空間曲線曲率撓率和Frenet公式

1、定義： 空間曲線 在 點(diǎn)的曲率為其中 為 點(diǎn)及其鄰近點(diǎn) 間的弧長(zhǎng)， 為曲線在點(diǎn) 和 的切向量的夾角。曲率刻畫了曲線的彎曲程度，刻畫了曲線偏離切線程度。( )Cp1ps0( )limsk ss pp1p0022222|1|lim1lim| |( ) | |,()()( ) | | |ssMMMMMMssssMMMMsMMMMrsMMk srr rr rr rrk srr r ，（s+ s）-（s），22222222,3,3,1dr dtdtrrdt dsdsd rdtdr d trdtdsdt dsdtd trrdsdsdtr rrrdsrrdtkdsrr，（）（）（）,3,rrkr例：例： 空

2、間曲線：r = r(s)為直線的充要條件是曲率k(s)=0.證明 若為直線 r = s a + b，其中a和b都是常向量，并且| a | = 1，則k(s)= ; 反之, 若k(s)=0, 則 于是 r = s a + b. 所以該曲線是直線.| ( )| 0r s 0r | ( )| 0r s 對(duì)于空間曲線，曲線不僅彎曲（曲線偏離切線程度由曲率表示）而且還要扭轉(zhuǎn)（偏離密切平面，否則為平面曲線），所以類似相應(yīng)有刻畫曲線扭轉(zhuǎn)程度的量撓率。（有大小又有方向）我們用副法向量的轉(zhuǎn)動(dòng)速度來(lái)刻畫曲線的扭轉(zhuǎn)程度?，F(xiàn)在設(shè)曲線 上一點(diǎn) 的自然參數(shù)為 ,另一鄰近點(diǎn) 的自然參數(shù)為 ，在 兩點(diǎn)作曲線 的副法向量 和

3、,此兩個(gè)副法向量的夾角是由第一節(jié)命題知扭轉(zhuǎn)程度大小為幾何意義是它的數(shù)值為曲線的副法向量對(duì)于弧長(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)速度( )C1P1,P PsPss( ) s0limss ( )C()ss(|k sk s ）（），由于密切平面把空間分成上下兩部分，對(duì)扭轉(zhuǎn)程度要考慮付法向量向上還是向下即有方向，即有下面的定義rsrk（ ）下面考慮扭轉(zhuǎn)方向,因 所以定義：曲線 在 點(diǎn)的撓率為撓率的絕對(duì)值是曲線的副法向量（或密切平面）對(duì)于弧長(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)速度。 ,( ) s當(dāng) 和 異向，當(dāng) 和 同向。( )CP( )( )( )( )k sk sss 由定義(sk sk ss （） +）則有基本向量導(dǎo)向量與基本向量的關(guān)系，即微分幾何的

4、的重要公式這組公式是空間曲線論的基本公式。它的特點(diǎn)是基本向量 關(guān)于弧長(zhǎng) 的微商可以用 的線性組合來(lái)表示。系數(shù)組成反稱的方陣， ，s0( )0( )0( )0( )0k sk sss， ，撓率的計(jì)算公式22( ) ,( )()( ,|,() )( ,)( , , ,)ssrrrr rr rrrrrrrr r rr ）=(2( , , ,)( )r r rsr已給出 類曲線 一般參數(shù)曲率的表示式一般參數(shù)表示的撓率計(jì)算公式（與曲率求法類似）3C( )rr t,3,rrkr, 2（r ,r ,r ）(rr )注：曲率和撓率是幾何不變量，即在參數(shù)變換下不變（易證）命題命題 曲線為平面曲線充要條件是 .證

5、明 設(shè)的方程為r = r(s). 在某平面 ( 為上的一個(gè)定點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量, n為平面的單位法向量). 對(duì)上式兩邊求導(dǎo),得 . 從而 . 若k = 0, 則 . 于是反過(guò)來(lái) 0s（ ）0r0()0rr n0n0s（ ）000,0knn ， n=0，又000,0,()0( )( ( )0c rr srr sr所以曲線為平面曲線0r 0k n若命題： 空間曲線 為平面曲線的充要條件是 :( )rr t,( ,)0r rr證 由上例曲線為平面曲線充要條件是0s（ ）2( , , ,)( )r r rsr等價(jià)于0s（ ）,( ,)0r rr而所以所以命題成立。空間曲線 在一點(diǎn)的密切圓（曲率圓）是過(guò)曲線 上一點(diǎn) 的主法線的正側(cè)取線段使 的長(zhǎng)為 。 以 為圓心，以 為半徑在密切平面上確定一個(gè)圓，這個(gè)圓稱為曲線 在 點(diǎn)的密切圓（曲率圓），曲率圓的中心稱為曲率中心，曲率圓的半徑稱為曲率半徑。( )P s( )C( )C1kPCC( )CPC1k( )P s曲率中心軌跡設(shè)對(duì)應(yīng)Y，則有1( )Yr tk容易證明C在P點(diǎn)與曲率圓相切，且在P點(diǎn)的曲率相同例例1 求圓柱螺線r=a cos t, a sin t, bt(a0, b0均為常數(shù))的曲率、撓率、曲率中心和曲率圓. 解 =-a sin t, a cos t, b， =-a cos t, -a sin t, 0， =a sin t, -