合理分派與會成員的數(shù)學(xué)模型

1、2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名

2、號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：合理分派與會成員的數(shù)學(xué)模型摘要 本文在合理的假設(shè)之下，給出了兩種可行的分配方案（方案和方案），解決了關(guān)于多次合理分派與會成員的問題。按照問題的要求，確定了均衡分派原

3、則和分配比例原則及相應(yīng)的權(quán)值。方案是按照均衡分派原則給出了各會議小組的分配方案，計算機模擬結(jié)果表明，這種分派方案是穩(wěn)定的，實際中葉很容易實現(xiàn)和調(diào)整。方案是按照分配比例原則，將內(nèi)部（在職）董事和外部董事按一定比例進行分派，從而給出了合理的分派方案。并且，這種分派方案在我們?nèi)粘Ｉ钪杏兄鴱V泛的應(yīng)用。利用計算機模擬證明了在參加會議的人數(shù)很多，而分組數(shù)又相對較少的時候，應(yīng)用這種方案非常理想。如果通過適當(dāng)調(diào)整，則這種分派方案又可以應(yīng)用于許多不類型的分組會議的情況。最后，對有些董事在會議開始的最后一刻因故不能參見會議，或有些不在會議計劃名單上的成員要來參加會議的情況，都作了十分詳細的討論，并對可能出項的上

4、述兩種情況給出了簡單易行的調(diào)整方案。更進一步，對這幾種方案的優(yōu)缺點進行了分析。實際中希望綜合運用這幾種分派方案，得到令人滿意的效果。1問題的重述為了討論重大問題，特別是像制定長遠規(guī)劃的問題，召開小組討論會正變得越來越普遍。一般認為，由多人參加的大會很難取得建設(shè)性的成果，甚至討論結(jié)果容易被某一位占支配地位的人控制或操縱。因此，在公司召開董事會議時，應(yīng)首先召集全體董事召開一些討論有關(guān)事務(wù)的小組會議，這些較小規(guī)模的分組會議仍然有被某一位占支配地位的人控制的危險。為降低這種危險，常用的辦法是安排每個小組開幾次會，每次會有不同的人參加。AnTostal公司的會議，參加者為29為公司董事會成員，其中9位是

5、在職董事（即公司的雇員）。會議要開一天，每個小組商務(wù)開三段，下午開四段，每段會議開45分鐘，從上午9:00到下午4:00沒整點開始開會，中午12:00午餐。上午的每段會議都有6個小組討論會，每個小組討論會都由公司的一位資深高級職員來支持討論，這些資深高級職員都不是董事會的成員。因此，每位資深高級職員都要主持三個不同的小組討論會。這些資深高級職員不參加下午的討論會，而且下午的每段會議只有4個不同的小組討論會。公司董事長需要一份由公司董事參加的7段分組會議的每個小組的分配名單。這份搭配名單要盡可能多地把董事均勻搭配。理想的搭配應(yīng)是任意兩位董事同時參加一個小組討論會的次數(shù)相同，一次同時，要使在不同時

6、段的小組會中同在一起開過會的董事總數(shù)達到最小。名單中的搭配還應(yīng)滿足下列兩個準則：（1） 在上午的討論會上，不允許一位董事參加由同一位資深高級職員主持的兩次會議；（2） 每個分組討論會都應(yīng)將在職董事均勻分配到各小組中。給出一份19號在職董事、1029號董事、16號公司資深高級職員的分組搭配名單，說明該名單在多大程度上滿足里前面提出的各種要求和規(guī)則，因為有的董事可能在最后一分鐘宣布不參加會議，也可能不在名單上的董事將出席會議。一次，一個能使秘書在會前一小時接到參會與否的同時情況下，來調(diào)整搭配分組的算法肯定會得到贊賞。如果算法還能用于不同水平的與會者與參加后面會議中的每一類與會者搭配的話，就更理想了

7、。2模型的假設(shè)與符號說明2.1模型的假設(shè)（1）各場會議之間及各個小組之間是相對獨立的；（2）所有的高級職員和董事會成員都嚴格遵守派遣方案；（3）若能滿足每位董事出席會議的次數(shù)都相等，則模型被一位是最理想的；（4）6為資深高級職員之間無差異，同樣9位在職董事之間、20位外部董事之間也無差異。2.2符號的說明O=表示6位資深高級職員（i=1,2，6）的集合；M=表示所有董事會成員(i=1,2，29)的集合；I（9）=表示在職董事會成員(i=1,2，9)的集合；E（20）=M-I（9）表示外部董事成員(i=10,11，29)的集合；G表示在一次分組會議中第n組與會成員的集合；G表示分組會議的第n組經(jīng)

8、第次分派（每次分派一名成員）后的會議成員集合；表示董事會第i位成員與第j位成員分在同一組的次數(shù)；表示兩位董事會成員分在同一組時所賦予的權(quán)重；表示資深高級職員與董事會成員 (j=1,2，29)在此之前是否同組的指標，即當(dāng)屬于同一組時取值為1，否則取值為0；R=表示在中在職董事的數(shù)量；表示理事會兩位內(nèi)部成員在同一個討論組中達到i次的對數(shù)；表示第i組中內(nèi)部董事數(shù)與外部董事數(shù)之比.3.模型的分析該問題需要我們對于安排不同的分組會議給出合理的分派方案，以有效降低會議被某一個人員支配控制的風(fēng)險，從而確保討論的充分性。由上述假設(shè)易知，每位資深高級職員或董事會成員被分派到人一組的可能性事一樣的，同時，他們中的

9、任何讓人都不能根據(jù)其醫(yī)院選擇會議討論組。根據(jù)問題要求，我們總結(jié)出兩個分派原則：（1） 均衡分派原則：盡可能使得各討論組成員人數(shù)相等。（2） 分派比例原則：各會議討論組在職董事和外部董事的比例大致相等。于是，設(shè)想給出下面的兩種分派方案：方案. 如果公司總裁希望使個討論組的人數(shù)盡可能相等，則建議采用這個方案。顯然，這個問題絕對理想的結(jié)果是不存在的，但可以按如下方法使得結(jié)果盡可能達到理想狀態(tài)：每場上午的分組會議共分為6組，一個組由4位董事成員租場，其他5個組每組由5位董事成員組成。其中3個組每組有2位在職董事，而另外3個組每組只有1位在職董事。具體對于每個組成員的分派都是隨機的。方案. 在實際中的很

10、多情況下，不同類型與會者的比例是非常重要的，基于這一點，我們提出方案.由均衡分派原則，每組中在職董事和尾部董事的比例應(yīng)該近似相等，即應(yīng)大致為9/20=0.45,.由所給數(shù)據(jù)和題目要求可知，不存在恰好比例為9/20的分派方案，但可以從以下結(jié)果中挑選最接近的方案.上午： 或者下午：4.模型和建立4.1 模型：第一種分派方案第一步.上午第一場會議的分派方案.首先，隨即地把29位董事會成員大致均勻地分成6組，其中一個組由4位成員組成，其他5個組每組有5位成員.然后，隨即地將集合O中的6位資深高級職員分配到每一個組中，分別記為（i=1,2，6）.從而完成了第一場會議的分派.第二步.上午第二場會議的分派方

11、案.首先，隨機任取一個，將其分到中，即（i=1,2，6），從而使每個組都由一位資深高級職員（i=1,2，6）作為主持.然后，按下面的方法分派董事會成員：（1） 先為每一組分派第一個董事會成員.對于任一個.若=0，則令.否則，隨機選擇另一個，直到并令，i=1,2,，6.這樣，就為每一個組分派了第一位董事會成員.（2） 假設(shè)已為每一個組分派了k-1位董事會成員，即已確定.要分派第k位董事會成員給，即確定= 隨機選擇一個計算的值，根據(jù)或分別考慮. 如果則考慮一下兩種情況：情況1.若即為在職董事會成員，并確定（）,則令集合（a）若<2，則令集合（b）若=2，選擇另外一位董事會成員直到且<2

12、為止，則令集合.情況2.如果即為外部董事會成員，記C=為所有候選的外部董事會成員的集合，對于每個C,計算q()=,在集合C中求出使得q()=的,并且令集合=，.如果=1,則可以選擇另一位董事會成員mM-G,直到b=0,同樣適用上述方法，也能確定集合G.G= G，i=1,2,，6,從而得到第二場會議的分派結(jié)果.第三步.類似上述方法分派上午第三場會議的分組結(jié)果.第四步.下午分組會議的分派方案安排：隨即任意選擇,M,作為下午的第一位成員.重復(fù)上面的第二步和第三步，注意在這里在職董事成員四個組的分配比例為2:2:2:3.這樣,就可以得到下午每場會議的分派方案.4.2模型II：第二種分派方案根據(jù)上面分析

13、,我們采用下面的分派方案將會得到最佳的比例,即有最理想的均衡性.在上午每一場討論會議的六個組中,取在職董事會成員與外部成員的比例分別為(A):1:2,1:2，1:2，2:4，2:5和2:5;或者(B) 1:2,1:2，1:3,2:4,2:4和2:5;在下午的會議四個組中,二者的比例均為2:4,2:4,2:5和3:7.上午會議的分派方案 首先考慮在職董事與外部董事的比例為1:2,1：2,1:2,2:4,2:4和2:5的情況.將6名資深高級職員隨機地分派到六個組中去.按照如下的方法分派各討論組的第一位成員:從9位在職董事成員中隨機選取mI(9),如果b=0,則令G= m；否則，另取I(9)（jj）

14、,并且b=0,則令G= m.將剩余的三位在職董事成員隨機分配到任意三個組中，就可以得到G.用模型I中第二步的方法進行分派，我們給每個組分派兩位外部董事會成員.將剩下的E(20)中的8位成員，依照2:3:3的比例分配到包含兩位在職董事的三個組中去，并保證R=2。按照上面步驟，我們就可以得到上午三場會議的分組方案.對于在職董事與外部董事的比例為1:2,1:2，1:3,2:5，2:4,2:4的情況,上述方法仍適用.只需注意在步驟(4)中,將剩余8位外部董事中的7位依照2:2:3的比例分派到使R=1的組中去即可.下午會議的分派方案 在這里取在職董事會成員與外部董事會成員的比例分別為2:4,2:4,2:

15、5,3:7.(1) 隨機選取4位在職董事會成員,I(9),并令G= m，再選取m, m,m,mI(9)- G,使w()最小，同時令G=m,m,1j,j9,且j j，i=1,2,3,4.最后，將I(9)中最后剩下的一位在職董事會成員分派到能使w()最小得那一組中去.（2）同樣應(yīng)用模型I中的第二步方法，將使R=3或者1的組作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整使恰好為R=2.（3）將剩余6位外部董事會成員用模型I中第二步的方法較均勻地分派到四個討論組中去.5. 模型的求解結(jié)果 利用計算機模擬求解可以得到兩個模型的求解結(jié)果，即分組討論會的分派方案. 方案I.對于權(quán)值w(0)=0,w(1)=1,w(2)=3,w(3)=6,w(

16、4)=40,w(5)=100.具體的分組方案如下表3-1所示. 方案II. w(0)=0,w(1)=1,w(2)=3,w(3)=6,w(4)=40,w(5)=100. (A)上午分組比例1:2,1:2,2;4,2:5,2:5;下午分組比例2:4,2:4,2:5,3:7.具體分組方案如下表3-2所示.表3-1 方案的分組結(jié)果第一場會議分組第二場會議分組第三場會議分組第四場會議分組第五場會議分組第六場會議分組第七場會議分組表32 方案的分組方式（A）的分組結(jié)果第一場會議分組第二場會議分組第三場會議分組第四場會議分組第五場會議分組第六場會議分組第七場會議分組（B）上午分組比例1:2.，1:2,1:3

17、,2:4,2:5,2:5；下午分組比例2:4,2:4,2:5,3:7.具體分組結(jié)果如表3-3所示.表3-3方案的分組方式（B）的分組結(jié)果第一場會議分組第二場會議分組第三場會議分組第四場會議分組第五場會議分組第六場會議分組第七場會議分組6.模型的檢驗與分析方案由計算機模擬的結(jié)果顯示：（=0，1，5）的變化對/2有一定的影響，但對期望E=和方差D=幾乎沒有影響。例如：如果對于權(quán)值=3，則計算結(jié)果為E1.310，D0.445。如果對于權(quán)值則計算結(jié)果為E1.306，D0.442。上面的結(jié)果表明方案的穩(wěn)定性令人滿意。通過大量的計算機模擬可以發(fā)現(xiàn)：都比較接近0，也較小，而，稍大，這也表明按現(xiàn)在題目的要求方

18、案是理想的。而當(dāng)與會者的人數(shù)較多，但分組數(shù)量較小時，該方案就不是十分理想了。方案.通過1000次的計算機仿真，我們發(fā)現(xiàn)的變化對/2幾乎沒有影響。如果對于權(quán)值，則計算結(jié)果為，E1.40，D0.75。如果對于權(quán)值則計算結(jié)果為E1.41，D0.74。這足以說明這個方案是穩(wěn)定的，也是理想的。方案在社會活動中有廣泛的應(yīng)用，適當(dāng)?shù)男薷姆桨钢械呐汕卜绞?，就可以使之適用于各種不同類型的會議分組問題。如果與會者數(shù)目較大而分組數(shù)量較小，該方案較方案理想。7模型的進一步討論如果出現(xiàn)了某些人臨時不能到會，或者事先，沒有預(yù)約的人來參加會議的情況，則可以采用下面的方法來調(diào)整會議的分組。1 一個理事會成員 因故不能出席分組

19、會議方案.若且=0，則從=2）中隨機選取，將其安排到中。否則，即=1，則無需調(diào)整。若且=2，則從中隨機選取，將其安排到中。否則就=無需調(diào)整。方案.若，且，使,則任意選取一個，將其安排到使的組中。或者任取安排到中。若，則可作類似調(diào)整。2 出現(xiàn)了一個事先沒有預(yù)約的成員（用表示）來參加會議方案.若是董事會內(nèi)部成員，則將其安排到中，使得=1。同時，我們將從（ji）中隨機選取，并將其安排到中。 若不是董事會內(nèi)部成員，將其安排到使=3的組中，或者將其安排到使=2的組中。 方案. 若是董事會內(nèi)部成員，將其安排到使內(nèi)部董事會與外部董事會之比最小的組中，否則，將其安排到使內(nèi)部董事會與外部董事會之比最大的組中。 當(dāng)有兩個或更多這種情況時，處理方法依此類推。參考文獻1姜啟源.數(shù)學(xué)模型（第二