第19講二次曲線與二次曲線

1、數(shù)學(xué)高考綜合能力題選講19題型預(yù)測高考說明中明確指岀：“對于圓錐曲線的內(nèi)容，不要求解有關(guān)兩個二次曲線交點坐標(biāo)的 問題（兩圓的交點除外）”.但是，在解答某些問題時（如1990年全國理科25題），難免 會遇到兩個二次曲線相切或相交的問題，因此，應(yīng)該讓學(xué)生明白：雙二次曲線消元后，得到 的方程的判別式與交點個數(shù)不等價.其次，有些問題涉及兩個二次曲線，但所討論和研究的 并不是交點，而是它們的某些參量之間的關(guān)系，由于涉及到的參量較多，問題往往顯得較為 復(fù)雜，這類問題要特別加以注意，理淸思路，順藤摸瓜，設(shè)計好解題步驟.范例選講例1 .討論圓C,: （x-a）2 + r = 1與拋物線G:r=x的位置關(guān)系.講

2、解：圓q：（d）2+y2=i是以（0,0）為圓心，1為半徑的圓，從草圖不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a-時，圓與拋物線無公共點；當(dāng) 0=-1時，圓與拋物線相切；半-10-時，A0；當(dāng)（）444事實上，當(dāng)6/ = -時，的確有圓與拋物線相切；當(dāng)-時，圓與拋物線無公44共點.而當(dāng)，/0.事實上，方程組解的個數(shù)等于方程（*）的非負解的個數(shù).綜上，圓C,:（x-6/）2 + r = 1與拋物線c2: ）,2 = X的位置關(guān)系如下：當(dāng)丄時，圓與拋物線無公共點；當(dāng)1時，圓與拋物線相切（只4有一個公共點）；當(dāng)-a 1時，圓與拋物線相交（兩個公共點）；當(dāng) = 1時, 圓與拋物線相交（三個公共點）；當(dāng)a0）,它的離心率為邁.直線

3、a h3l:y = x + 2,它與以原點為圓心，以G的短半軸為半徑的圓0相切.（I ）求橢圓G的方程；（II ）設(shè)橢圓C勺左焦點為F ,左準(zhǔn)線為厶.動直線厶垂直厶于點P，線段PF的垂直平分線交人于點M.試點M到圓O上的點的最短距離.講解：（I ）直線l:y = x + 2與以原點為圓心，以為半徑的圓相切.:.b = /2.乂 橢圓的離心率為遠.3a = /3 橢圓G的方程為7+匚=1.32（H）由（I ）可得：橢圓q的左焦點f的坐標(biāo)為（-1,0）,左準(zhǔn)線厶的方程 為：x = 3 .連接FM,則FM = PM.由拋物線的定義不難知道：點M的軌跡為以 F （-1,0）為焦點，以厶：x = -3為

4、準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：r =4（x + 2）.所以，點M到圓O上的點的最短距離，實際上就是拋物線/=4（x + 2）與圓P+y2 =2上的點的最短距離.下面我們分別從兒何和代數(shù)的角度來考慮這個問題.解法一：首先，如果拋物線上點A與圓上點B之間距離最小，則AB必過圓 心O.（否則，連接OB、OA,設(shè)OA交圓于點N,貝k+NA = OAvOB + AB = r+AB,即NA 2 （等號當(dāng)且僅當(dāng) x = -2時取得）.所以，上述最短距離為MO-r = 2-2,解法二：用純代數(shù)的方法去思考.設(shè)-2,2加）為拋物線上任意點，Q(V?cosa,/Tsina)為圓上任意點，則 = (?一2 JTcosa)

5、 +(2?_JT sin a)=(2(4 2 腫)+ 32nr cos (a + 0) + 6=cos a (4 - 2nr) - 42/?/ sin a + m4 + 6=2l2m4 +8 cos (a + 0) + +6 m4 + 6 - 2 J 2nd +8 =(曲+4_坷 (2-/2)2 丙的比為1： 2, 乂直線P3與雙曲線C勺另一交點為0，若|F2e| = _.等號當(dāng)且僅當(dāng)拋物線和圓上的兩點分別為M（-2,0）和0（-VI0）時取得.（I ）求橢圓C?的離心率（II ）求雙曲線C|和橢圓C?的方程.講解：（I）要求橢圓C?的離心率，可以先只考慮與橢圓C2有關(guān)的條件注意到：P、的方程

6、為：巧、B三點共線，且厲分有向線段西的比為1： 2.所以，若設(shè)橢圓2 2計 +詁=1（/20）,則點P的坐標(biāo)為轡,分代入橢圓方程，可解得橢圓的離心率一拿由（I）可得橢圓的方程為：赤+話“，點P的坐標(biāo)為直線PB的方程為：y = /2（x-c）?9設(shè)雙曲線的方程為：二-匚=1（加,“0）,則+n2=c2nr tr P產(chǎn)4在雙曲線上,=4（c2 -n2） 2n2i3化簡得:n2=-c thm2=-c2444 y2 4 v2將直線PB的方程代入雙曲線方程亠-1 = 1,消去y,得: （T L20x2 -48xc + 27c2 =0.3 解得州=尹,9從而 F2Q = Jl+ （/?） Xr： -x2 =C =寫. ? 2橢圓方程為尋+寧T，雙曲線方程為y-/=1.點評：解答本題，最大的問題在于：所給條件雜亂無序，不知從何入手.為 此，應(yīng)該理清頭緒，層層遞進，分步解答.高考真題1 .（1988年全國高考題）直線L的方程天=-牛 其中p0；橢圓的中心2為 D 2 + -,02 ,焦點在X軸上，長半軸長為2,短半軸長為1,它的一個頂點為,0問：P在那個范圍內(nèi)取值時，橢圓上有四個不同的點，他們中每一個點到點A的距離等于該點到直線L的距離.2. （1990年全國高考題）