導學生利用條件列出關于半徑和弧長的二元一次方程組.規(guī)范板書解設扇形的半徑為r,弧長為l,則有解得故扇形的面積為S=rl=6(cm2).題后反思熟練地掌握弧長公式及扇形的面積公式,同時,重視方程思想的應用.變式一扇形的周長為20cm,當扇形的半徑和圓心角各取何值時,這個扇形的面積最大?并求此扇形的最大面積.5處理建議根據(jù)弧長及扇形的面積公式,用r表示出扇形面積S,轉(zhuǎn)化為求有關函數(shù)的最值問題.求扇形面積的最值問題,常常將其轉(zhuǎn)化成求函數(shù)特別是二次函數(shù)的最值問題,利用求函數(shù)最值的有關方法來求解,若含有參數(shù),還應注意分類討論.規(guī)范板書解設扇形的半徑為r,弧長為l,則l+2r=20,即

23、l=20-2r,從而可得0<r<10.又S=lr=(20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25,當r=5時,S有最大值25,此時l=20-2×5=10,圓心角=2(rad).答:當扇形的半徑為5cm和圓心角為2rad時,扇形的面積最大,最大值為25cm2.題后反思當扇形的周長一定時,其面積有最大值.注意消元思想的應用及二次函數(shù)最值的求解,還要注意本題中的半徑r(0, 10).*【例3】將下列各角化為2k+(0<2, kZ)的形式,并判斷其所在象限.(1) ;(2) -1485°.處理建議師生共同分析,尋找解決問題的方法.規(guī)范板書解(1

24、) =6=3×2+,它是第一象限角.(2) 方法1:-1485°=-5×360°+315°=-5×2+,它是第四象限角;方法2:-1485°=-1485×=-=-5×2+,它是第四象限角.題后反思將角度制表示為2k+ (0<2 kZ)的形式,有兩種方法:一是先將角表示為k·360°+ (0°<360°, kZ)的形式,然后再轉(zhuǎn)化為弧度的表達形式;二是先將角度化為弧度,然后再轉(zhuǎn)化為2k+ (0<2, kZ)的形式.四、 課堂練習 1. rad=15&

25、#176;, -rad=-240°, 735°=rad, -1080°=-6rad. 2. 若=-3,則角的終邊在第三象限. 3. 與角終邊相同的角的集合為|=2k+,kZ,與-角終邊相同的角的集合為|=2k-,kZ. 4. 已知半徑為36cm的圓上,有一段弧的長是75cm,則此弧所對的圓心角的弧度數(shù)為. 5. 用弧度制表示:(1) 終邊在x軸的正半軸上的角的集合;(2) 終邊在y軸上的角的集合;(3) 終邊在直線y=x上的角的集合;(4) 終邊在坐標軸上的角的集合.解(1) 終邊在x軸的正半軸上的角的集合S1=|=2k, kZ;(2) 終邊在y軸上的角的集合 S

26、2=k+, kZ;(3) 終邊在直線y=x上的角的集合S3=k+, kZ;(4) 終邊在坐標軸上的角的集合S4=, kZ.五、 課堂小結(jié) 1. 弧度的定義、弧度與角度之間的轉(zhuǎn)化,以及弧度制下弧長公式及扇形的面積公式. 2. 會應用所學的知識來處理實際問題,同時,要注重方程思想及消元思想的應用.第3課時任意角的三角函數(shù)(1) 教學過程一、 問題情境引入教材的引言:用(r, )與用坐標(x, y)均可表示圓周上點P,那么,這兩種表示有什么內(nèi)在聯(lián)系?確切地說,用怎樣的數(shù)學模型刻畫(x, y)與(r, )之間的關系?二、 數(shù)學建構(gòu)(一) 生成概念問題1在前面的學習中,我們?nèi)绾蝸硌芯拷?(引導學生應用建

27、立坐標系的方法來研究角,也是對前面的內(nèi)容的復習)問題2在初中我們是如何研究銳角三角函數(shù)的?(復習銳角三角函數(shù)的定義,以便為研究任意角的三角函數(shù)定義打下基礎)問題3我們能用建立坐標系的方法來研究銳角三角函數(shù)嗎?(引導學生來溝通初中、高中兩種研究方法的聯(lián)系,為下面任意角的三角函數(shù)埋下伏筆)通過討論,結(jié)合圖1,在平面直角坐標系中,設的終邊上任意一點P的坐標是(x, y),它與原點的距離是r(r=>0).(圖1)當為銳角時,過P作PMx軸,垂足為M.在RtOPM中,sin=, cos=, tan=.問題4怎樣將銳角的三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)?(由特殊推廣到一般,通過對比,讓學生對知識進行類

28、比、遷移及聯(lián)想,樹立他們勇于探索的信心)通過討論,結(jié)合圖2,給出任意角的三角函數(shù)的定義.(圖2)一般地,對任意角,我們規(guī)定:(1) 比值叫做的正弦,記作sin,即sin=;(2) 比值叫做的余弦,記作cos,即cos=;(3) 比值叫做的正切,記作tan,即tan=.(二) 理解概念 1. 根據(jù)相似三角形的知識,對于終邊不在坐標軸上的角的三角函數(shù)值不受終邊上的點P的位置的影響. 2. 對于確定的角,比值和都唯一確定,故正弦和余弦都是角的函數(shù). 3. 當=k+ (kZ)時,角的終邊在y軸上,故有x=0,這時tan無意義,除此之外,對于確定的角,比值也是唯一確定的,故正切也是角的函數(shù). 4. si

29、n, cos, tan分別叫做角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù),以上三種函數(shù)都稱為三角函數(shù).問題5由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應的關系,因此三角函數(shù)可以看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù),那么,在弧度制下,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域分別是什么呢?(函數(shù)的定義域是函數(shù)的三要素之一,討論三角函數(shù)的定義域是順里成章的事,同時,也是三角函數(shù)定義的具體應用)通過討論,借助于三角函數(shù)的定義,抓住分母等于0時比值無意義這一關鍵,可得正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域分別為R, R,.問題6根據(jù)三角函數(shù)的定義,我們得到了三個三角函數(shù)的定義域.通過前面的學習,我們知道,在坐標系中,角的終邊可能落在

30、四個象限中,也可能落在坐標軸上,那么角所在的位置對三角函數(shù)的值有什么樣的影響?這種影響表現(xiàn)在什么地方?(進一步加深三角函數(shù)的定義的應用,引導學生學會用知識)通過討論,分析可得正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的值在各象限的符號,如圖3所示:(圖3)進一步引導,歸納出更為容易的記憶方法,如圖4:(圖4)三、 數(shù)學運用【例1】已知角的終邊經(jīng)過點P(2, -5),求的正弦值、余弦值、正切值.3(見學生用書P5)處理建議緊扣三角函數(shù)的定義.規(guī)范板書解因為x=2, y=-5,所以r=,所以sin=-, cos=, tan=-.題后反思學會用定義來處理問題.變式已知角的終邊在直線3x+4y=0上,求sin, c

31、os, tan的值.4處理建議啟發(fā)學生將題目條件與三角函數(shù)定義聯(lián)系起來.解在直線3x+4y=0上任取點P(4a, -3a) (a0),則r=5|a|.當a>0時,sin=-, cos=, tan=-;當a<0時,sin=, cos=-, tan=-.題后反思運用任意角的三角函數(shù)的定義來求三角函數(shù)值時,先要判斷終邊的可能位置,然后在終邊上任意取一點,也可取一特殊點,求出該點到原點的距離,再由定義來進一步求解.若有參數(shù),還要注意對參數(shù)進行分類討論.【例2】確定下列三角函數(shù)值的符號:(1) cos;(2) sin(-565°);(3) tan.5(見學生用書P6)處理建議先確定

32、角是第幾象限角,然后根據(jù)不同象限角的三角函數(shù)值的正、負進行判斷.規(guī)范板書解(1) 是第一象限角, cos>0;(2) -565°=-2×360°+155°,即-565°是第二象限角, sin(-565°)>0;(3) =4+,即是第三象限角, tan>0.題后反思正確確定角的終邊所在的象限,是處理這類問題的關鍵.【例3】已知角的頂點為坐標原點,始邊為x軸的正半軸,若P(4, y)是角終邊上一點,且sin=-,求y的值.6(見學生用書P6)處理建議由題設條件確定是第幾象限角,然后利用三角函數(shù)的定義求解.規(guī)范板書解r=,

33、且sin=-,所以sin=-,得y2=64.由題意知為第四象限角,所以y=-8.題后反思若已知角終邊上一點,則x, y, r即可確定.本題求解時應注意隱含條件為第四象限角.*【例4】若sin<0且tan>0,確定是第幾象限角.7處理建議讓學生先回憶三角函數(shù)值在四個象限(包括在坐標軸上)的符號規(guī)律.規(guī)范板書 sin<0, 是第三、四象限角或終邊在y軸的負半軸上;又tan>0, 是第一、三象限角.綜上可得是第三象限角.題后反思本題的易錯點在于由sin<0得出是第三、四象限角,而忽略掉它的終邊還有可能在y軸的負半軸上,從而導致解題不完善.四、 課堂練習 1. 已知角的終

34、邊經(jīng)過點P(5, 12),則sin+cos=. 2. 若sincos<0,則角的終邊在第二、四象限. 3. sin1 cos2 tan3值的符號是正. 4. 已知角的終邊過點(3x-9, x+2),且cos0, sin>0,則x的取值范圍是(-2, 3. 提示由cos0, sin>0得故-2<x3.五、 課堂小結(jié) 1. 任意角的三角函數(shù)的定義,三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律. 2. 重視數(shù)形結(jié)合思想、類比思想在分析問題和解決問題中的作用.第4課時任意角的三角函數(shù)(2) 教學過程一、 問題情境在前面的學習中,我們知道,角的三角函數(shù)值與角的終邊上的點P(x, y)的

35、位置是無關的,那么我們就可以在角的終邊上取一些特殊的點,讓問題研究變得簡單些.二、 數(shù)學建構(gòu)(一) 生成概念問題1在角的終邊上取什么樣的點,可以讓我們在研究問題時變得簡單呢?(引導學生說出:考慮單位長度,從而引進單位圓的概念)圓心在坐標原點,半徑等于單位長度的圓,叫做單位圓.問題2在單位圓中,角的正弦值、余弦值分別是多少?(引導學生得到sin=y,cos=x)問題3x, y分別是角的終邊與單位圓的交點的橫、縱坐標,我們能將它們用幾何量表示出來嗎?(引導學生過點P作x軸的垂線,交x軸于點M,從而將線段OM,MP的長度與x, y聯(lián)系起來,即OM的長度等于|x|,MP的長度等于|y|,為引進有向線段

36、作鋪墊)問題4我們能否直接用線段OM,MP的某種形式來表示x, y,也即表示角的余弦值、正弦值呢?(為此,進一步引導學生考慮,請學生討論解決問題的方法)(圖1)結(jié)合圖1,進行如下思考:當角的終邊不在坐標軸上時,若x>0,則x即為OM的長度;若x<0,則x即為OM的長度的相反數(shù).同理,若y>0,則y即為MP的長度;若y<0,則y即為MP的長度的相反數(shù).問題5在前面的學習過程中,我們遇到過類似的情境嗎?(引導學生與正數(shù)、負數(shù)及正角、負角的概念進行類比,由此,來規(guī)定線段、直線的方向,引進有向線段、有向直線的概念)有向線段是指規(guī)定了方向(即規(guī)定了起點和終點)的線段.類似地,規(guī)定

37、了正方向的直線稱為有向直線(如x軸、y軸).(二) 理解概念 1. 有向線段的方向是由起點和終點產(chǎn)生的,有向直線的方向是由正方向產(chǎn)生的. 2. 當有向線段AB在有向直線l上或與有向直線l平行時,若有向線段AB的方向與有向直線l的方向相同,則在它的長度添上正號;若有向線段AB的方向與有向直線l的方向相反,則在它的長度添上負號,這樣所得的數(shù),叫做有向線段的數(shù)量,記為AB.問題6引進有向線段的數(shù)量后,在圖1中, x, y分別與哪個有向線段的數(shù)量對應?通過討論,得到x=OM, y=MP,從而有sin=MP, cos=OM.我們把有向線段MP,OM分別叫做角的正弦線、余弦線.問題7類似地,我們能引進正切

38、線的概念嗎?(學生討論,師生共同探討,引導學生思考這里需要解決什么問題)由于tan=,根據(jù)前面正弦、余弦的經(jīng)驗,我們應該讓=?,從而找到?所代表的有向線段的數(shù)量.由此得正切線(如圖2所示).(圖2)當角終邊在y軸的右側(cè)時,在角終邊上取點T(1, y'),則tan=y'=AT(A為單位圓與x軸正半軸的交點);當角終邊在y軸的左側(cè)時,在角終邊的反向延長線上取點T(1, y'),由于它關于原點的對稱點Q(-1, -y')在角的終邊上,故有tan=y'=AT.因此把有向線段AT叫做角的正切線.3當角終邊在不同象限時,其三角函數(shù)線如圖3所示.(圖3)特殊情況: 當

39、角的終邊在x軸上時,點P與點M重合,點T與點A重合,這時正弦線與正切線都變成了一點,數(shù)量為零,而余弦線OM等于1或-1; 當角的終邊在y軸上時,正弦線OM等于1或-1,余弦線變成了一點,它表示的數(shù)量為零,而正切線不存在.三、 數(shù)學運用【例1】分別作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線:(1) ;(2) ;(3) -;(4) -.4(見學生用書P7)處理建議可讓學生參見教材P13圖1-2-8的作法.規(guī)范板書解(例1)圖(1)、(2)、(3)、(4)中的MP,OM, AT分別表示各個角的正弦線、余弦線、正切線.題后反思作三角函數(shù)線分三步:先畫出單位圓,柱注點A(1, 0);準確作出角的終邊,找到角的

40、終邊與單位圓的交點P,過點P作x軸的垂線交x軸于點M,過點A作x軸的垂線交角的終邊(或角的終邊的反向延長線)于點T;寫出結(jié)論:正弦線為有向線段MP、余弦線為有向線段OM、正切線為有向線段AT.【例2】比較下列各組三角函數(shù)值的大小:(1) sin35°, sin55°(2) cos, cos;(3) tan1, tan2.5(見學生用書P8)處理建議引導學生作出單位圓中的三角函數(shù)線來比較大小.解(1)sin35°<sin55°(2) cos>cos;(3) tan1>tan2.題后反思三角函數(shù)線是有方向的,與x軸、y軸的正方向相反的三角函

41、數(shù)線,長度越長,它所表示的有向線段的數(shù)量越小,即三角函數(shù)值越小.問題1從例2中,我們可以領悟到利用單位圓中的三角函數(shù)線可以比較三角函數(shù)值的大小,那么,我們能利用它研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間0, 2上的單調(diào)性嗎?問題2我們能利用單位圓中的三角函數(shù)線研究正切函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性嗎?問題3我們能利用單位圓中的三角函數(shù)線研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的值域嗎?(讓學生自主探究,一方面是對例題的加深、拓展,同時,讓學生深化對三角函數(shù)線的理解;另一方面也可以為研究三角函數(shù)的性質(zhì)作鋪墊,并在這個過程中培養(yǎng)學生的探究能力)【例3】利用單位圓分別寫出符合下列條件的角的集合:(1) sin=;(2) cos=

42、-;(3) tan=.6(見學生用書P8)處理建議由學生作出相應的三角函數(shù)線,互相之間進行討論,研究,師生共同完成解答.在確定答案時,要引導學生先找出一個滿足條件的角,然后寫出與該角終邊相同的角的集合,從而得到問題的答案.(例3)規(guī)范板書解(1) 作出如圖所示的圖形,則根據(jù)圖形可得|=2k+或=2k+, kZ;(2) |=2k+或=2k+, kZ(圖略);(3) (圖略).題后反思要提醒學生注意正弦線平行于y軸或在y軸上,而余弦線在x軸上,這是此題的易錯點.變式利用單位圓寫出符合不等式cos-的角的集合.7處理建議引導學生正確作圖.規(guī)范板書解作出如圖所示的圖形,則根據(jù)圖形可得,滿足條件的角的集

43、合為|2k-2k+, kZ.(變式)題后反思解決此類問題一般可分為三步:(1)求出邊界的值;(2)標出滿足條件的區(qū)域;(3)根據(jù)區(qū)域?qū)懗鰸M足條件的答案.另外,還要注意,是否包括邊界,通常情況下,包括邊界的,邊界用實線表示,不包括邊界的,邊界用虛線表示.*【例4】已知為銳角,求證:1<sin+cos<.8處理建議引導學生去思考sin, cos可以用單位圓中的正弦線、余弦線表示出來,那么1, 能用什么表示出來?從而聯(lián)想到單位圓中的半徑1及扇形的弧長、面積(都與有關),由此得到本題的解題思路.規(guī)范板書(例4)解如圖,設單位圓與x軸、y軸的正半軸分別交于點A, B,角的終邊與單位圓交于點P

44、(x, y),過P作PDOx, PEOy, D, E為垂足.因為y=sin, x=cos,在OPD中,OD+DP>OP,從而sin+cos>1.又SPOA=OA·PD=sin, SPOB=OB·PE=cos,而S扇形OAB=·×12=,且S扇形OAB>SPOA+SPOB,故sin+cos<,從而1<sin+cos<成立.題后反思(1)利用單位圓把三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為單位圓中某些線段的長;(2)利用整體的面積大于部分的面積證明三角函數(shù)的不等關系是證明這類問題的常用方法.四、 課堂練習 1. 已知MP, OM, AT分別是75

45、°角的正弦線、余弦線、正切線,則這三條線長從小到大的排列順序是OM, MP, AT.  2. 如果角(0<<2)的正弦線與余弦線的長度相等,且符號相異,那么的值為或. 3. 設MP和OM分別是角的正弦線和余弦線,給出以下不等式: MP<OM<0; OM>MP>0; OM<MP<0; MP>0>OM.其中正確的是(填序號). 4. 利用單位圓比較大小:(1) sin25°<sin150°(2) cos=cos;(3) tan<tan;(4) tan>tan.五、 課堂小結(jié) 1.

46、單位圓的概念,有向線段、有向直線的定義,正弦線、余弦線、正切線的定義.三角函數(shù)線都是一些特殊的有向線段,一是其與坐標軸平行(或重合),二是其與單位圓有關,這些線段分別都可以表示相應三角函數(shù)的值,它們是三角函數(shù)的幾何表示. 2. 應用單位圓中的三角函數(shù)線,解決了一些與三角函數(shù)有關的問題,如比較三角函數(shù)值的大小,求角或角的范圍.這里,關鍵在于要學會用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題,同時,也是培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合意識的好機會.第5課時同角三角函數(shù)關系(1) 教學過程一、 問題情境當角確定后,的正弦、余弦、正切值也隨之確定,它們之間有何關系?二、 數(shù)學建構(gòu)(一) 生成概念問題1設點P(x, y)為單位圓上任意一

47、點,則x, y滿足什么關系?(結(jié)合前面知識,引導學生說出:x2+y2=1)問題2設角的終邊與單位圓交于點P,則點P的坐標是什么?那么sin與cos滿足什么關系?tan與sin,cos之間滿足什么關系?(引導學生研究任意角的三種三角函數(shù)之間的關系,得出三角函數(shù)的基本關系式)通過討論,結(jié)合圖1,給出同角三角函數(shù)的基本關系式:sin2+cos2=1, tan=.(圖1)問題3上述兩式對于任意的都成立嗎?(引導學生理解等式成立的條件,突出三角函數(shù)的定義域)sin2+cos2=1對于任意的角都成立,tan=在k+ (kZ)時成立.問題4對于任意的兩個角, , sin2+cos2=1能恒成立嗎?(引導學生

48、理解三角函數(shù)的基本關系式中,突出“同角”)問題5你能給出同角三角函數(shù)的基本關系式的幾種變形嗎?(引導學生進一步理解公式的形式,培養(yǎng)學生思維的靈活性)(二) 理解概念 1. 注意“同角”,至于角的形式無關重要,如sin24+cos24=1等. 2. 注意這些關系式都是對于使它們有意義的角而言的,如tan= (k+, kZ),以后遇到的關系式(包括已證的和待證的)也是這樣.解題中,如果沒有特殊說明,一般都把關系式看成有意義的. 3. 對這些關系式不僅要牢固掌握,還要能靈活運用,如:公式的幾種常見變形,sin2=1-cos2, cos2=1-sin2, cos=±, sin=±(

49、注意分析“±”號的選取);sin=cos·tan, cos=等.三、 數(shù)學運用【例1】已知cos=,且是第四象限角,求sin, tan的值.3(見學生用書P9)處理建議引導學生直接運用公式求解,但應注意角所在象限.規(guī)范板書解因為sin2+cos2=1,所以sin2=1-cos2=1-=.又是第四象限角,因此sin<0,故sin=-, tan=×=-.題后反思已知某角的一個三角函數(shù)值,可以利用同角三角函數(shù)的基本關系式求出這個角的另外兩個三角函數(shù)值(即“知一求二”).求解過程中應該注意,利用平方關系求值時,由于要開平方,就面臨一個正負號的選擇問題,為此要討論角所

50、在的象限.思考1若角所在的象限是未知的,我們又該如何處理呢?變式1已知tan=2,求sin和cos的值.4處理建議讓學生比較此題與例1的區(qū)別及聯(lián)系,從中找到解題的方法與步驟.規(guī)范板書解由=tan=2,可得sin=2cos.又sin2+cos2=1,故(2cos)2+cos2=1,解得cos2=.又由tan=2>0,知是第一或第三象限角.若是第一象限角,則cos=, sin=;若是第三象限角,則cos=-, sin=-.題后反思本題的解題中,將正切化為正弦與余弦,一方面與解題目標相近,另一方面,也是“消元思想”的體現(xiàn).在三角函數(shù)的解題中,經(jīng)常會將“切”化“弦”.思考2上述解法的本質(zhì)是什么?

51、將sin, cos看成兩個未知數(shù),通過建立方程組的方法來解出它們的值,它是一種方程思想的體現(xiàn).思考3我們能直接找到tan與sin或cos的關系嗎?解法2:因為sin2+cos2=1,所以tan2+1=,從而cos2=.以下同上面的解法.變式2已知tan=2,求下列各式的值:(1) ;(2) sin2+2sincos+3cos2.5(見學生用書P10例3)處理建議引導學生嘗試用不同的方法求解.規(guī)范板書解(1)方法1:由tan=2得sin=2cos,故=;方法2:=;方法3:由tan=2得sin=2cos,又sin2+cos2=1,故(2cos)2+cos2=1,解得cos2=.又由tan=2&g

52、t;0,知是第一或第三象限角.若是第一象限角,則cos=, sin=,從而=;若是第三象限角,則cos=-, sin=-,從而=.(2) 解法1:sin2+2sincos+3cos2=cos2(tan2+2tan+3)=11cos2.又由sin2+cos2=1得1+tan2=,故cos2=,從而原式=.解法2:sin2+2sincos+3cos2=.解法3:(同(1)的解法3,略)題后反思(1) 上述三種解法中,以解法一、二較為簡便,解法三較為繁瑣.一般地,已知tan或sin與cos的關系,求, (齊次式)的值,可利用分子、分母同除以cos, cos2轉(zhuǎn)化為tan的表達式,也可將正弦轉(zhuǎn)化為余弦

53、再約分求值;如果要求sin, cos的值,可采用解方程(組)的方法求解,需要注意的是要對角所在的象限進行討論.(2) 學習中,要注意靈活地運用知識,對所學的公式進行適當?shù)淖冃蝸硎褂?如本題中所用的由sin2+cos2=1得到1+tan2=,這樣就直接溝通了正切與余弦的關系.(3) 第(2)小題解法2中應用了常數(shù)“1”的代換,將1看成sin2+cos2,簡化了問題.【例2】已知sinx+cosx=,且0<x<,求下列各式的值:(1) sin4x+cos4x;(2) tanx.6(見學生用書P10)處理建議本題可直接求出sinx, cosx的值,再代入求解即可;也可將待求解的式子進行轉(zhuǎn)

54、化,如(1)式進行降冪,(2)式通過齊次式求tanx.規(guī)范板書方案一:解出sinx, cosx的值.方法1:由題意得解得或又0<x<,故從而(1) sin4x+cos4x=+=;(2) tanx=-.方法2:由sinx+cosx=兩邊平方,得1+2sinxcosx=,即sinxcosx=-,將它與sinx+cosx=聯(lián)立成方程組,解得或又0<x<,故下同方法1.方法3:由方法2得sinxcosx=-<0,而0<x<,所以sinx>0, cosx<0,故sinx-cosx=,與sinx+cosx=聯(lián)立解得下同方法1.方案二:根據(jù)目標,進行化歸

55、.方法4:由上述方法2得sinxcosx=-,從而(1) sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2×=;(2) 由sinxcosx=-,解得tanx=-或tanx=-.若tanx=-,則sinx+cosx=(1-)cosx=,即cosx=,而由sinxcosx=-<0, 0<x<得sinx>0, cosx<0,與cosx=矛盾,故tanx=-不成立,從而tanx=-.7*【例3】已知sin, cos是關于x的方程x2-ax+a=0的兩個根(aR).(1) 求sin3+cos3的值;(2) 求tan+的值.8處理

56、建議本題的易錯點在于不能正確地求出a值,從而得到增根.要引導學生思考方程的根所滿足的條件,從而得到正確的結(jié)果.規(guī)范板書解依題意,有從而得a2=1+2sincos=1+2a,解得a=1±.因為sincos1,故a=1-.(1) sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=a(1-a)=-2.(2) tan+=+=-1.題后反思由于sin, cos的自身的取值范圍影響著a的取值,所以,在解題中要注意挖掘題目中的隱含條件,同時,對于含“切”的式子?；癁椤跋摇眮硖幚?四、 課堂練習 1. 已知cos=, (0, ),則tan=. 2. 已知tan=-,則sin

57、+cos=±.提示sin+cos=cos(1+tan)=cos,由sin2+cos2=1得tan2+1=,從而cos=±,故sin+cos=±. 3. 若=2,則tan=1. 4. 已知A是三角形的一個內(nèi)角,且sinA+cosA=,則這個三角形的形狀是鈍角三角形.提示由條件可得sinAcosA=-,又0<A<,所以角A為鈍角.五、 課堂小結(jié) 1. 對同角三角函數(shù)的基本關系式,要注意兩個方面:一是“同角”;二是“有意義”. 2. 應用同角三角函數(shù)的基本關系解題時,要注意常見的幾種變形的應用:(1) 切化弦;(2) 正弦、余弦的“齊次式”化為正切;(3) 常數(shù)“1”的代換;(4) (sinx±cosx)2=1±2sinxcosx. 3. 要學會從不同的角度來分析同一個問題,培養(yǎng)思維的靈活性、簡潔性與嚴謹性.第6課時同角三角函數(shù)關系(2) 教學過程一、 問題情境3上節(jié)課,我們學習了同角三角函數(shù)基本關系