g3.1067空間角、距離綜合

1、g3.i067空間角.空間距離綜合:高考真題：i. （2003京春文ii,理8）如圖9-i,在正三角形 ABC中，D, E, F分別為各邊的中點(diǎn)， G, H, I, J分別為AF, AD, BE, DE的中點(diǎn).將 ABC沿DE , EF, DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為（）A.90 °B.60°C.45°D.0°2. （2002全國理，8）正六棱柱 ABCDEFAiBiCiDiEiFi的底面邊長(zhǎng)為i ,側(cè)棱長(zhǎng)為 J2 ,則這個(gè)棱柱的側(cè)面對(duì)角線EiD與BCi所成的角是（）A.90°B.60°C.45°D.30圖9

2、-i3. （200i全國，ii） 一間民房的屋頂有如圖 94三種不同的蓋法：?jiǎn)蜗騼A斜；雙向傾斜；四向傾斜 蓋法屋頂面積分別為 Pi、P2、P3.記三種圖94)若屋頂斜面與水平面所成的角都是a ,則（A. P3>P2>PiC.P3= P2>PiB.P3>P2= PiD.P3= P2= Pi4. （2001全國，9）在正三棱柱 ABC AiBiCi中，若 AB= 2B BBi,則ABi與CiB所成的角的大小為（）A.60 °B.90°C.i05°D.75°5. （2000全國文，i2）如圖95, OA是圓錐底面中心 。到母線的垂線，O

3、A繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成相 等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為（）iB. 2iC.2iD.4 26. （i995 全國文，i0）如圖 97, ABCDAiBiCiDi 是正方體，BiEi = DiFi = 拈,則BEi與DF i所成角的余弦4值是（）i5A. 一i7iB.-2C 8D 型.i7. 27. （2003上海春，i0）若正三棱錐底面邊長(zhǎng)為 4,體積為i,則側(cè)面和底面所成二面角的大小等于 （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.8. （2002京皖春，15）正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2, E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)，將正方形沿EF折成直二面角（如圖911所示）.M為矩形AEFD內(nèi)一點(diǎn)，如

4、果/ MBE=/MBC, MB和平面BCF所成角的正切值為 -,那么點(diǎn)M到直2線EF的距離為.9. （2002上海，4）若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2 J3 cm,體積為4 cm3,則它的側(cè)面與底面所成的二面角的大小是.圖 9- 1310. （2000上海春，8）如圖913, /BAD = 90°的等腰直角三角形 ABD與正三角形 CBD所在 平面互相垂直，E是BC的中點(diǎn)，則AE與平面BCD所成角的大小為 .11. （2003京春文，19）如圖919, ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，側(cè)棱長(zhǎng)為1 ,底面邊長(zhǎng)為2, E是棱BC的中點(diǎn).（I ）求三棱錐 D1DBC的體積；（II）證明 BD

5、1 /平面 C1DE;（出）求面 C1DE與面CDE所成二面角的正切值.圖 919圖 9 2012. （2003京春理，19）如圖9-20,正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)為 2 J2 ,側(cè)棱長(zhǎng)為4.E, F分別為棱 AB, BC 的中點(diǎn)，EFABD = G.（I）求證：平面 BEF,平面 BDD1B1;（n）求點(diǎn) D1到平面B1EF的距離d;（出）求三棱錐 B1一EFD1的體積V.13. （2002 京皖春文，19）在三棱錐 SABC 中，/ SAB=/SAC=/ACB=90° ,且 AC=BC=5, SB=5 J5 .（如圖 921）（I ）證明：SC±B

6、C;（n）求側(cè)面 SBC與底面ABC所成二面角的大小；（出）求三棱錐的體積 Vs-abc.14. （2002全國理，18）如圖926,正方形 ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1,而且平面 ABCD、ABEF互相垂直.點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn) N在BF上移動(dòng)，若 CM=BN=a （0vav J2 ）（I ）求MN的長(zhǎng)；（n）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最?。唬ǔ觯┊?dāng)MN長(zhǎng)最小時(shí)，求面 MNA與面MNB所成的二面角a的大小.圖 9 26圖 92715. (2001春季北京、安徽，19)如圖9-27,已知VC是 ABC所在平面的一條斜線，點(diǎn)N是V在平面ABC上的射影，且在 ABC的高CD上.AB=a, VC與AB

7、之間的距離為h,點(diǎn)M C VC.(I)證明/ MDC是二面角M ABC的平面角；(n)當(dāng)/ MDC = /CVN 時(shí)，證明 VCL平面 AMB;(出)若/ MDC = /CVN=0 (0<0< 一 =，求四面體 MABC的體積.答案解析1 .答案：B解析：將三角形折成三棱錐如圖9 43所示.HG與IJ為一對(duì)異面直線.過點(diǎn)D分別作HG與IJ的平行線，即DF與AD.所以/ ADF即為所求.因此，HG與IJ所成角為60。.評(píng)述：本題通過對(duì)折疊問題處理考查空間直線與直線的位置關(guān)系，在畫圖過程中正確理解已 知圖形的關(guān)系是關(guān)鍵.通過識(shí)圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力.而對(duì)空間圖形的處理能

8、力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向2 .答案：B解析：連結(jié)FEi、FD ,則由正六棱柱相關(guān)性質(zhì)得FE1/BC1.圖 9-43在4EFD 中，EF=ED=1 , /FED=120° ,fd = 73 .在 RHEFEi 和 REEiD 中，易得 EiF=EiD=J3.EiFD 是等邊三角形./ FEiD=60° .，BCi與DEi所成的角為60° .評(píng)述：本題主要考查正六棱柱的性質(zhì)及異面直線所成的角的求法3.答案：D解析：由S) = S側(cè)cos8可得Pi = P2,S1S2而 P3= 2( 一2sin cos)2(Si S2)cos又

9、 2 (S + S2) =$底Pi = P 2= P 34.答案：B解析：如圖948, Di、D分別為BiCi、BC中點(diǎn)，連結(jié) AD、D1C,設(shè)BBi= 1 ,則AB =3 -V2，則AD為AB1在平面BC1上的射影，又BE ,BD 32BC,cosC1BC -2BC1DE2=BE2+ BD2-2BE - BD - cosCiBC圖 94811c 322 1=2 3 23236c c111c而 BE2+DE2= - = BD2362/ BED =90°AB1與 C1B 垂直5.答案：D1cle斛析：如圖950,由題思知，一式r2h= R2h36 r =又 ABOcao,rOAOA 9

10、 R2，.二 OA2= r - R= =, OARJ2,OA 1 cos 9-R 4 26.答案：A解析：這是兩條異面直線所成角的問題，如圖951 將 DF1 平移至 AG1, AG1 =AB1”,再將AGi平移至EEi,其4BE1與DF1所成的角.174圖 951L AB cA1B1中AE=1一，BiEi=，/BE1E即是異面直線設(shè)正方體棱長(zhǎng)為l,可求得EEi=BEi=Ji 16EB=-,在 BEEi中由余弦定理得2cosBEiE =222BE1 EE1 BE22BEiEEi17 17 116 16 415c 1717172 -44故應(yīng)選A.評(píng)述：利用直線平移，將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線

11、所成角，將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決.“轉(zhuǎn)化”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，這種思想在近幾年白試題里明顯地、有意識(shí)地進(jìn)行了考查37.答案：arctan -8一、，修1解析：設(shè)棱錐的圖為 h,如圖9 53,則V=- 4X4Xsin60 h=1 ,3 h-4D 為 BC 中點(diǎn)，OD= AD =， ，4= a/33323易證/ PDO為側(cè)面與底面所成二面角的平面角3POtan 9 =ODT3“，3-.故 8=arctan2 3883評(píng)述：本題考查三棱錐中的基本數(shù)量關(guān)系，考查二面角的概念及計(jì)算8.答案：與解析：過 M作MOLEF,交EF于。，則MO,平面BCFE.1如圖 9-54,作 ONXBC,設(shè)

12、 OM=x,又 tanMBO=-,2BO=2x又 Sambe= BE - MB - sinMBE=BE - MESambc= BC - MB - sinMBC = BC - MN 222. 2. 一 2 .ME=MN,而 ME=、5x 1 , MN = <X 1 ,解得 x=.29 .答案：30°解析：如圖9-60,作BC邊中點(diǎn) M, VMXBC過V作VOL底面ABCD. VOXMO, MOLBC,VMO為其側(cè)面與底面所成二面角的平面角- V 錐=-SABCD , VO3.-4= 1 - (2 <3 ) 2 VO , VO=13一 2 3 一又. OM= 33 , VOX

13、 MO,VMO=30，側(cè)面與底面所成的二面角為 30° .10 .答案：45°解析：過點(diǎn) A作AF，BD于F ,則AF，面BCD , / AEF為所求的角.設(shè)BD= a,貝U AF = 一 , EF= ,22.在Rt AEF 中，/ AEF = 4511. (I)解:V Di DBC(n)證明：記 DC與DC1的交點(diǎn)為O,連結(jié)OE.O是CD1的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，EO/BD1, BDp面 C1DE, EO 平面 C1DE. .BD1 /平面 CDE.(出)解：過C作CHLDE于H,連結(jié)C1H.在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，C1C,平面ABCD, C1HXDE,

14、/ C1HC是面C1DE與面CDE所成二面角的平面角 DC=2, CC1二1,CD CECE=1.1. CH =DEtanC1HC=C1C CH<5一 工，.即面C1DE與面CDE所成二面角的正切值為2評(píng)述：本題考查正四棱柱的基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力12. (I)證法一：連接 AC.二正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是正方形 ACXBD,又 ACXD1D,故 AC,平面 BDD 1B1 E, F 分別為 AB, BC 的中點(diǎn)，故 EF/AC,，EF，平面 BDD 1B1平面 B1EFL平面 BDD1B1.證法二： BE=BF, Z EBD = Z FBD

15、=45° ,. EFXBD.，平面 BEF,平面 BDD1B1.(n)解：在對(duì)角面 BDD1B1中，作D1HLB1G,垂足為H平面 BEF,平面 BDD1B1 ,且平面 BEFA平面 BDD1B1=B1G, D1H，平面 B1EF,且垂足為 H , 點(diǎn) D1到平面B1EF的距離d=D1H. 解法一：在 RtADHB1 中，D1H=D1B1 - sinD1BH,: D1B1= 、2 A1B1=4.B1B4sinD1B1H=sinBGB=GB142 124,17416d=D1H=4 j=v1717 17解法二：. DiHBsBiBG,D1HB1BD1B1bg2 一 一B1 B 16 .-

16、.d=DiH=17.BiG17解法三：如圖 964,連接D1G,則三角形 D1GB1的面積等于正方形 DBB1D1面積的一半_ 11 即一B1G - D1H = BB12.2216 7d=v'1717 '圖 9-64（出）VVb EFDVd b ef1111一 d S B1EF33 1167 12-17 136評(píng)述：本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.要求對(duì)圖形必須具備一定的洞察力.并進(jìn)行一定的邏輯推理.在研究本題時(shí)，要注意摘出平面圖形，便于計(jì)算13. (I)證明：./ SAB=/SAC=90° ,SA<± AB, SAL AC.又 AB A

17、 AC=A,SAL平面 ABC.由于/ ACB=90° ,即 BC± AC,由三垂線定理，得 SCXBC.(n)解：BCXAC, SC± BCSCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角.在 RtSCB 中，BC=5, SB=5 .得 SC= SB2 BC2 =10AC 51在 RtSAC 中 AC=5, SC=10, cosSCA= 一SC 10 2./SCA=60° ,即側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為 60 （出）解：在 RtASAC中，252.SA= /sc2 AC2102 5275.IT 75125 36Saabc= 一 , AC

18、 , BC= _ X 5X 5=、，1c 一 1Vs- abc= , Saacb , SA=一33圖 970MP14.解：（I）作 MP/ AB 交 BC 于點(diǎn) P,N NQ,且MP=NQ,即MNQP是平行四邊形,MN=PQ.由已知，CM = BN=a, CB=AB=BE=1 ,NQ/AB交BE于點(diǎn)Q,連結(jié)PQ,依題意可得如圖 970. ac=bf=V2,CP a BQ a12,1.2 .一a即 CP=BQ= 2MN=PQ= (1 CP)2 BQ2(122,2 2/a2)(0v av v12 ).2mn= . (a2所以，當(dāng)a="時(shí),2MN=2即M、N分別移動(dòng)到AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，M

19、N的長(zhǎng)最小，最小值為 立2(出)取MN的中點(diǎn) AM=AN, BM=BNG,連結(jié)AG、BG,如圖971G為MN的中點(diǎn) AGXMN, BGXMN , / AGB即為二面角 a的平面角,.6，人 r、- e 又AG=BG=,所以，由余弦7E理有4圖 971(» _ 44COS oc =".66244故所求二面角 a =arccos (-)3評(píng)述：該題考點(diǎn)多，具有一定深度, 方形為背景，加強(qiáng)空間想象能力的考查但入手不難，逐漸加深，邏輯推理和幾何計(jì)算交錯(cuò)為一體；以兩個(gè)垂直的正 .體現(xiàn)了立體幾何從考查、論證和計(jì)算為重點(diǎn)，轉(zhuǎn)到既考查空間概念，又考查幾何論證和計(jì)算.但有所側(cè)重，融論證于難度

20、適中的計(jì)算之中.反映教育改革趨勢(shì)， 體現(xiàn)時(shí)代發(fā)展潮流.此外解答過程中，必 須引入適當(dāng)?shù)妮o助線，不僅考查識(shí)圖，還考查了基本的作圖技能 .充分體現(xiàn)了 “注重學(xué)科之間的內(nèi)在聯(lián)系”，較為深入和 全面考查各種數(shù)學(xué)能力.15. (I)證明：. CDXAB, VNL平面 ABC, AB 平面 ABC, . VNAB.又. CDnVN=N .平面 VNCAB又 MD 平面 VNC MDXAB/ MDC為二面角 M MAB C的平面角.如圖9 72(n)證明： VC 平面 VCN,ABVC圖 972又.在 VCN 和4CDM 中，/ CVN = /MDC, /VCN=/VCN DMC =/ VNC=90

21、6; .-. DM ±VC又AB ADM =D, AB、DM 平面 AMB VC，平面 AMB .(出)解：: MD，AB且MD，VC,，MD為VC與AB的距離為 h.過M作ME，CD于E1 11 9Vmabc= AB CDXME . ah2tan 023 6四、作業(yè) 同步練習(xí)g3.1067空間角距離綜合1、已知半徑是B的球面上有A、B、C三點(diǎn),A、 12B、 8C、 62、已知三棱錐P-ABC , PA 平面ABC ,DE與AB的距離是（-3A、)_3B、 2AB=6 ,BC=8, AC=10;則球心O到截面ABC的距離為（D、5ABC 90 , ACB 30 ,ab=1,d、E分

22、別是PC、BC的中點(diǎn)，則異面直線C、J3 D、與PA的長(zhǎng)有關(guān)3、設(shè)兩平行直線a、b間的距離為2m,平面A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)與a、b都平行且與a、b的距離都為m,這樣的平面D、4個(gè)4、一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別與另一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則這兩個(gè)二面角（）A、相等B 、互補(bǔ) C 、相等或互補(bǔ) D 、不確定5、平面平面 =CD，P為這兩個(gè)平面外一點(diǎn)，PA 于A, PB于B,若PA=2,PB=1AB=，7則二面角CD的大小為（）A、150B、120C、90 D、606、P是平面ABC外一點(diǎn)，若PA=PB=PC,且 APB BPC CPA 60則二面角P-AB-C的余弦值為 .7、正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的

23、面積與底面面積之比為2: 3,則這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所成二面角的度數(shù)為 c 8、已知 AOB 90，過。點(diǎn)引 AOB所在平面的斜線 OC與OA、OB分別成45、60角，則以O(shè)C為棱的二面角 A-OC-B的余弦值為 。19、平面 的一條垂線段OA （。為垂足）的長(zhǎng)為6,點(diǎn)B、C在平面 上，且tan ABO 3,tan ACO 2,那么b、C兩點(diǎn)間距離的范圍是10、正方體 abcd A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)P在A1B1上運(yùn)動(dòng)，那么過P、B、Di三點(diǎn)的截面面積的最小值是 11、直三棱柱ABC AlB>Cl中，ACB 90 ,ac=aa i=a,則點(diǎn)A到截面AiBC的距離12、(05湖南

24、)如圖1,已知ABCD是上、下底邊長(zhǎng)分別為2和6,高為J3的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸 OO1折成直面角，如圖2。(I )證明：AC! BO;(n)求二面角 O AC Q的大小。13、(05湖北)如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面 AEC1F所截面而得到的，其中AB=4 ,BC=2 ,CC1=3,BE=1.(I )求BF的長(zhǎng)；(n )求點(diǎn)C到平面AEC 1F的距離.參考答案A B C D D 160 三3310,146 2a2、2 a212、解法一（I）證明 由題設(shè)知 OAOOi, OBXOOi.所以/ AOB是所折成的直二面角的平面角，即OALOB.故可以。為原點(diǎn)，OA、OB、OO

25、i所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系, 如圖3,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是 A （3, 0, 0）,B (0, 3, 0), C (0, 1, J3)Oi (0, 0, <3).圖 3從而 AC ( 3,1, 3),BOi (0, 3, 3), AC BOi3 .3 3 0.所以 AC ± BOi.(II)解：因?yàn)?BOi OC 3 <3 v,3 0,所以 BOiXOC,由(I) AC，BOi,所以BO平面OAC, BOi是平面OAC的一個(gè)法向量設(shè)n (x, y,z)是0平面OiAC的一個(gè)法向量，由 n AC 03x y gz 0,取z w,得 n(1,0,j3).

26、n OiC 0 y 0.設(shè)二面角OAC Oi的大小為 ，由n、BO1的方向可知n, BOi>,所以 cos cos n , BOi >= n BOi|n I |BOi |即二面角OACOi的大小是arccos也4解法二（I）證明 由題設(shè)知OAOOi, OBXOOi, 所以/ AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA XOB.從而AOL平面 OBCOi, OC是AC在面OBC01內(nèi)的射影.tan OQCOiCOOi3所以/ OOiB=60° , / OiOC=30° ,從而 OCBOi 由三垂線定理得 AC ±BOi.(II)解 由(I) AC ±BOi, OCX BOi ,知 BOH平面 AOC.設(shè)OCnOiB=E,過點(diǎn)E作EFAC于F,連結(jié) OiF (如圖4),則EF是OiF在平面AOC 內(nèi)的射影，由三垂線定理得OiFAC.所以/ OiFE是二面角 OACOi的平面角.由題設(shè)知 OA=3 , OOi=J3, OiC=1 ,所以 01A JOA2 OO122/3, AC Jo1A2O1C213 ,t -L O1A O1C 2,3,3從而 01 F ,又 01E=001 - sin30 =，AC ,13201E13.一，一一 .3所以 sin O1FE .即面角 0 AC 01