探討二項(xiàng)式定理教學(xué)案例

1、探討二項(xiàng)式定理的教學(xué)案例周靖工作單位：九十六中學(xué)探討二項(xiàng)式定理的教學(xué)案例二項(xiàng)式定理是全日制一般高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)第二冊(cè)第十章第四節(jié)的一個(gè)重要內(nèi)容。二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)是該節(jié)的第一課時(shí)，其傳統(tǒng)教法比較呆板、單調(diào)，講義上先給出一個(gè)（”+）4用組合知識(shí)來(lái)求展開式系數(shù)的例子，然后推行到一樣形式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，繁瑣的推導(dǎo)進(jìn)程必然讓學(xué)生感到被動(dòng)，其結(jié)果認(rèn)知水平較低，并非真正意義上的主動(dòng)構(gòu)建。那如何才能使學(xué)生取得主動(dòng)呢？針對(duì)以上問題，我在教學(xué)中作了如下探討。一、探討進(jìn)程教師：4個(gè)容器中有紅、白小球各1個(gè)，每次從4個(gè)容器中掏出1個(gè)球，有什么樣的取法？各類取法有多少種？學(xué)生：取法及取法種數(shù)有：都不取白球（全取紅球）

2、：（二C：）紅紅紅紅；取1個(gè)白球（1白3紅）：C：（二右）白紅紅紅；取2個(gè)白球（2白2紅）：仁）白白紅紅；取3個(gè)白球（3白1紅）：（二C：）白白白紅；取4個(gè)白球（不取紅球）：C：）白白白白。教師：取法種數(shù)再次驗(yàn)證了組合數(shù)的什么性質(zhì)？學(xué)生：c；（=cl）教師：利用多項(xiàng)式的乘法法那么，寫出（4+4，（”+»4展開后未歸并同類項(xiàng)前的式子。學(xué)生:（專門快寫出（。+4，（+）3的展開式，關(guān)于（+4,因運(yùn)算量較大且容易重復(fù)與遺漏項(xiàng)數(shù)，學(xué)生花了較多時(shí)刻）。）（實(shí)驗(yàn)終止后，好多學(xué)生長(zhǎng)長(zhǎng)地松了一口氣，感覺運(yùn)算量專門大，有些學(xué)生開始抱怨教師設(shè)計(jì)這么無(wú)聊的題目，大部份學(xué)生產(chǎn)生了尋求簡(jiǎn)便方式的求知欲望，有些

3、學(xué)生還開始了嘗試。這時(shí)教師拋出幾個(gè)問題，要求學(xué)生先獨(dú)立試探，然后分組合作討論。）問題1：（a+。）2展開后的aa+ab+ba+bb中的每一項(xiàng)的兩個(gè)因子別離來(lái)自哪里？（別離來(lái)自第一、二兩個(gè)括號(hào)一次因式）問題2：換句話說，展開式中的每一項(xiàng)都是如何組成的？（別離從第1個(gè)（3+8）與第2個(gè)（K8）中掏出一個(gè)字母相乘組成）問題3：展開式中各項(xiàng)的次數(shù)什么緣故都是2?（因每一項(xiàng)都從兩個(gè)因式中各取一個(gè)字母，共兩個(gè)字母相乘所得）問題4：展開式未歸并前共有幾項(xiàng)？（4項(xiàng)）（關(guān)于（+廠與（”+/»4一樣設(shè)計(jì)以上4個(gè)問題。）（學(xué)生分組討論后，專門快解決教師設(shè)計(jì)的幾個(gè)問題。）教師：有無(wú)什么方法會(huì)使展開式各項(xiàng)不重

4、復(fù)或遺漏？學(xué)生（學(xué)生因有上面的基礎(chǔ)，有學(xué)生專門快回答）：用樹形圖。教幼：專門好！如此就可不能重復(fù)與遺漏.數(shù)數(shù)看是不是有16項(xiàng)?寫出歸并后的結(jié)果。學(xué)生：u4+b+6crb2+4c/Z?3+bA很多學(xué)生發(fā)覺：那個(gè)乘法展開與紅白小球的取法是類似的。）教師:哪位同窗能把它說明得更明確點(diǎn)？學(xué)生（主動(dòng)站起）：如，/即在4個(gè)（K6）的因式中掏出4個(gè)金有仁個(gè)/；“力即在4個(gè)（a+6）的因式中掏出3個(gè)8自然留下1個(gè)6,共有個(gè)a3b教師專門好！咱們同窗通過自己的發(fā)覺，尋求出了（"4展開式各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，那可否從6的個(gè)數(shù)來(lái)講明各項(xiàng)的系數(shù)呢？學(xué)生（全部）：能！教師：哪位同窗來(lái)試一下。學(xué)生:在4個(gè)因式掏出。個(gè)

5、6,自然留下4個(gè)加有個(gè)”。；掏出1個(gè)b,自然留下3個(gè)a,有C：個(gè)加；掏出2個(gè)力，自然留下2個(gè)外有個(gè)a2b2;由組合數(shù)的性質(zhì)知：C：=C：,=C：,與取a的方式是一致的。教師太棒了，下面同窗來(lái)討論的展開式。（由于學(xué)生通過學(xué)生自己的實(shí)驗(yàn)、發(fā)覺，己主動(dòng)構(gòu)建起了展開式系數(shù)的特點(diǎn)，歸納戶的展開式，十分容易，好多男生就不肯動(dòng)手，滿臉自信地看著教師，教師叫一名未動(dòng)筆的同窗回答，該同窗專門快給出正確答案.）教師：下面同窗來(lái)歸納（+"）”的展開式。（解決那個(gè)問題，學(xué)生就很輕松了。到那個(gè)地址，學(xué)生也明白了教師什么緣故課前設(shè)計(jì)這么“無(wú)聊”題目的用意了，大部份學(xué)生很佩服教師的設(shè)計(jì)，同時(shí)，也為自己的探討結(jié)果快

6、樂與自豪?，F(xiàn)在離下課只有5分時(shí)刻了。）教說:觀看二項(xiàng)式的展開式，歸納出各項(xiàng)次數(shù)與二項(xiàng)式指數(shù)的特點(diǎn)，歸納出各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)。學(xué)生（學(xué)生專門快完成，正確率較高）教師：展開（+少，如不進(jìn)行歸并有幾項(xiàng)，各項(xiàng)系數(shù)為多少？學(xué)生（齊）：2n項(xiàng)，系數(shù)均為1。教師:歸并后的各項(xiàng)系數(shù)別離為多少?學(xué)生:C>C；,3,學(xué)生：（茅塞頓開，又有新發(fā)覺）：CrC'+、,=2n（那個(gè)公式在組合數(shù)中曾用不完全歸納得出過，證明要學(xué)生歸去試探，學(xué)生一直未解決，故有茅塞頓開的感覺）。這時(shí)，下課的鈴聲響了。通過本次教學(xué)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的合作意識(shí)與參與進(jìn)程，學(xué)生始終處于主體地位，教師僅作一些點(diǎn)撥，使他們學(xué)會(huì)一點(diǎn)科學(xué)研究的方式，體驗(yàn)

7、一下科研攻關(guān)的樂趣，受到一些科學(xué)精神的熏陶有較好的教學(xué)成效。二、教學(xué)反思長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)的定理、公式等結(jié)論總是以邏輯推理的形態(tài)顯現(xiàn),因此致使了人們看不到它被發(fā)覺、制造的艱巨歷程，也看不到為了取得它而所利用的非邏輯手腕，再加上傳統(tǒng)教學(xué)中“重結(jié)果，輕進(jìn)程”，“重應(yīng)用，輕探討”，往往“掐頭去尾燒中段"，輕忽了概念的形成和定理的發(fā)覺進(jìn)程，輕忽了必要的實(shí)驗(yàn)、探討、歸納，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)望而卻步，敬而遠(yuǎn)之，更談不上用數(shù)學(xué)的目光和思想方式來(lái)熟悉周圍的世界。這種教學(xué)方式在現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教學(xué)中大量存在，它嚴(yán)峻妨礙了學(xué)生創(chuàng)新才能的發(fā)揮，堵塞了學(xué)生發(fā)覺、制造的通道。以二項(xiàng)式定理的傳統(tǒng)教法為例，從表面上看，學(xué)生所取得

8、的知識(shí)結(jié)果并未受到什么阻礙。但認(rèn)真分析咱們會(huì)發(fā)覺，那個(gè)教學(xué)方式表面上符合建構(gòu)主義的理論，實(shí)質(zhì)上是穿著建構(gòu)主義的外衣的“功利性教學(xué)”。心理學(xué)家皮亞杰曾強(qiáng)調(diào)“熟悉起因于主個(gè)體之間的彼此作用”只有客體的形式與學(xué)生主體認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的圖式取得某種一致的時(shí)候，才能完成熟悉的主動(dòng)構(gòu)建，也確實(shí)是學(xué)生取得真正的明白得。結(jié)合體會(huì)教訓(xùn)，我在開展教學(xué)時(shí)，對(duì)教材進(jìn)行了斗膽的處置，依照學(xué)生原有的知識(shí)體會(huì)，創(chuàng)設(shè)思維的“最近進(jìn)展區(qū)”，在熟悉沖突中，激發(fā)主動(dòng)探討的欲望和熱情,在遵循“以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體”的教學(xué)思想，圍繞著問題的解決展開教學(xué)進(jìn)程。如：創(chuàng)設(shè)用+W，Q+次與Q+b)4的展開式問題,這對(duì)絕大部份學(xué)生來(lái)講是原有的認(rèn)知,但在展開時(shí)又感受很繁瑣，產(chǎn)生了認(rèn)知沖突。學(xué)生為了避免展開時(shí)顯現(xiàn)重復(fù)與遺漏，自然會(huì)通過尋求一種合理的方式，也自然會(huì)類比到在排列組合中經(jīng)常使用的樹形圖。進(jìn)而，大部份學(xué)生發(fā)覺展開的方式與組合中取球的方式類似，那個(gè)發(fā)覺讓學(xué)生欣喜假設(shè)狂，探討成功的喜悅油但是生。當(dāng)學(xué)生歸納出+嚴(yán)時(shí)，事實(shí)上就其認(rèn)知而言，他己從特殊進(jìn)程過渡