常用的基本求導(dǎo)公式

1、1基本求導(dǎo)公式 (C) 0 (C 為常數(shù)) (xn) nxn 1；一般地， (x ) x 1 。特別地：(x) 1，(x2) 2x， (1)x2 ， ( x) 。 x 2 x (ex) ex ；般地， (a x) ax ln a (a 0,a 1) 。 (ln x) 1 ；x般地，1(loga x) xl1na(a 0,a 1) 。2求導(dǎo)法則 四則運(yùn)算法則設(shè) f (x)，g(x)均在點(diǎn) x可導(dǎo)，則有：()( f (x) g(x) f (x) g (x) ；)(f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g(x)，特別(Cf(x) Cf (x)(C為常數(shù))；)(gf(xx)f (x)g(x)

2、f(x)g(x), (g(x) 0)，特別 ( 1 ) g(x)g2(x)g (x)2。g2(x)3微分 函數(shù) y f(x)在點(diǎn) x處的微分： dy y dx f (x)dx4、常用的不定積分公式1)1x2x dx 1 x 1 C ( 1), dx x c, xdx x c, 124x c4x3dx32xx dx3； ；2)1dxxx xaln | x| C； exdx ex C； axdxC(a 0,a 1) ；ln a(3) kf ( x)dx k f(x)dx(k 為常數(shù))5、定積分 bba f (x)dx F(x) |ab F(b) F(a)第 1 頁(yè) 共 11 頁(yè)b b b k1 f

3、 (x) k2g(x)dx k1 f(x)dx k2 g(x)dx 分部積分法設(shè)u( x) ，v( x)在 a，b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) u (x),v(x)，則b b b au(x)dv(x) u(x)v(x) a a v(x)du(x)6、線性代數(shù)特殊矩陣的概念1)、零矩陣10001,(2)、單位矩陣In0000022a1 0(3) 、對(duì)角矩陣 A0 a20000(4) 、對(duì)稱矩陣 aij aji2A12二階1I2 2 0123557a22(5) 、上三角形矩陣 Aa11a12a1n(6) 、矩陣轉(zhuǎn)置 Aa21a22a2nan1an2ann01,a1na1 00a2n下三角形矩陣 A0 a20an

4、n000ana11轉(zhuǎn)置后 ATa21a22a1na2nan1an2anna be fa e b f6、矩陣運(yùn)算 A Bc dg hc g d hAB a b e fae bg af bhAB c d g hce dg cf dh7、MATLAB軟件計(jì)算題第 2 頁(yè) 共 11 頁(yè) 例6 試寫出用 MATLAB軟件求函數(shù) y ln( x x2 ex )的二階導(dǎo)數(shù) y 的命令語(yǔ)句。 解： >>clear;>>syms x y; >>y=log(sqrt(x+x2)+exp(x);>>dy=diff(y,2)例：試寫出用 MATLAB軟件求函數(shù) y ln

5、( x ex) 的一階導(dǎo)數(shù) y 的命令語(yǔ)句。>>clear;>>syms x y; >>y=log(sqrt(x)+exp(x);>>dy=diff(y)2 1 3例 11 試寫出用 MATLAB軟件計(jì)算定積分 2 1 ex3dx 的命令語(yǔ)句。1x解： >>clear;>>syms x y; >>y=(1/x)*exp(x3);>>int(y,1,2)13例 試寫出用 MATLAB軟件計(jì)算定積分1ex3dx 的命令語(yǔ)句。x解： >>clear;>>syms x y; >

6、>y=(1/x)*exp(x3);>>int(y)MATLAB軟件的函數(shù)命令表 1 MATLAB軟件中的函數(shù)命令函數(shù)a xxx eln xlg xlog x2xMATLABxasqrt ( x)exp( x)log( x)log 10( x)log 2(x)abs( x)運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算符+-/功能加減乘除乘方典型例題例 1 設(shè)某物資要從產(chǎn)地 A1，A2，A3調(diào)往銷地 B1， B2， B3， B4，運(yùn)輸平衡表(單位：噸) 和運(yùn)價(jià)表(單位：百元 / 噸)如下表所示：運(yùn)輸平衡表與運(yùn)價(jià)表銷地產(chǎn)地B1B2B3B4供應(yīng)量B1B2B3B4A17311311A241928第 3 頁(yè) 共 11

7、頁(yè)A3974105需求量365620（1）用最小元素法編制的初始調(diào)運(yùn)方案，（ 2）檢驗(yàn)上述初始調(diào)運(yùn)方案是否最優(yōu)，若非最優(yōu)，求最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案，并計(jì)算最低運(yùn)輸 總費(fèi)用。解：用最小元素法編制的初始調(diào)運(yùn)方案如下表所示：找空格對(duì)應(yīng)的閉回路，計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)：22 0，24 2運(yùn)輸平衡表與運(yùn)價(jià)表銷地產(chǎn)地B1B2B3B4供應(yīng)量B1B2B3B4A1437311311A23141928A363974105需求量365620已出現(xiàn)負(fù)檢驗(yàn)數(shù)，方案需要調(diào)整，調(diào)整量為 1調(diào)整后的第二個(gè)調(diào)運(yùn)方案如下表：運(yùn)輸平衡表與運(yùn)價(jià)表銷地產(chǎn)地B1B2B3B4供應(yīng)量B1B2B3B4A1527311311A23141928A363974105需求

8、量365620求第二個(gè)調(diào)運(yùn)方案的檢驗(yàn)數(shù)：11 1已出現(xiàn)負(fù)檢驗(yàn)數(shù)，方案需要再調(diào)整，調(diào)整量為 2 調(diào)整后的第三個(gè)調(diào)運(yùn)方案如下表：運(yùn)輸平衡表與運(yùn)價(jià)表銷地產(chǎn)地B1B2B3B4供應(yīng)量B1B2B3B4A1257311311A21341928A363974105第 4 頁(yè) 共 11 頁(yè)需求量365620求第三個(gè)調(diào)運(yùn)方案的檢驗(yàn)數(shù)：所有檢驗(yàn)數(shù)非負(fù)，故第三個(gè)調(diào)運(yùn)方案最優(yōu)，最低運(yùn)輸總費(fèi)用為：2 × 35×31× 13×86×43×585（百元）例2 某物流公司下屬企業(yè)經(jīng)過(guò)對(duì)近期銷售資料分析及市場(chǎng)預(yù)測(cè)得知， 該企業(yè)生產(chǎn)的甲、 乙、丙三種產(chǎn)品，均為市場(chǎng)緊俏產(chǎn)品

9、，銷售量一直持續(xù)上升經(jīng)久不衰。 今已知上述三種產(chǎn)品 的單位產(chǎn)品原材料消耗定額分別為 4 公斤、4 公斤和 5公斤；三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品所需工時(shí) 分別為 6臺(tái)時(shí)、3臺(tái)時(shí)和 6 臺(tái)時(shí)。另外，三種產(chǎn)品的利潤(rùn)分別為 400元/ 件、250元/件和 300 元/ 件。由于生產(chǎn)該三種產(chǎn)品的原材料和工時(shí)的供應(yīng)有一定限制，原材料每天只能供應(yīng)180公斤，工時(shí)每天只有 150 臺(tái)時(shí)。1試建立在上述條件下，如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使企業(yè)生產(chǎn)這三種產(chǎn)品能獲得利潤(rùn)最大 的線性規(guī)劃模型。2. 寫出用 MATLAB軟件計(jì)算該線性規(guī)劃問(wèn)題的命令語(yǔ)句。解： 1、設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品分別為x1件、 x2件和 x 3件，顯然 x1，x

10、2，x30線性規(guī)劃模型為maxS 400x1 250x2 300x34x2 5x3 1806x1 3x2 6x3 150x1，x2，x3 02解上述線性規(guī)劃問(wèn)題的語(yǔ)句為：>>clear;>>C=-400 250 300;>>A=4 4 5;6 3 6;>>B=180;150;>>LB=0;0;0;>>X,fval,exitflag=linprog(C,A,B,LB)例 3 已知矩陣 A 100112C1，求：AB CT解： AB C 10110101 1 2 112610 2 6 312例 4 設(shè) y(1 x 2)ln x

11、，求： y第 5 頁(yè) 共 11 頁(yè)解：y (1 x2 ) ln x (1 x2)(ln x) 2xln x21 x2xx例5 設(shè) y e ，求： y1x解：x x x (ex)(1 x) ex(1 x) xex(1 x)2 (1 x)2例 7 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為 2 萬(wàn)元， 每多生產(chǎn) 1 百臺(tái)產(chǎn)品， 總成本增加 1 萬(wàn) 元，銷售該產(chǎn)品 q 百臺(tái)的收入為 R(q)4q0.5 q2(萬(wàn)元)。當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？ 最大利潤(rùn)為多少？解： 產(chǎn)量為 q 百臺(tái)的總成本函數(shù)為： C(q)q22利潤(rùn)函數(shù) L(q)R(q)C(q) 0.5q23q2 令 ML(q) q3 0 得唯一駐點(diǎn) q 3(百

12、臺(tái)) 故當(dāng)產(chǎn)量 q3 百臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2L(3) 0.5×323×3 22.5 (萬(wàn)元)例8 某物流企業(yè)生產(chǎn)某種商品， 其年銷售量為 1000000件，每批生產(chǎn)需準(zhǔn)備費(fèi) 1000元， 而每件商品每年庫(kù)存費(fèi)為 0.05 元，如果該商品年銷售率是均勻的， 試求經(jīng)濟(jì)批量。q 1000000000解： 庫(kù)存總成本函數(shù) C(q)40 q1 1000000000令C (q) 20得定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn) q200000件。40 q2即經(jīng)濟(jì)批量為 200000 件。1例9 計(jì)算定積分： (x 3ex )dx解：110(x 3ex )dx (12 x2 3ex)|0 3e 2532

13、例 10 計(jì)算定積分：(x 2 2)dx1x解：3 2 2 1 3 3 261 (x2 2x)dx (13x3 2ln |x|)|1 236 2ln3 x 3 3教學(xué)補(bǔ)充說(shuō)明1. 對(duì)編程問(wèn)題，要記住函數(shù) ex， ln x， x 在 MATLAB軟件中相應(yīng)的命令函數(shù) exp(x) ， log(x) ， sqrt(x) ；2 對(duì)積分問(wèn)題，主要掌握積分性質(zhì)及下列三個(gè)積分公式：xadx1 xa 1 c(a 1)a1exdx ex c第 6 頁(yè) 共 11 頁(yè)1dx ln |x| c7. 記住兩個(gè)函數(shù)值： e01， ln 10。模擬試題一、單項(xiàng)選擇題： (每小題 4 分，共 20 分)1. 若某物資的總供

14、應(yīng)量( C )總需求量，可增設(shè)一個(gè)虛銷地，其需求量取總供應(yīng)量 與總需求量的差額，并取各產(chǎn)地到該銷地的單位運(yùn)價(jià)為0，則可將該不平衡運(yùn)輸問(wèn)題化為平衡運(yùn)輸問(wèn)題。(A) 等于(B) 小于(C) 大于(D) 不超過(guò)2某物流公司有三種化學(xué)原料 A1，A2，A3。每公斤原料 A1含 B1，B2，B3 三種化學(xué)成分的 含量分別為 0.7 公斤、 0.2 公斤和 0.1 公斤；每公斤原料 A2含 B1，B2，B3 的含量分別為 0.1 公斤、 0.3 公斤和 0.6 公斤；每公斤原料 A3含 B1，B2，B3 的含量分別為 0.3 公斤、 0.4 公斤 和 0.3 公斤。每公斤原料 A1，A2，A3的成本分別為

15、 500元、 300元和 400元。今需要 B1成分 至少 100 公斤， B2成分至少 50 公斤， B3成分至少 80公斤。為列出使總成本最小的線性規(guī)劃 模型，設(shè)原料 A1， A2， A3 的用量分別為 x1 公斤、 x2 公斤和 x3公斤，則目標(biāo)函數(shù)為( D )。(A) max S 500x1 300x2400x3(C) max S 100x1 50x280x327 ,7(B) min S 100x1 50 x2 80x3(D) min S 500x1 300x2 400x33. 設(shè) A 41xB 1xx(A) 4(C) 24設(shè)運(yùn)輸某物品100 噸時(shí)的平均成本為(A) 170(C) 17

16、005. 已知運(yùn)輸某物品 的收入增加量為( D 300，并且 A B，則 x( C7(B) 3(D) 1 噸的成本(單位：元)函數(shù)為 C( q) q2 50q2000 ，則運(yùn)輸該物品 A )元 / 噸。(B) 250(D) 17000 q 噸的邊際收入函數(shù)為 )。)。MR( q) ，則運(yùn)輸該物品從 100噸到 300噸時(shí)(A) 100 MR(q)dq C(0)(B)(C) MR(q)dq(D)100MR(q)dq300300MR(q)dq100二、計(jì)算題： (每小題7 分，共6已知矩陣 A 1021 分)24C 1 0 ，求： ABC1 2 ，求： 10解： AB C 10 01210261

17、01 11 02 27 037. 設(shè) y 1ln xx3 ，求：1x第 7 頁(yè) 共 11 頁(yè)33解： y (lnx) (1 x3) (lnx) (1 x3)32(1 x3)218. 計(jì)算定積分： (x3 2ex )dx1 x323x ln xx32(1 x3)21 3 x 1 4 x 1 解： (x3 2ex)dx ( x4 2ex )| 三、編程題： (每小題 6 分，共 12 分)0 2e 49. 試寫出用 MATLAB軟件求函數(shù) y ln( x x2 ex) 的二階導(dǎo)數(shù) y 的命令語(yǔ)句。解： >>clear;>>syms x y;>>y=log(sqr

18、t(x+x2)+exp(x);>>dy=diff(y,2)110. 試寫出用 MATLAB軟件計(jì)算定積分xe xdx 的命令語(yǔ)句。0解： >>clear;>>syms x y;>>y=x*exp(sqrt(x);>>int(y,0,1)四、應(yīng)用題 (第 11、12 題各 14 分，第 13 題 19 分，共 47分)11. 某物流企業(yè)生產(chǎn)某種商品， 其年銷售量為 1000000 件，每批生產(chǎn)需準(zhǔn)備費(fèi) 1000 元， 而每件商品每年庫(kù)存費(fèi)為 0.05 元，如果該商品年銷售率是均勻的， 試求經(jīng)濟(jì)批量。解： 庫(kù)存總成本函數(shù) C(q) q 1

19、000000000401 1000000000令C(q) 410 10000q020000 0得定義域內(nèi)的惟一駐點(diǎn)q200000 件。即經(jīng)濟(jì)批量為 200000 件。12. 某物流公司下屬企業(yè)經(jīng)過(guò)對(duì)近期銷售資料分析及市場(chǎng)預(yù)測(cè)得知，該企業(yè)生產(chǎn)的甲、 乙、丙三種產(chǎn)品，均為市場(chǎng)緊俏產(chǎn)品，銷售量一直持續(xù)上升經(jīng)久不衰。 今已知上述三種產(chǎn)品 的單位產(chǎn)品原材料消耗定額分別為 4 公斤、4 公斤和 5公斤；三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品所需工時(shí) 分別為 6臺(tái)時(shí)、3臺(tái)時(shí)和 6 臺(tái)時(shí)。另外，三種產(chǎn)品的利潤(rùn)分別為 400元/ 件、250元/件和 300 元/ 件。由于生產(chǎn)該三種產(chǎn)品的原材料和工時(shí)的供應(yīng)有一定限制，原材料每天只能

20、供應(yīng)180公斤，工時(shí)每天只有 150 臺(tái)時(shí)。 試建立在上述條件下，如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使企業(yè)生產(chǎn)這三種產(chǎn)品能獲得利潤(rùn)最大的線性規(guī)劃模型，并寫出用MATLAB軟件計(jì)算該線性規(guī)劃問(wèn)題的命令語(yǔ)句。解：設(shè)生產(chǎn)甲、 乙、丙三種產(chǎn)品分別為 x1 件、x2件和 x3 件，顯然 x1，x2，x30線性規(guī)劃模型為第 8 頁(yè) 共 11 頁(yè) maxS 400x1 250x2 300x34x1 4x2 5x3 1806x1 3x2 6x3 150x1，x2，x3 0解上述線性規(guī)劃問(wèn)題的語(yǔ)句為： >>clear;>>C=-400 250 300;>>A=4 4 5;6 3 6;>

21、>B=180;150;>>LB=0;0;0;>>X,fval,exitflag=linprog(C,A,B,LB)線性規(guī)劃習(xí)題1. 某物流公司下屬企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，要用A，B，C 三種不同的原料，從工藝資料知道：每生產(chǎn)一件產(chǎn)品甲，需用三種原料分別為1，1，0 單位；生產(chǎn)一件產(chǎn)品乙，需用三種原料分別為 1，2，1 單位。每天原料供應(yīng)的能力分別為 6，8，3 單位。又知，銷售一件 產(chǎn)品甲，企業(yè)可得利潤(rùn) 3 萬(wàn)元； 銷售一件產(chǎn)品乙， 企業(yè)可得利潤(rùn) 4萬(wàn)元。試寫出能使利潤(rùn)最 大的線性規(guī)劃模型， 并用 MATLAB軟件計(jì)算 （寫出命令語(yǔ)句， 并用 MATLAB軟件運(yùn)行

22、）。解：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品 x1噸，乙產(chǎn)品 x2 噸。 線性規(guī)劃模型為：max S 3x1 4x2x1 x2 6x1 2x2 8x2 3x1,x2 0用 MATLAB軟件計(jì)算該線性規(guī)劃模型的命令語(yǔ)句為：>> clear;>> C=-3 4;>> A=1 1;1 2;0 1;>> B=6;8;3;>> LB=0;0;>> X,fval=linprog（C,A,B,LB）2. 某物流公司有三種化學(xué)產(chǎn)品 A1，A2，A3都含有三種化學(xué)成分 B1，B2， B3，每種產(chǎn)品成 分含量及價(jià)格 （元/斤）如下表，今需要 B1成分至少 100斤，

23、B2成分至少 50 斤， B3成分至少 80 斤，試列出使總成本最小的線性規(guī)劃模型。第 9 頁(yè) 共 11 頁(yè)B1B2B20.70.20.10.10.30.60.30.40.3產(chǎn)品價(jià)格 （ 元 / 斤）500300400解：設(shè)生產(chǎn) A1產(chǎn)品 x1公斤, 生產(chǎn) A2產(chǎn)品 x2 公斤, 生產(chǎn) A3產(chǎn)品 x3公斤,minS500x1300x2400x30.7x10.1x20.3x31000.2x10.3x20.4x3500.1x10.6x20.3x380x1,x2,x3 03. 某物流企業(yè)下屬家具廠生產(chǎn)桌子和椅子，產(chǎn)品的銷路挺好。生產(chǎn)每張桌子的利潤(rùn)為12 元，每張椅子的利潤(rùn)為 10元。生產(chǎn)每張桌子在該

24、廠的裝配中心需要 10 分鐘，在精加工 中心需要 20 分鐘；生產(chǎn)每張椅子在裝配中心需要 14 分鐘，在精加工中心需要 12 分鐘。該 廠裝配中心一天可利用的時(shí)間不超過(guò) 1000 分鐘，精加工中心一天可利用的時(shí)間不超過(guò) 880 分鐘。假設(shè)生產(chǎn)桌子和椅子的材料能保證供給。 試寫出使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)的線性規(guī)劃模型， 并用 MATLAB軟件計(jì)算（寫出命令語(yǔ)句，并用MATLAB軟件運(yùn)行出結(jié)果）解：設(shè)生產(chǎn)桌子 x1張，生產(chǎn)椅子 x2 張maxS 12x1 10x210x1 14x2 100020x1 12x2 880x1,x2 0MATLAB 軟件的命令語(yǔ)句為：>> clear;>> C=-12 10;>> A=10 14; 20 12;>> B=1000 ； 880;>> LB=0;0;>> X,fval=linprog（C,A,B,LB）4、某物流企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品分別需要A,B,C,D 四種不同的機(jī)床加工，這四種機(jī)床的可用工時(shí)分別為1500，