平行線的性質(zhì)與判定典型例題

1、1.如圖，CD 平分/ ECF，/ B=Z ACB，求證：AB / CE.證明： CD平分/ ECF,/ ECD = Z DCF,/ ACB =Z DCF,/ ECD = Z ACB,又/ B=Z ACB,/ B=Z ECD, AB / CE.2.如圖，已知AC丄AE , BD丄BF, Z 1 = 15°, / 2= 15°, AE與BF平行嗎？為什么?EF解：AE / BF.理由如下：因?yàn)锳C丄AE , BD丄BF （已知），所以Z EAC=Z FBD= 90° （垂直的定義）.因?yàn)閆 1=Z 2 （已知），所以Z EAC+ Z 1=Z FBD+ Z 2 （等式

2、的性質(zhì)），即Z EAB = Z FBG,所以AE / BF （同位角相等，兩直線平行）.3.如圖，已知Z ABC=Z ACB, BD平分Z ABC, CE平分Z ACB, F是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且Z DBC=Z F,求證：EC / DF .證明：/ ABC=Z ACB, BD 平分/ ABC, CE 平分/ ACB,/DBC =丄/ABC,/ ECB=-l2 2/ ACB,/ DBC = / ECB./ DBC = / F, / ECB=/ F, EC/ DF.4. 如圖，/ ABC=/ ADC , BF, DE 分別是/ ABC, / ADC 的角平分線，/ 1 = / 2,求證：DC /

3、AB.證明： DE、BF分別是/ ABC, / ADC的角平分線, ./ 3 =丄/ ADC，/ 2 =二/ABC,2 2/ ABC =/ ADC,/ 1 = / 2, / 1 = / 3, DC / AB.5. 如圖所示，/ B= 25°,/ D = 42°,/ BCD= 67°,試判斷 AB和ED的位置關(guān)系,理由：如圖，過(guò) C作CF/ AB ,E/ B= 25°,/ BCF=Z B= 25°,/ DCF =Z BCD-/ BCF= 42°,又/ D= 42°,/ DCF =/ D , CF/ ED, AB / ED .6

4、. 如圖，DE平分/ ADC, CE平分/ BCD，且/ 1+ / 2= 90° .試判斷 AD與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.解：BC / AD .理由如下：/ DE 平分/ ADC, CE 平分/ BCD,/ ADC = 2/ 1,/ BCD = 2/ 2,/ 1+ / 2= 90°,/ ADC+ / BCD= 2 (/ 1+ / 2)= 180 AD / BC.AC丄 BC, EF丄 AB , / 1 = / 2.求證:EF / CD.證明： DG 丄 BC, AC 丄 BC, / DGB = / ACB= 90° (垂直定義)， DG / AC （同位角相等

5、，兩直線平行），/ 2=Z ACD （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），/ 1 = 7 2,-Z 1 = 7 DCA, EF / CD （同位角相等，兩直線平行）.&將一副三角板中的兩塊直角三角板的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起，友情提示:7 A= 60°，7 D = 30°，7 E=7 B= 45°.（1） 若7 DCB = 45°，則7 ACB的度數(shù)為135°.若7 ACB= 140°,則7 DCE的度數(shù)為 40°.（2）由（1）猜想7 ACB與7 DCE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.（3）當(dāng)7 ACEv 90°且點(diǎn)

6、E在直線AC的上方時(shí)，當(dāng)這兩塊三角尺有一組邊互相平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出7 ACE角度所有可能的值（不必說(shuō)明理由）.解：(1 ：/ DCE= 45°,7 ACD = 90° 7 ACE = 45°/7 BCE= 90° 7 ACB = 90° +45 ° = 135°故答案為：135°T7 ACB= 140°,7 ECB= 90° 7 ACE = 140°- 90°= 50° 7 DCE = 90°-7 ACE = 90°- 50°= 40&

7、#176;故答案為：40°(2)猜想：7 ACB+ 7 DCE = 180°理由如下：ACE= 90°-7 DCE又v7 ACB=7 ACE+90° 7 ACB = 90°-7 DCE+90 ° = 180°-7 DCE即 7 ACB+ 7 DCE= 180°(3) 30°、45理由：當(dāng) CB/ AD 時(shí)，/ ACE= 30°當(dāng) EB/ AC 時(shí)，/ ACE = 45°.E, B0丄AO, / CFB=ZEDO，證明：CF/ DO .BO 丄 AO,/ AED =/ AOB = 90&

8、#176;,DE / BO （同位角相等，兩條直線平行）， / EDO =/ BOD （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），/ EDO =/ CFB,/ BOD = / CFB， CF/ DO （同位角相等，兩條直線平行）.10.如圖，已知/ A=/ C，/ E=/ F，試說(shuō)明：AD / BC.證明:/ E=/ F， AE / CF， /A =/ ADF，/ A =Z C,/ ADF =Z C, AD / BC./ BEF+ / DFE = 180°./ AEF = Z DFE AB / CD,/ BEF+ / DFE = 180°.12.如圖，AB / CD,/ B= 70

9、6;,/ BCE= 20°,/ CEF= 130°,請(qǐng)判斷 AB 與 EF 的 位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.ABCD解：AB / EF,理由如下：/ AB / CD, /B=/ BCD,（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）/ B= 70°,/ BCD = 70°,（等量代換）/ BCE= 20°, / ECD = 50°,/ CEF= 130°, / E+ / DCE= 180°, EF / CD,（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行） AB / EF.（平行于同一直線的兩條直線互相平行）CD/ ACF= 20°,/ EFC= 1

10、40°.求證:EF II AD.證明： AD II BC,/ DAC+ / ACB= 180°,/ DAC = 120°,/ ACB = 60°,又/ ACF= 20°,/ BCF=/ ACB -/ ACF= 40又/ EFC= 140°,/ BCF+ / EFC= 180°, EF II BC,/ AD II BC,14完成下列推理過(guò)程：已知：如圖，/ 1+ / 2= 180°,/ 3 =/ B求證：/ EDG+ / DGC = 180°證明：/ 1 + / 2 = 180°（已知）/ 1+

11、/ DFE = 180 °（ 鄰補(bǔ)角定義） / 2= / DFE （ 同角的補(bǔ)角相等） EF II AB （ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）3= / ADE （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又/ 3=Z B （已知）/ B=Z ADE （ 等量代換 ）DE II BC （ 同位角相等，兩直線平行）-Z EDG + / DGC= 180°（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）15.已知：如圖，BE/ GF，/ 1 = Z 3,Z DBC= 70°，求/ EDB 的大小.閱讀下面的解答過(guò)程，并填空（理由或數(shù)學(xué)式）解： BE/ GF （已知）-Z 2=Z 3 （ 兩直線平行同位角相等）/

12、1 = 7 3 （ 已知 ）Z1=（72 ）（ 等量代換 ） DE /（ BC ）（ 內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行） 7 EDB+ 7 DBC= 180°（ 兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)） 7 EDB = 180°-7 DBC （等式性質(zhì)）7 DBC =（ 70°）（已知） 7 EDB = 180°- 70°= 110°16如圖，已知：E、F分別是AB和CD上的點(diǎn)，DE、AF分別交BC于點(diǎn)G、H , AB/ CD, 7 A =7 D，試說(shuō)明：(1) AF/ ED;(2) 7 BED = 7 A;(3) 7 1 = 7 2（1）證明： AB/ CD,

13、/ A =Z AFC,/A =Z D,/ AFC =Z D , AF / ED;（2）證明：T AF / ED ,/ BED = Z A;（3）證明：T AF / ED ,1 = Z CGD ,又 t/ 2=Z CGD ,/ 1 = / 2.17閱讀理解，補(bǔ)全證明過(guò)程及推理依據(jù).已知：如圖，點(diǎn) E在直線DF上，點(diǎn)B在直線AC上，/ 1 = / 2，/ 3 =/ 4.求證/ A=/ F證明：T/ 1 = / 2 （已知）/ 2=/ DGF （ 對(duì)頂角相等 ） / 1 = / DGF （等量代換）- BD / CE （ 同位角相等，兩直線平行）/ 3+ / C = 180。（）又T/ 3=/ 4

14、（已知） / 4+ / C= 180°（等量代換） AC / DF （ 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）/ A =/ F （ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），且 CD / EF, AC丄AE.18.如圖，/ a和的度數(shù)滿足方程組 卩皆235kZP -ZCL-7O0(1)求/a和的度數(shù).(2)求/ C的度數(shù).rZa=55QIZP =125°(2)v/a+ /3=55° +125 ° = 180 AB / CD,/ C+ / CAB= 180°,/ AC丄 AE,/ CAE = 90°, / C= 180° 90° 55°

15、;= 35°.19.如圖，直線 a/ b,/ 1= 45°,/ 2= 30°,求/ P 的度數(shù).解： -過(guò)P作PM /直線a,直線 a/ b,直線 a/ b/ PM,/ 1 = 45°,/ 2= 30°,/EPM = / 2 = 30°,/ FPM=/ 1= 45/ EPF=Z EPM+ / FPM= 30° +45 °= 75解： AB/ CD，/ A = 60°,/ C=Z E,求/ E./ DOE =Z A= 60°,又/ C=Z E,Z DOE = Z C+ / E,=DOE = 30&

16、#176;/ B=Z 3,Z BAC與/ DCA相等嗎？為什么?理由：/ CFE=Z 2，/ 2+ / 1= 180°,/ CFE+ / 1= 180°,DE / BC,/ AED =Z B,/ B=Z 3,/ 3=Z AEF, AB / CD,BAC =/ DCA.22. 如圖，已知EF± BC, / 1 = Z C, / 2+ / 3 = 180°.試說(shuō)明直線 AD與BC垂直.（請(qǐng)?jiān)谙旅娴慕獯疬^(guò)程的空格內(nèi)填空或在括號(hào)內(nèi)填寫理由）理由：/ 1 = Z C,（已知） GD / AC ,（ 同位角相等，兩直線平行） Z 2= / DAC .（ 兩直線平行，

17、內(nèi)錯(cuò)角相等）又/ 2+ / 3= 180°,（已知） / 3+/ DAC = 180°.（等量代換） AD / EF ,（ 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）/ ADC = Z EFC.（ 兩直線平行，同位角相等） EF 丄 BC,（已知）/ EFC = 90°,二/ ADC = 90°,23. 如圖 1, BC丄 AF 于點(diǎn) C,Z A+ / 1 = 90°（1）求證：AB / DE ;（2）如圖2,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段 AF運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F停止，連接PB, PE.則/ABP,/ DEP,/ BPE三個(gè)角之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)A, D ,

18、 C重合的情況）？并說(shuō)明理由.BA D C FSi（備用團(tuán)解：（1）如圖1,v BC丄AF于點(diǎn)C, / A+ / B= 90°, 又/ A+ / 1 = 90°, /B=/ 1, AB / DE .（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在A, D之間時(shí)，過(guò)P作PG/ AB,A D C F 圖2/ AB / DE , PG / DE ,/ ABP =Z GPB,/ DEP = Z GPE,/ BPE=Z BPG+ / EPG=Z ABP+ / DEP;如圖所示，當(dāng)點(diǎn) P在C, D之間時(shí)，過(guò)P作PG/ AB,AA DP C F （備用圖）/ AB / DE , PG / DE ,/ ABP =Z

19、 GPB,/ DEP = Z GPE,/ BPE=Z BPG-Z EPG=Z ABP- / DEP;如圖所示，當(dāng)點(diǎn) P在C, F之間時(shí)，過(guò)P作PG / AB,A D C P F（備用廚/ AB / DE , PG / DE ,/ ABP =/ GPB,/ DEP = / GPE,/ BPE=/ EPG- / BPG=/ DEP- / ABP.24. 已知：如圖，F(xiàn)E / OC, AC和BD相交于點(diǎn) O, E是CD上一點(diǎn)，F(xiàn)是OD上一點(diǎn),(1)求證：AB/ DC;(2)若/ B= 30°,/ 1= 65°，求/ OFE 的度數(shù).(1) 證明：T FE/ OC,/ 1 = /

20、C,/ 1 = / A,./ A =/ C, AB / DC;(2) 解：T AB / DC, / D = / B,t/ B= 30° / D = 30 °,t/ OFE是厶DEF的外角，/ OFE = / D + / 1,t/ 1 = 65°, / OFE = 30° +65 ° = 95°.25. (2018秋？牡丹區(qū)期末)如圖， AB / DG , / 1+ / 2= 180°,(1) 求證：AD / EF;(2) 若DG是/ ADC的平分線，/ 2= 150°,求/ B的度數(shù).證明：(1)t AB / DG

21、, / BAD =/ 1,t/ 1+ / 2= 180°,/ 2+ / BAD = 180°, AD / EF;(2)vZ 1+ / 2= 180°,/ 2= 150°,/ 1 = 30°,/ DG是/ ADC的平分線， / GDC = / 1 = 30°,/ AB / DG ,B=/ GDC = 30°.26.如圖，AD丄BC于點(diǎn)D , EG丄BC于點(diǎn)G,/ E=/ 3.請(qǐng)問(wèn)：AD平分/ BAC嗎?若平分，請(qǐng)說(shuō)明理由.平分.證明： AD丄BC于D , EG丄BC于G,（已知） / ADC = / EGC= 90°,（垂直的定義） AD / EG ,（同位角