連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性課件

1、第九節(jié)第九節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量.,),(,),()(0000的的增增量量稱稱為為自自變變量量在在點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相應(yīng)應(yīng)于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy xy00 xxx 0)(xfy x y xy00 xxx 0 x y )(xfy 2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx就就是是 ).()(00 xfxfy就是就是 .)(0)()

2、(lim , 0lim )()(,)( 1 000 000000連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)那末就稱那末就稱或或即即也趨于零，也趨于零，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量零時(shí)零時(shí)趨于趨于如果當(dāng)自變量的增量如果當(dāng)自變量的增量有定義有定義的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定義定義xxfyxfxxfyxfxxfyxxxxxfxxxx .)(),()(lim ),( )( ,)( 2 00 00000連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)那末就稱那末就稱即即處的函數(shù)值處的函數(shù)值在，且等于它在點(diǎn)在，且等于它在點(diǎn)時(shí)的極限存時(shí)的極限存當(dāng)當(dāng)如果函數(shù)如果函數(shù)有定義有定義的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定義定義xxfyxfxfxf

3、xxxxfxxfxx :定定義義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng).0, 0, 0, 0,1sin)( 1 處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù)例例 xxxxxxf證明證明, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()( 0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf .)()( 00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()

4、0(,),)( 0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf .0, 0, 2, 0, 2)( 2 連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù)例例 xxxxxxf解解 )(lim0 xfx2 ),0(f )(lim0 xfx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf)2(lim0 xx)2(lim0 xx定理4.4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù), ,叫做在該區(qū)叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)間上的連續(xù)函數(shù), ,或者說函數(shù)在該區(qū)間

5、上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). .,)(,),( 上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點(diǎn)在右端點(diǎn)處右連續(xù)處右連續(xù)端點(diǎn)端點(diǎn)并且在左并且在左內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線. ),(cos內(nèi)內(nèi)是是連連續(xù)續(xù)的的在在例例如如， xy.),(sin 3內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明例例 xy證明證明),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)任意的對(duì)任意的 ,si

6、n 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).),(sin都都是是連連續(xù)續(xù)的的對(duì)對(duì)任任意意函函數(shù)數(shù)即即 xxy二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn):)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個(gè)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點(diǎn)或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)為為并稱點(diǎn)并稱點(diǎn)或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個(gè)不滿足要有一個(gè)不滿足如果上述三個(gè)條件中只如果上述三個(gè)條件中只xfxxxf1.跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),0

7、()0(, )( 0000的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxfxfxxf .0, 0,1, 0,)( 4 連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù)例例 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) xoxy2.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)義則稱點(diǎn)義則稱點(diǎn)處無定處無定在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx .1 , 1,11, 10

8、, 1,2 )( 5 處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù)例例 xxxxxxxfoxy12xy 1xy2 1解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為為函函數(shù)數(shù)的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).如例如例5中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn). .特點(diǎn)特點(diǎn).0處處的的左左、右右極

9、極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) x121oyx3.3.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).)(,)(00的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)在在右右極極限限至至少少有有一一個(gè)個(gè)不不存存處處的的左左、在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxf.0, 0, 0,1)( 6處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù)例例 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f . 0為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) x . 斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為無窮間這種情況稱為無窮間.01sin)( 7處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù)例例 xxxf解解,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為的振蕩間這種情況稱為的振蕩間注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn)不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).0, 0, 0,cos)(, 8 處連續(xù)處連續(xù)