第一節(jié)拉普拉斯變換的概念

1、第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 一、一、Laplace 變換的引入變換的引入二、二、Laplace 變換的定義變換的定義三、存在性定理三、存在性定理 四、幾個(gè)常用函數(shù)的四、幾個(gè)常用函數(shù)的 Laplace 變換變換 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 一、一、Laplace 變換的引入變換的引入 1. Fourier 變換的變換的“局限性局限性”？ 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù) 滿足滿足 Dirichlet 條件，且在條件，且在 上絕對(duì)上絕對(duì) )(tf),( 可積時(shí)，便可以進(jìn)行古典意義下的可積時(shí)，便可以進(jìn)行古典意義下的 Fourier 變換。變換。 由于絕對(duì)可積是一個(gè)相當(dāng)強(qiáng)的條件，使得一些簡(jiǎn)單函數(shù)由

2、于絕對(duì)可積是一個(gè)相當(dāng)強(qiáng)的條件，使得一些簡(jiǎn)單函數(shù) ( (如常數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)等等如常數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)等等) )的的 Fourier 變換也受到限制。變換也受到限制。 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 一、一、Laplace 變換的引入變換的引入 1. Fourier 變換的變換的“局限性局限性”？ 廣義廣義 Fourier 變換的引入，擴(kuò)大了古典變換的引入，擴(kuò)大了古典 Fourier 變換的適變換的適 用范圍，使得用范圍，使得 “緩增緩增” 函數(shù)也能進(jìn)行函數(shù)也能進(jìn)行 Fourier 變換，而且變換，而且 將周期函數(shù)的將周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)

3、與級(jí)數(shù)與 Fourier 變換統(tǒng)一起來(lái)。變換統(tǒng)一起來(lái)。 廣義廣義 Fourier 變換對(duì)以指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)的函數(shù)如變換對(duì)以指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)的函數(shù)如 等等 )0(e aat仍然無(wú)能為力；而且在變換式中出現(xiàn)沖激函數(shù)，也使人仍然無(wú)能為力；而且在變換式中出現(xiàn)沖激函數(shù)，也使人 感到不太滿意。感到不太滿意。 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 一、一、Laplace 變換的引入變換的引入 1. Fourier 變換的變換的“局限性局限性”？ 在工程實(shí)際問(wèn)題中，許多以時(shí)間在工程實(shí)際問(wèn)題中，許多以時(shí)間 t 為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù)( ( 比如比如 起始時(shí)刻為零的因果信號(hào)等起始時(shí)刻為零的因果信號(hào)等) )在在 t 0

4、 時(shí)為零，而有些甚至?xí)r為零，而有些甚至 在在 t 0 時(shí)根本沒(méi)有意義。時(shí)根本沒(méi)有意義。 因此在對(duì)這些函數(shù)進(jìn)行因此在對(duì)這些函數(shù)進(jìn)行 Fourier 變換時(shí)，沒(méi)有必要變換時(shí)，沒(méi)有必要( ( 或者或者 不可能不可能) )在整個(gè)實(shí)軸上進(jìn)行。在整個(gè)實(shí)軸上進(jìn)行。 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 基本想法基本想法 使得函數(shù)在使得函數(shù)在 t 0 的部分盡快地衰減下來(lái)。的部分盡快地衰減下來(lái)。 (1) 將函數(shù)將函數(shù) 乘以一個(gè)乘以一個(gè)單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù) ， )(tu)(tf(2) 將函數(shù)再乘上一個(gè)將函數(shù)再乘上一個(gè)衰減指數(shù)函數(shù)衰減指數(shù)函數(shù) ， )0(e t 這樣，就有希望使得函數(shù)這樣，就有希望使得函數(shù)

5、滿足滿足 Fourier ttutf e)()(變換的條件，從而對(duì)它進(jìn)行變換的條件，從而對(duì)它進(jìn)行 Fourier 變換。變換。 一、一、Laplace 變換的引入變換的引入 2. 如何對(duì)如何對(duì) Fourier 變換要進(jìn)行改造？變換要進(jìn)行改造？ 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 ttutftjtd)()(ee 0)(d)(ettftj 0d)(ettfts)()(ettutf 將上式中的將上式中的 記為記為 s， 就得到了就得到了一種一種新的新的變換：變換： j . )(sF記為記為 變量變量 s 的實(shí)部的實(shí)部 足夠大。足夠大。 sRe實(shí)施結(jié)果實(shí)施結(jié)果 一、一、Laplace 變換的引入變

6、換的引入2. 如何對(duì)如何對(duì) Fourier 變換要進(jìn)行改造？變換要進(jìn)行改造？ 注意注意 上述廣義積分存在的關(guān)鍵：上述廣義積分存在的關(guān)鍵： 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 二、二、Laplace 變換的定義變換的定義 s 的某一區(qū)域內(nèi)收斂，的某一區(qū)域內(nèi)收斂， 即即如果對(duì)于如果對(duì)于 則稱則稱 為為 的的 Laplace 變換變換 )(sF)(tf相應(yīng)地，稱相應(yīng)地，稱 為為 的的 Laplace 逆變換逆變換或或像原函數(shù)像原函數(shù)， )(tf)(sF設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 是定義在是定義在 上的實(shí)值函數(shù)，上的實(shí)值函數(shù)， ),0( )(tf定義定義 復(fù)參數(shù)復(fù)參數(shù) , js 0d)()(ettfsFts積分

7、積分 在復(fù)平面在復(fù)平面 記為記為 )(sF,)(tf或或像函數(shù)像函數(shù)， .d)()()(0e ttftfsFts記為記為 )(tf.)(1sF 的的 Laplace 變換就是變換就是 的的 Fourier 變換。變換。 ttutf e)()()(tf注注 Laplace簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 0eedtt sta 0)(e1tsasa)Re(Reas 0e)(dttut s,1as ,1s )0(Re s 0e1dtts 0e1tss,1s )0(Re s 0e1dtt s)0(Re s,1s 0esgndttt s 0e1dtt s1例例 )(tusgnteat要點(diǎn)要

8、點(diǎn) 進(jìn)行積分時(shí)，確定進(jìn)行積分時(shí)，確定 s 的取值范圍，保證積分存在。的取值范圍，保證積分存在。 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 若存在，收斂域若存在，收斂域( (或者存在域或者存在域) )如何？有何特點(diǎn)？如何？有何特點(diǎn)？ 從上述例子可以看出從上述例子可以看出 (1) 即使函數(shù)以指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，其即使函數(shù)以指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，其 Laplace 變換仍然存在；變換仍然存在； (2) 即使函數(shù)不同，但其即使函數(shù)不同，但其 Laplace 變換的結(jié)果可能相同。變換的結(jié)果可能相同。 (2) Laplace 逆變換如何做？是否惟一？逆變換如何做？是否惟一？ (1) 到底哪些函數(shù)存在到底哪些函數(shù)存在 Lapl

9、ace 變換呢？變換呢？問(wèn)題問(wèn)題 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 三、存在性定理三、存在性定理則象函數(shù)則象函數(shù) 在半平面在半平面 上一上一定存在且定存在且解析解析。 )(sFcs Re(1) 在在任何有限區(qū)間上分段連續(xù)；任何有限區(qū)間上分段連續(xù)；(2) 具有具有有限的增長(zhǎng)性，有限的增長(zhǎng)性，即存在常數(shù)即存在常數(shù) c 及及 ，使得使得 ，0 MctMtfe| )(| 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，滿足：滿足：0 t)(tf定理定理 ( (其中，其中，c 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 的的“增長(zhǎng)增長(zhǎng)”指數(shù)指數(shù)) )。 )(tf證明證明 ( (略略) ) 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 兩點(diǎn)說(shuō)明兩點(diǎn)說(shuō)

10、明(1) 像函數(shù)像函數(shù) 的的存在域一般是一個(gè)右半平面存在域一般是一個(gè)右半平面 ,)(sFcs Re即只要復(fù)數(shù)即只要復(fù)數(shù) s 的實(shí)部足夠大就可以了。的實(shí)部足夠大就可以了。 只有在非常必要時(shí)才特別注明。只有在非常必要時(shí)才特別注明。 因此在進(jìn)行因此在進(jìn)行Laplace變換時(shí)，常常略去存在域，變換時(shí)，常常略去存在域， 即函數(shù)即函數(shù) 等價(jià)于等價(jià)于函數(shù)函數(shù) . )()(tutf)(tf(2) 在在 Laplace 變換中的函數(shù)一般均變換中的函數(shù)一般均約定約定在在 t 0 時(shí)為零，時(shí)為零， 比如比如1s.11 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 . 1 0e tts四、幾個(gè)常用函數(shù)的四、幾個(gè)常用函數(shù)的

11、Laplace 變換變換 0d)(ettts )(t 解解 (2) 0(2) )(t ; 1 ;1s (1) 1 )(tu= 含沖激函數(shù)的含沖激函數(shù)的拉氏變換問(wèn)題拉氏變換問(wèn)題第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 0ed1tsmts 0e1tsmts 01dettsmtsm.!1 msm四、幾個(gè)常用函數(shù)的四、幾個(gè)常用函數(shù)的 Laplace 變換變換 0detttsmmt解解 (3) 1 mtsm 2 mt2)1(smm 1msm! (2) )(t ; 1 ;1s 1! msm(1) 1 mt(3) )(tu= ;)1(1 msm( (G G 函數(shù)簡(jiǎn)介函數(shù)簡(jiǎn)介) )第一節(jié)第一節(jié) Laplace變

12、換的概念 )11(21ajsajs .22ass 四、幾個(gè)常用函數(shù)的四、幾個(gè)常用函數(shù)的 Laplace 變換變換)deedee(2100 tttstjatstjacosta解解 (5) e(21taj) etaj (2) )(t (4) tae;1as ; 1 ;1s (5) tacos;22ass 1! msm(1) 1 mt(3) )(tu= ;)1(1 msm第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 (2) )(t (4) tae;1as ; 1 ;1s (5) tacos;22ass 1! msm(1) 1 mt(3) )(tu= ;)1(1 msm.22asa 四、幾個(gè)常用函數(shù)的四、幾

13、個(gè)常用函數(shù)的 Laplace 變換變換(6) tasin)11(21ajsajsj .22asa )deedee(2100 ttjtstjatstjasinta解解 (6) e(21tajj) etaj 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 (2) )(t (4) tae;1as ; 1 ;1s (5) tacos;22ass 1! msm(1) 1 mt(3) )(tu= ;)1(1 msm.22asa 四、幾個(gè)常用函數(shù)的四、幾個(gè)常用函數(shù)的 Laplace 變換變換(6) tasin特點(diǎn)特點(diǎn) 變換的結(jié)果均為變換的結(jié)果均為分式函數(shù)分式函數(shù)。 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 輕松一下第

14、一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 人物介紹人物介紹 拉普拉斯拉普拉斯附：附：法國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家 (17491827)拉普拉斯Laplace，Pierre-Simon 天體力學(xué)的主要奠基人，天體演化學(xué)的創(chuàng)立者之一。天體力學(xué)的主要奠基人，天體演化學(xué)的創(chuàng)立者之一。 分析概率論的創(chuàng)始人，應(yīng)用數(shù)學(xué)的先軀。分析概率論的創(chuàng)始人，應(yīng)用數(shù)學(xué)的先軀。 因研究太陽(yáng)系穩(wěn)定性的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題被譽(yù)為法國(guó)的牛頓因研究太陽(yáng)系穩(wěn)定性的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題被譽(yù)為法國(guó)的牛頓和天體力學(xué)之父。和天體力學(xué)之父。 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 人物介紹人物介紹 拉普拉斯拉普拉斯 附：附： 1749 年年 3 月月 23 日，生于法國(guó)卡爾

15、瓦多斯的博蒙昂諾日。日，生于法國(guó)卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日。 1827 年年 3 月月 5 日，卒于巴黎。日，卒于巴黎。 1795 年任巴黎綜合工科學(xué)校教授。年任巴黎綜合工科學(xué)校教授。 1816 年被選為法蘭西學(xué)院院士，次年任該院院長(zhǎng)。年被選為法蘭西學(xué)院院士，次年任該院院長(zhǎng)。 發(fā)表的天文學(xué)、數(shù)學(xué)和物理學(xué)的論文有發(fā)表的天文學(xué)、數(shù)學(xué)和物理學(xué)的論文有 270 多篇。多篇。 專著合計(jì)有專著合計(jì)有 4000 多頁(yè)。其中最有代表性的專著有：多頁(yè)。其中最有代表性的專著有： 曾任拿破侖的老師，并在拿破侖政府中擔(dān)任過(guò)內(nèi)政部長(zhǎng)。曾任拿破侖的老師，并在拿破侖政府中擔(dān)任過(guò)內(nèi)政部長(zhǎng)。天體力學(xué)天體力學(xué) 、和和宇宙體系論宇宙體

16、系論 概率分析理論概率分析理論 。( (返回返回) )第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 G G 函數(shù)函數(shù) ( gamma函數(shù)函數(shù)) 簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 附：附： 0edtmtG G 函數(shù)函數(shù)定義為定義為 .0,d)(01e mttmmt定義定義 性質(zhì)性質(zhì) ;1)1( . )()1(mmm 00deemttmtt 0d)1(ettmmt 01dettmmt. )(mm 證明證明 ;1d)1(00ee ttt. !)1(mm 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí)，有為正整數(shù)時(shí)，有 ( (返回返回) )第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 關(guān)于含沖激函數(shù)的關(guān)于含沖激函數(shù)的 Laplace 變換問(wèn)題變換問(wèn)題附：附： 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù) 在在 附近有界時(shí)附近有界時(shí)， 0 t)(tf)0(f的取值將不會(huì)影響的取值將不會(huì)影響 其其 Lap