《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》(1)

1、一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì)一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì)三、例題講解三、例題講解二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差四、小結(jié)四、小結(jié)第二節(jié)方差第二節(jié)方差1. 概念的引入概念的引入 方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量取值分散程方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量取值分散程度的量度的量.實(shí)例實(shí)例 有兩批燈泡有兩批燈泡,其平均壽命都是其平均壽命都是 E(X)=1000小時(shí)小時(shí). Ox Ox 1000 1000一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì)一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì) ).(,)(.)()Var()(, )Var()(,)(,)(,222XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX記為記為為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差為

2、標(biāo)準(zhǔn)差或均方差稱稱即即或或記為記為的方差的方差為為則稱則稱存在存在若若是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)設(shè) 2. 方差的定義方差的定義方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量 X 取值分取值分散程度的量散程度的量. 如果如果 D(X) 值大值大, 表示表示 X 取值分散取值分散程度大程度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果 D(X) 值小值小, 則則表示表示X 的取值比較集中的取值比較集中, 以以 E(X) 作為隨機(jī)變量作為隨機(jī)變量的代表性好的代表性好.3. 方差的意義方差的意義離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差 ,)()(12kkkpXExXD 連續(xù)型隨機(jī)變

3、量的方差連續(xù)型隨機(jī)變量的方差,d)()()(2xxfXExXD 4. 隨機(jī)變量方差的計(jì)算隨機(jī)變量方差的計(jì)算 (1) 利用定義計(jì)算利用定義計(jì)算 .)(的概率密度的概率密度為為其中其中Xxf., 2 , 1,的分布律的分布律是是其中其中XkpxXPkk .)()()(22XEXEXD 證明證明)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE (2) 利用公式計(jì)算利用公式計(jì)算).()(22XEXE 證明證明22)()()(CECECD 5. 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)(1) 設(shè)設(shè) C 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有. 0)( CD22CC . 0

4、 (2) 設(shè)設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量, C 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有).()(2XDCCXD 證明證明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC )(2CXECXE ).()()(YDXDYXD (3) 設(shè)設(shè) X, Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, D(X), D(Y) 存在存在, 則則證明證明)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE ).()(YDXD 推廣推廣).()()()(2121nnXDXDXDXXXD 則則有有相相互互獨(dú)獨(dú)立立若若,21nXXX即即取取常常數(shù)數(shù)以以概概率率的的充充要要條條件件是是,10)()

5、4(CXXD . 1 CXP1. 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 qpXE 01)(Xp01pp 1已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 X 的分布律為的分布律為則有則有, p 22)()()(XEXEXD 222)1(01ppp .pq ppq二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差2. 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkXPknk . 10 p則有則有)(0kXPkXEnk knknkppknk )1(0 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 n, p 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布,其分布律為其分布律為knknkppknkkn )1()!( !0)1()1(11)1()!1()1

6、()!1()!1( knknkppknknnp1)1( nppnp.np )1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnpnp)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE npppnkkkknknk )1()1(0npppknknkkknknk )1()!( !)1(0nppppnnn 22)1()1(.)(22nppnn 22)()()(XEXEXD 222)()(npnppnn ).1(pnp npppkknnpnnknknk )2()2(222)1()!2()!()!2()1()1(pnp 3. 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,e! kk

7、kXPk則有則有 0e!)(kkkkXE 11)!1(ekkk ee . 且且分分布布律律為為設(shè)設(shè)),( X )1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0e!)1(kkkkk 222)!2(ekkk ee2.2 所以所以22)()()(XEXEXD 22 . . 都等于參數(shù)都等于參數(shù)泊松分布的期望和方差泊松分布的期望和方差 4. 均勻分布均勻分布則有則有xxxfXEd)()( baxxabd1).(21ba ., 0,1)(其其他他bxaabxf其其概概率率密密度度為為設(shè)設(shè), ),(baUX).(21ba 結(jié)論結(jié)論 均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn)均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).22)

8、()()(XEXEXD 222d1 baxabxba.12)(2ab 12)(2ab 5. 指數(shù)分布指數(shù)分布 . 0. 0, 0, 0,e1)(, xxxfXx其其中中其其概概率率密密度度為為服服從從指指數(shù)數(shù)分分布布設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量則有則有xxxfXEd)()( xxxde10 . xxxxdee00 22)()()(XEXEXD 202de1xxx 222 .2 .2 和和分別為分別為指數(shù)分布的期望和方差指數(shù)分布的期望和方差26. 正態(tài)分布正態(tài)分布其概率密度為其概率密度為設(shè)設(shè)),(2NX則有則有xxxfXEd)()( .de21222)(xxx tx 令令, tx ., 0,e21)(2

9、22)( xxfx. tttttde2de212222 xxXExde21)(222)( 所所以以tttde )(2122 .de21)(222)(2xxx xxfxXDd)()()(2 得得令令, tx ttXDtde2)(2222 ttttdee2222222202 .2 .2 和和分別為兩個(gè)參數(shù)分別為兩個(gè)參數(shù)正態(tài)分布的期望和方差正態(tài)分布的期望和方差210 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 2分布分布參數(shù)參數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望方差方差兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布泊松分布泊松分布均勻分布均勻分布指數(shù)分布指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)分布0,

10、2).(., 0, 10,1, 01,1)(XDxxxxxfX求求其其他他具具有有概概率率密密度度設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 解解 1001d)1(d)1()(xxxxxxXE, 0 三、例題講解三、例題講解例例1 1020122d)1(d)1()(xxxxxxXE,61 于是于是22)()()(XEXEXD 2061 .61 .,.,),04. 0,50.22(),03. 0 ,40.22()cm(22的的概概率率求求活活塞塞能能裝裝入入氣氣缸缸任任取取一一只只氣氣缸缸任任取取一一只只活活塞塞相相互互獨(dú)獨(dú)立立氣氣缸缸的的直直徑徑計(jì)計(jì)以以設(shè)設(shè)活活塞塞的的直直徑徑Y(jié)XNYNX解解),04. 0,50.

11、22(),03. 0 ,40.22(22NYNX因因?yàn)闉?,0025. 0 ,10. 0( NYX所所以以0 YXPYXP故故有有 0025. 0)10. 0(00025. 0)10. 0()(YXP)2( .9772. 0 例例2).(,., 020,cos)(2YDXYxxxfX的方差的方差求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量其他其他的概率密度為的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 解解xxfxXEd)()(22 , 24dcos2022 xxxxxfxXEd)()(44 204dcosxxx例例3,)()()(22XEXEXD 因因?yàn)闉?2242424316 .2202 ,2431624 224

12、2)()()(XEXEXD 所所以以解解)5()2()52(33DXDXD )(43XD )()( 4236XEXE 1213121121031)2()(66666 XE,6493 ).52(,121121213131023 XDX求求設(shè)設(shè)例例423333231213121121031)2()( XE)52(3 XD故故,91 )()( 4236XEXE .92954 契比雪夫不等式契比雪夫不等式證明證明.,)(,)(222成立成立不等式不等式則對(duì)于任意正數(shù)則對(duì)于任意正數(shù)方差方差具有數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量定理定理XPXDXEX 取連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來證明取連續(xù)型隨機(jī)變量的情

13、況來證明.則則有有的的概概率率密密度度為為設(shè)設(shè)),(xfX 切比雪夫不等式切比雪夫不等式契比雪夫契比雪夫.22XP xxfxd)()(122.122 xxfxxd)(22 22XP .122XP 得得XP xxxfd)(例5. 已知離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的泊松分布，即 ，求隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望. X -1 0 1 2 P 0.3 a 0.2 0.1 (1) 求常數(shù)a；(2)求X的分布函數(shù)F(X)；(3)計(jì)算 ； (4) 求 的分布律；(5)計(jì)算E（X），D（X）。, 2 , 1 , 0,!22kkekXPk23 XZ)23(XP26XY四、小結(jié)四、小結(jié)1. 方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量 X 取值分散取值分散程度的量程度的量. 如果如果 D(X) 值大值大, 表示表示 X 取值分散程取值分散程度大度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果 D(X) 值小值小, 則則表示表示 X 的取值比較集中的取值比較集中, 以以 E(X) 作為隨機(jī)變作為隨機(jī)變量的代表性好量的代表性好.,)()()(22XEXEXD 2. 方差的計(jì)算公式方差的計(jì)算公式,)()(12kkkp