第19講二次曲線(xiàn)與二次曲線(xiàn)

1、數(shù)學(xué)高考綜合能力題選講19題型預(yù)測(cè)高考說(shuō)明中明確指岀：“對(duì)于圓錐曲線(xiàn)的內(nèi)容，不要求解有關(guān)兩個(gè)二次曲線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)的 問(wèn)題（兩圓的交點(diǎn)除外）”.但是，在解答某些問(wèn)題時(shí)（如1990年全國(guó)理科25題），難免 會(huì)遇到兩個(gè)二次曲線(xiàn)相切或相交的問(wèn)題，因此，應(yīng)該讓學(xué)生明白：雙二次曲線(xiàn)消元后，得到 的方程的判別式與交點(diǎn)個(gè)數(shù)不等價(jià).其次，有些問(wèn)題涉及兩個(gè)二次曲線(xiàn)，但所討論和研究的 并不是交點(diǎn)，而是它們的某些參量之間的關(guān)系，由于涉及到的參量較多，問(wèn)題往往顯得較為 復(fù)雜，這類(lèi)問(wèn)題要特別加以注意，理淸思路，順藤摸瓜，設(shè)計(jì)好解題步驟.范例選講例1 .討論圓C,: （x-a）2 + r = 1與拋物線(xiàn)G:r=x的位置關(guān)系.講

2、解：圓q：（d）2+y2=i是以（0,0）為圓心，1為半徑的圓，從草圖不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a-時(shí)，圓與拋物線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)；當(dāng) 0=-1時(shí)，圓與拋物線(xiàn)相切；半-10-時(shí)，A0；當(dāng)（）444事實(shí)上，當(dāng)6/ = -時(shí)，的確有圓與拋物線(xiàn)相切；當(dāng)-時(shí)，圓與拋物線(xiàn)無(wú)公44共點(diǎn).而當(dāng)，/0.事實(shí)上，方程組解的個(gè)數(shù)等于方程（*）的非負(fù)解的個(gè)數(shù).綜上，圓C,:（x-6/）2 + r = 1與拋物線(xiàn)c2: ）,2 = X的位置關(guān)系如下：當(dāng)丄時(shí)，圓與拋物線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)；當(dāng)1時(shí)，圓與拋物線(xiàn)相切（只4有一個(gè)公共點(diǎn)）；當(dāng)-a 1時(shí)，圓與拋物線(xiàn)相交（兩個(gè)公共點(diǎn)）；當(dāng) = 1時(shí), 圓與拋物線(xiàn)相交（三個(gè)公共點(diǎn)）；當(dāng)a0）,它的離心率為邁.直線(xiàn)

3、a h3l:y = x + 2,它與以原點(diǎn)為圓心，以G的短半軸為半徑的圓0相切.（I ）求橢圓G的方程；（II ）設(shè)橢圓C勺左焦點(diǎn)為F ,左準(zhǔn)線(xiàn)為厶.動(dòng)直線(xiàn)厶垂直厶于點(diǎn)P，線(xiàn)段PF的垂直平分線(xiàn)交人于點(diǎn)M.試點(diǎn)M到圓O上的點(diǎn)的最短距離.講解：（I ）直線(xiàn)l:y = x + 2與以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓相切.:.b = /2.乂 橢圓的離心率為遠(yuǎn).3a = /3 橢圓G的方程為7+匚=1.32（H）由（I ）可得：橢圓q的左焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為（-1,0）,左準(zhǔn)線(xiàn)厶的方程 為：x = 3 .連接FM,則FM = PM.由拋物線(xiàn)的定義不難知道：點(diǎn)M的軌跡為以 F （-1,0）為焦點(diǎn)，以厶：x = -3為

4、準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，其方程為：r =4（x + 2）.所以，點(diǎn)M到圓O上的點(diǎn)的最短距離，實(shí)際上就是拋物線(xiàn)/=4（x + 2）與圓P+y2 =2上的點(diǎn)的最短距離.下面我們分別從兒何和代數(shù)的角度來(lái)考慮這個(gè)問(wèn)題.解法一：首先，如果拋物線(xiàn)上點(diǎn)A與圓上點(diǎn)B之間距離最小，則AB必過(guò)圓 心O.（否則，連接OB、OA,設(shè)OA交圓于點(diǎn)N,貝k+NA = OAvOB + AB = r+AB,即NA 2 （等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) x = -2時(shí)取得）.所以，上述最短距離為MO-r = 2-2,解法二：用純代數(shù)的方法去思考.設(shè)-2,2加）為拋物線(xiàn)上任意點(diǎn)，Q(V?cosa,/Tsina)為圓上任意點(diǎn)，則 = (?一2 JTcosa)

5、 +(2?_JT sin a)=(2(4 2 腫)+ 32nr cos (a + 0) + 6=cos a (4 - 2nr) - 42/?/ sin a + m4 + 6=2l2m4 +8 cos (a + 0) + +6 m4 + 6 - 2 J 2nd +8 =(曲+4_坷 (2-/2)2 丙的比為1： 2, 乂直線(xiàn)P3與雙曲線(xiàn)C勺另一交點(diǎn)為0，若|F2e| = _.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)拋物線(xiàn)和圓上的兩點(diǎn)分別為M（-2,0）和0（-VI0）時(shí)取得.（I ）求橢圓C?的離心率（II ）求雙曲線(xiàn)C|和橢圓C?的方程.講解：（I）要求橢圓C?的離心率，可以先只考慮與橢圓C2有關(guān)的條件注意到：P、的方程

6、為：巧、B三點(diǎn)共線(xiàn)，且厲分有向線(xiàn)段西的比為1： 2.所以，若設(shè)橢圓2 2計(jì) +詁=1（/20）,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為轡,分代入橢圓方程，可解得橢圓的離心率一拿由（I）可得橢圓的方程為：赤+話(huà)“，點(diǎn)P的坐標(biāo)為直線(xiàn)PB的方程為：y = /2（x-c）?9設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為：二-匚=1（加,“0）,則+n2=c2nr tr P產(chǎn)4在雙曲線(xiàn)上,=4（c2 -n2） 2n2i3化簡(jiǎn)得:n2=-c thm2=-c2444 y2 4 v2將直線(xiàn)PB的方程代入雙曲線(xiàn)方程亠-1 = 1,消去y,得: （T L20x2 -48xc + 27c2 =0.3 解得州=尹,9從而 F2Q = Jl+ （/?） Xr： -x2 =C =寫(xiě). ? 2橢圓方程為尋+寧T，雙曲線(xiàn)方程為y-/=1.點(diǎn)評(píng)：解答本題，最大的問(wèn)題在于：所給條件雜亂無(wú)序，不知從何入手.為 此，應(yīng)該理清頭緒，層層遞進(jìn)，分步解答.高考真題1 .（1988年全國(guó)高考題）直線(xiàn)L的方程天=-牛 其中p0；橢圓的中心2為 D 2 + -,02 ,焦點(diǎn)在X軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為1,它的一個(gè)頂點(diǎn)為,0問(wèn)：P在那個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，他們中每一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線(xiàn)L的距離.2. （1990年全國(guó)高考題）