第六章勢流理論

1、第六章 勢流理論課堂提問：為什么上弧旋與下弧旋乒乓球的應對方法不同本章內容：1 勢流問題求解的思路2庫塔 儒可夫斯基條件3. 勢流的迭加法繞圓柱的無環(huán)繞流，繞圓柱的有環(huán)繞流4布拉休斯公式5庫塔 儒可夫斯基定理學習這部分內容的目的有二：其一， 獲得解決勢流問題的入門知識，即關鍵問題是求解速度勢。 求出速度勢之后，可 按一定的步驟解出速度分布、壓力分布，以及流體和固體之間的作用力。其二，明確兩點重要結論：1）園柱體在理想流體中作等速直線運動時，阻力為零（達朗貝爾疑題）；升力也為零。2）園柱本身轉動同時作等速直線運動時，則受到升力作用（麥格魯斯效應）。本章重點：1、平面勢流問題求解的基本思想。2、勢

2、流迭加法3、物面條件，無窮遠處條件4、繞圓柱有環(huán)流，無環(huán)流流動的結論，即速度分布，壓力分布，壓力系數分布，駐點位 置，流線圖譜，升力，阻力，環(huán)流方向等。5、四個簡單勢流的速度勢函數，流函數及其流線圖譜。6、麥馬格魯斯效應的概念7、計算任意形狀柱體受流體作用力的卜拉修斯定理8、附加慣性力，附加質量的概念本章難點:1 繞圓柱有環(huán)流，無環(huán)流流動的結論，即速度分布，壓力分布，壓力系數分布，駐點位置，流線圖譜，升力，阻力，環(huán)流方向等。2 .任意形狀柱體受流體作用力的卜拉修斯定理3 附加慣性力，附加質量的概念§6 -1幾種簡單的平面勢流平面流動：平面上任何一點的速度、加速度都平行于所在平面，無垂

3、直于該平面的分量；與該平面相平行的所有其它平面上的流動情況完全一樣。例如：1）繞一個無窮長機翼的流動，2 ）船舶在水面上的垂直振蕩問題，由于船長比寬度及吃水大得多，且船型縱向變化比較緩慢，可以近似認為流體只在垂直于船長方向的平面內流動。如果我們在船長方向將船分割成許多薄片，并且假定繞各薄片的流動互不影響的話，則這一問題就可以按平面問題處理。一近似方法在船舶流體力學領域內稱為切片理論。一、均勻流流體質點沿x軸平行的均勻速度Vo,Vx= Vo ,Vy=0平面流動速度勢的全微分為d 一dx 一dy Vxdx Vydy V0dx x y積分:0 = Vox(6 -4)流函數的全微分為,dx dyVyd

4、x Vxdy Vodyx y積分:由（6 -4 ）和（6 -5）可得:流線：y =con st, 組平行于x軸的直線。(6 -5)_ r 4 .I 珂一_ 等勢線：x = con st，一組平仃于y軸的直線。均勻流的速度勢還可用來表示平行平壁間的流動或薄平板的均勻縱向繞流，如圖6-4所示。圖6 -4、源或匯 平面源：流體由坐標原點出發(fā)沿射線流出， 反之，流體從各個方向流過來匯聚于一點，謂之 平面匯：與源的流動方向相反。設源的體積流量為Q, 速度以源為中心，沿矢徑方向向外，沿圓周切線方向速度分量為 零?，F以原點為中心，任一半徑,乍一圓，則根據不可壓縮流體的連續(xù)性方程,體積流量Q2nrvr=Qvf

5、=Q / 2nr(6 -6)在直角坐標中，有(6 -7)VxxyVyyx在極坐標中有：極坐標中0和®的全微分:同心圓。圖6 -7QddrdVrdr rVsddrr2 rddr rdQVsdr rVrd ds r 2(6 -8)Inr2Q2流線：為9= const,從原點引出的一組射線；等勢線為=con st，就是和流線正交的一組由（6 -6）式可看出，當Q>0,則vr>0,坐標原點為源點; 如果QVO,則vrVO,流體向原點匯合，圖6 -7 擴大壁面和源的互換性乃是匯點。源（匯）的速度勢，還適用于擴大（收縮）渠道中理想流體的流動。三、偶極子偶極流：流量相等的源和匯無限靠近

6、，且隨著其間距3x0, 其流量Qis,且QSxt因此(In r1In r2)r1 r2xcos 1由圖6 -8 （a ）所示:則這種流動的極限狀態(tài)稱為偶極子，M稱為偶極矩。(In riIn a)xcos22 22Q|n(1XCOS圖 6 -8 (a )23z zln(1 z) z23式中z = Sxcos0 1r2是個小量，我們利用泰勞展開式將0展開并略去3x二階以上小量得Q x cos 12rr當 Sxt o 時，Q3xTM,B1fr2r。其中r , B為A點的極坐標，這樣便可從上式得到偶極子的速度勢為M2直角坐標有對于流函數：1圖 6 -8( a )三角形 BCD:r2S0 = SCOS(

7、6 -1 0)MX2 2(6 -11)2x yQQ /、2 _(1 2 )()22xsin01, 有xsin 1所以Mxsi n2n e r 2 當 Sxt 0時，Q3 xM,r 2r,0 10，所以M sin(6 -12)直角坐標有2 x2令"=C即得流線族:2 x2或y2 x2C1y即2 2x yy oC1配方后得x2 (y21 )22c114 c；流線：圓心在y軸上與(6 14)圖 6-8 (b)圖6 -10 ( b)x軸相切的一組圓，如圖6-10 (b)中的實線。流體是沿著上述的圓周，由坐標原點流出，重新又流入原點。等勢線：中心在X軸上與y軸相切的一組圓，并與con st正交

8、，如圖6 -8(b)中的虛線。偶極子是有軸線和有方向： 源和匯所在的直線就是偶極子的軸線，由匯指向源的方向， 就是偶極軸的方向，偶極子的方向是x軸的負向。四、點渦(環(huán)流)流場中坐標原點處有一根無窮長直渦索，方向垂直于平面xy平面，與xy平面的交點為一個點渦。點渦在平面上的誘導速度沿著以點渦為中心的圓周的切線方向，大小與半徑成反比，即VsVr2 r0極坐標下：dvrdr vs rd2-d積分得：2流函數dvsvrdr vr rd2 rdr積分：In r(6 17)2流線：2 =const就是r = C，即一組以渦點為中心的同心圓,如圖6 -9所示。注意：0對應于反時針的轉動,(6 15)(6 1

9、6)或 f=8.零流線：f=f0處2 = 0是條流線。2）物面條件（近場條件）圓柱在靜止無界流體中作等速直線運動= 均勻流動+偶極子流動§6 3繞圓柱體的無環(huán)量流動，達朗貝爾謬理勢流迭加法：均勻流、源匯、偶極子、點渦這樣一些幾種簡單的勢流，具有可迭加性。將它們之中的兩個或兩個以上迭加起來，在用物面邊界條件來控制，會獲得有實際意義的結果。繞圓柱體的無環(huán)流流動就是一個典型的實例。理想流體的邊界條件:1）無窮遠條件（遠場條件）VxvVy0vrvr sinv v cosf=f o,Vn=V r=0 稱為不可穿透條件均勻流和偶極子迭加后的速度勢和流函數為:12 v°rCosMCos2

10、 r12 vorSinMSi n2 r(6 18)(6 19)觀察"=0這條流線，由（619 ）式，我們有：C. /M cSin （v0） 02 r若sin0 = 0,有B = 0或n,因此2 = 0的流線中有一部分是x軸;若v orM2nf = O,Vor 27即 f2=M2nv0, r 2M2 V。令ro2,就有 r=r0,2 Vo也是"=0的流線的一部分,如圖6 10所示。驗證邊界條件，將 M2v°r°代入©，有v0 cos (r2p)r(6 2 0)速度Vr v0 cos r(12 ro 2v0 sin(12 ro 2 r(6 21)V

11、rv0 cosv0 sin當£=0時，Vf= 0這就證明了均勻流和偶極子迭加的速度勢，滿足繞圓柱體無環(huán)流流動的遠場和近場的邊界條件，當rr0的流動與均勻流繞圓柱的流動完全一樣。設想把均勻流加偶極子的流動圖案中rVr0的那一部分去掉(不感興趣)，而在其中充實以一個r=r0的圓柱體，對流場流動不會有任何影響。圓柱表面上速度分布:f =r0時:vrv02v0 sin負號表示其方向與s坐標軸方向相反,(6 22)如圖6 -10駐點位置:A,C兩點0 = n或0, vs = 0稱為駐點或分流點。對B,D兩點：v2v0(6 23)2B,D兩點：速度達到最大值，等于來流速度v0之兩倍，與圓柱體半徑

12、無關，B, D兩點：速度增至2v0,達最大值。然后又逐漸減小，在C點匯合時，速度又降至零。離開C點后，又逐漸加速，流向后方的無限遠處時，再恢復為vO。圓柱表面上壓力分布：運動是定常，設無窮遠均勻流中的壓力為p O ,忽略了質量力，拉格朗日方程2PoVo2將園柱表面上速度分布代入，即得圓柱表面上壓力分布2(6 24)V0 “ 2 、p Po(1 4SI n )2物面上的壓力分布定義:CpP Po(6 25)由(6 -24)式可得2VoCP 1 4si n4(6 -2 6)壓力分布既對稱于x軸也對稱于y軸，見圖6- 1 1(a)。A, C兩點壓力最大cp=1B, D兩點壓力最小cp=3(6 27)

13、沿"=0這條流線壓力變化為：左方無限遠處，cp=O,流到A點時壓力為極大值cp=1。由A點分為兩支分別流向B, D點，壓力逐漸減小為極小值cp=3。流向C點時壓力逐漸增大，C點達極大值cp=1。由C點流向右方無限遠處， 壓力又再次減小，最后壓力重新降至pO,cp = O。圖6 -1 1因為其壓力分布對稱于x軸，顯然合力在y軸上的分力L （升力）為零；同樣，因其壓力分布對稱于y軸，故合力在x軸上的分力R （阻力）為零，即升力L=0阻力 R=0（6 - 2 8）這一結果與實驗結果有嚴重矛盾，稱為達朗貝爾謬理。如圖6 -1 1 （b）所示為圓柱表面壓力分布的實測結果。與圖6- 1 1 （a

14、）相比較，C點處由正壓變?yōu)樨搲?，破壞了壓力分布對y軸的對稱性，從而引起了作用于物體的阻力。其原理,邊界層理論一章再詳細討論。達朗貝爾謬理在理論上仍然有意義。成立的條件可歸納為下列五點；1）理想流體；2）無界流場；3）物體周圍的流場中沒有源、匯、渦等奇點存在；4）物體作等速直線運動；5）流動在物體表面上沒有分離。如果上述條件全部成立，那么任何物體的的確不受阻力作用。上面任一條件被破壞，則物體即將遭受到流體的作用力（阻力或升力）。因此，根據達朗貝爾謬理，我們可以來分析物體在流體中運動時可能受力的種類及其本質。§6-3繞圓柱體的有環(huán)量流動-麥格魯斯效應提問：乒乓球和排球中的弧圈球的運動軌跡

15、為什么不是直線現在將繞圓柱體無環(huán)流流動與點渦進行迭加。2/°、v0 cos (r )(6 2 9)r 22v0 sin (r ) In rr 2上式中的點渦取環(huán)量為一r,這是為了符合圓柱體順射針轉動的條件。由(6 2 9),當=0,In r° con st.仍保持為流線。2速度分布：2v° cos (r 烏)rr2(6 3O)1r o、VVo sin (12)rrr<4nr oVo ,貝U |sinB s |V1, 兩個駐點在圓柱面上，左右對稱位于第 三、四象限，如圖6 -1 3(a)所示，而且A, E兩個駐點隨著r值的增加而向下移動, 互相靠攏。 r=4n

16、r0 vO,兩個駐點重合，位于圓柱面的最下端，如圖6-1 3 (b)所示。 r>4nrOvO,駐點不在圓柱面上。 駐點脫離圓柱面沿y軸向下移動到相應的位置。2 r圓柱表面上速度分布：用r=rO代入上式得：vr01(6 3 1)v2v0 sin2 r ro圓柱表面：法向速度仍為零，滿足不可穿透條件。切向速度不為零，多出一項環(huán)流的速度。圓柱順時針的環(huán)流和無環(huán)量繞流方向相同，因而速度增加，而下表面則方向相反,因而速度減少。駐點位置：駐點位置離開x軸下移的距離與r的大小有關。根據(6 -31)式有:02v0sin s2 ro解出sin4 roVo令（5 -3 0）式中的vf = O和vB = 0

17、,得到兩個位于y軸上的駐點，一個在圓柱體內，另一個在圓柱體外。 這種流動只有一個在圓柱體外的自由駐點，如圖6 -1 3（c）所示。結論：合成流動對稱y軸，仍將不遭受阻力。但環(huán)量的存在流動圖形不對稱x軸，因此產生了向上的升力。(b)(c)升力的大?。簩A柱表面上速度分布2v0 sin2ro代入柏努利方程:(2v： sin22 2r°22V0 sinv0 sinro(6 3 3)單位長圓柱所受到的升力為p sinrod將（6 -33）代入上式，并考慮到2 2 3一 sin 0d 0,0 sin0,2sin0得到:L V0稱為庫塔儒可夫斯基升力定理。(6 3 4)上式揭示了升力和環(huán)量之間的

18、一個重要關系, 即升力的大小準確地和環(huán)量r成正比。升力的方向：圖6 -1 4所示來流速度矢量逆環(huán)量方向旋轉90°它在繞流問題中具有普遍意義，即不僅對圓柱是正確的，而且對有尖后緣的任意翼 型都是正確的（參閱第十二章）。其實流體由于粘性，圓柱后部會有分離，這時除升力外還會有阻力，但升力基本上可用（6-34 ）式計算。麥格魯斯效應：流體繞流圓柱體會產生升力的現象。 問題：1）分析乒乓球和排球中的弧圈球2）Buckan號試驗船，1983年美國又造了一艘作了改進的試驗船“追蹤號”如圖6 -1 5§6-4 附加慣性力與附加質量物體在無界流體內的運動可分為兩大類：1）勻速直線運動1）非勻

19、速直線運動。勻速直線運動：坐標轉與物體固定在一起，問題轉換為均勻、定常繞流問題。非勻速直線運動：坐標固定于物體上， 得到的繞流問題本身可能就是不定常運動，要另想辦法來處理這一不定常運動問題。設在無界的流體中取一半徑非常大的球面X, 物體質量為M,推動物體的力不僅必須為增加物 體的動能而作功，而且還要為增加流體的動能而 作功。力F將大于Ma,若設F=（M+ 入）a（6 - 3 5）入稱為附加質量，M+入稱為虛質量。將入a移到（63 5）式左邊，令則有：F + FI=Ma(6 37)FI為物體加速周圍流體質點時受到周圍流體質點的作用力，稱為附加慣性力, 由（6 -3 6）可見FI的方向與加速度方向

20、相反。當a>0時FIVO,即物體加速度運動時，FI為阻力；當aVO時，FI>0,即物體減速時，FI為推力，即FI使既難于加速也難于減速，結果使物體慣性加大，在效果上相當于質量增加了一個附加質量入。附加質量的計算：在物體外部，工內部流場T體積內的流體動能為或T12v2d(6 3 8)式中v2 (-)2 (-)2()2xyz()-(-) ()xxyy zz222(222)xyz所以v2()()-()x x y y z z(6 3 9)根據高斯定理，對于在區(qū)域t及外邊界工和內邊界S上所定義的單值連續(xù)函數P,Q,R有:P Qx yR)dPcos(n, x) Qcos(n, y) Rcos(

21、n,z)dP cos(n, x) Qcos(n,y) Rcos(n,z)ds將上式用于（639）和（6 38）式，可得T cos(n, x) cos(n, y)cos(n,z)d2xyz cos(n, x) cos(n,y)cos(n, z)d2 s xyz由方向導數的定義可知: cos(n,x)cos(n, y) cos(n, z)xyzn因此上式中對工的面積分可以略去不計。以圓柱運動為例，當圓柱體在靜止流體中運動時，其絕對速度勢為21 2n rVcos P速度勢及其微分的量階為 :當工取得足夠大時，fig，則-dn所以動能計算式簡化為-dn(6-40)設單位速度V=1所對應的速度勢用$0表

22、示，則(6 -41)式中(x,y,z,t),V V (t),00(x,y,z)于是(6 -4 0 )可寫成0 d )V2n(6 -4 2)可見,-d在動能表達中處于質量的地位，起質量的作用，也具有質量的量綱，令:(6 -43)僅與物體的形狀和運動的即為附加質量的計算式。 式中$0是v=i所對應的單位速度勢, 方向有關，而與物體的速度或加速度無關，因而附加質量也具有此性質。實際上，物體（如船舶）的運動有六個自由度，在船舶與海洋工程中:縱蕩（surge）:縱向非定常運動，附加質量入,入 ii =(5 m,橫蕩（sway）:橫向非定常運動，附加質量入入2 2（）血；升沉（Heave）:垂向非定常運動

23、，附加質量入橫搖（Roll）:繞x軸的轉動，附加轉動慣量入縱搖（Pitch）:繞y軸的轉動，附加轉動慣量入33(：m;44()Ixx ,55(1 2) Iyy首搖（YOW）：船舶繞Z軸的轉動，相應有附加轉動慣量入66 入55。m, Ixx, Iyy分別為船舶排開的水質量；繞x軸轉動時的轉動慣量；繞y軸的轉動慣量。船舶靠離碼頭，總是要作加速或減速運動，因此要考慮附加質量。另外，在研究船舶橫搖,縱搖時要考慮附加轉動慣量。§6 -7作用在物體上的流體動力和力矩如圖6 -19所示，作用于dS 上的力為pdS，在x和y方向的投影分別為dX pdS sindY pdS cos積分得x和y方向的總

24、力：X pdysY pdxs現按下述表達式定義作用力p和共軛作用力P :Pdy (6 - 62) pdx(6 -6 3)P X iY(6 -6 4)P XiY(6 -6 5)則將(6-6 3)式代入(6-6 5 )式，可得共軛作用力P isP(dxidy)i pdzs(6 -66)由伯努利方程式p C1 21 v在物體周線上dzdSe idSeii2i2edze因此 Pi(Cs'1 22 v )e i2 dz式中i Cesi2 .dzi ;C (dx idy)C 口 sdy故P2i(-)sv ei2dz2 ii(2)s(v e i)dz所以PiC dx 0s圖6 -19dw、2 宀 i

25、(2)血)dz(6 -6 7)i zdwRe = o(丁)dzs dz(6 6 8)i dw 2Im() dzp 冋 Vxs dz2 Y2上兩式即為計算作用在物體上流體動力的卜拉休斯(Blasius)公式。這樣，如果繞任意形狀柱體流動的復勢W (z)為已知，就可以根據這一公式求出作用在單位長度柱體上的共 軛作用力，取實部即得X,取虛部加負號就是Y?，F在來求作用在任意形狀柱體上對坐標原點的力矩。由圖6-19及(6 -6 2 )式，可得dM dY x dX y p(xdx ydy)所以M : p(xdx ydy)(6 -6 9)s由于ZdZ (x iy )(dx idy) xdx ydy) i(y

26、dx xdy)xdx ydy Re(zdz)將伯努利方程p Cv2代入(6 -69)式進行積分。因2 20 C(xdx ydy) C X y |s 0所以22 Jv (xdx ydy)22 SVRezdz因為dz e i2 dz再考慮到|v| $也是實數，上式可寫成:Re(于咖 e i2 zdz)(6 -7 0)M Re()zdz2 s dz上式即為計算作用在物體上的流體動力力矩的卜拉休斯公式。這樣，如果繞任意形狀柱體流動的復勢W(z)為已知，則只要對上式方括號內積分進行運算，然后取其實部，便可求得作用于單位長度柱體上作用力對原點的力矩。例已知速度勢0= x3-3 x y2求流函數2。解：vx3x2 3yxVy6xy2 2vx 3x 3yvy6xyyx將上式積分得：2 2 2 2(3x 3y )dy f (x) 3x y y f (x)式中f(x)為與y無關的函數。將”對x求導： 6xy f