平面向量題型歸納

1、平面向量題型歸納向量有關(guān)概念 ：【任何時候?qū)懴蛄繒r都要帶箭頭】uuur r1向量的概念 ：既有大小又有方向的量， 記作： AB 或 a 。注意向量和數(shù)量的區(qū)別。 向量常用有向線段來表示， 注意 不能說向量就是有向線段 ，為什么？（向量可以平移） 。uuur r例：已知 A（1,2），B（4,2），則把向量 AB按向量 a（ 1,3）平移后得到的向量是uuur r2.向量的模 ：向量的大?。ɑ蜷L度） ，記作： | AB|或 |a|。3 零向量 ：長度為 0 的向量叫零向量，記作：0 ，注意 零向量的方向是任意的 ；4 單位向量： 單位向量 ：長度為 1 的向量。r r uuur uuur若 e

2、是單位向量，則 |e| 1 。（ 與 AB 共線的單位向量是uAuBur ）；|AB |5相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；6平行向量 任何向量平行 。也叫共線向量） ：方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量，記作：a b ， 規(guī)定零向量和提醒 ： 相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念： 不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性 ?。ㄒ驗橛?0）；uuur uuur三點 A、B、C共線AB、AC 共線；如圖，在平行四邊形ABCD 中，下列結(jié)論中正確的是

3、（uuuruuuruuuruuuruuurA. ABCDB. ABADBDuuuruuuruuuruuuruuurC. ADABACD. ADBC0C7r相反向r 量 ：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。 若 ra bruuurBA 。例：下列命題：（1） uuur uuur若 AB DC ，則 ABCD 是uuur a 的r相反r 向r 量r是 ra 、rAB ，則 a b 。（ 2）若 a b,b c，則 a c 。（6）若 ra/ br ,br /cr ，則 ra / rc 。（3） 平行四邊形。 （ 4）若 ABCD 是平行四邊形，則 uAuuBr uDuCur 。其中正確的是 題型

4、 1、基本概念1：給出下列命題： r r r r若|a|b|，則 a = b ；向量可以比較大小； 方向不相同的兩個向量一定不平行；若ar =b，b=cr ，則 ar =cr ；若ar /b，b/cr ，則 ar /cr ；0 ar 0；0 ar 0；其中正確的序號是2、基本概念判斷正誤： （ 1）共線向量就是在同一條直線上的向量。2）若兩個向量不相等，則它們的終點不可能是同一點。3）與已知向量共線的單位向量是唯一的。uuur uuur4）四邊形 ABCD 是平行四邊形的條件是 AB CD 。uuur uuur5）若 AB CD ，則 A、B、C、 D 四點構(gòu)成平行四邊形。6）因為向量就是有向

5、線段，所以數(shù)軸是向量。7）若 a與b共線， b與c共線，則 a與 c共線。r r r r r r8）若 ma mb ，則 a b 。（ 9）若 ma na ，則 m n 。10）若 ar 與br 不共線，則 ar 與 rb都不是零向量。r r r(11)若 a b |a|br |，則 ar / /br 。（12）若 |arr b|r r r r a b|，則 a b。二、向量加減運算8.三角形法則：uuur uuur uuuruuuruuur uuuruuur uuuruuuruuuruuurAB BC AC ；ABBC CDDE AE； ABACCB（指向被減數(shù)）9.平行四邊形法則 ：rrr

6、rrr以 a,b 為臨邊的平行四邊形的兩條對角線分別為ab， a b。題型 2.向量的加減運算uuur uuur uuur uuur uuuur1、化簡 (AB MB) (BO BC) OMuuur uuur uuur2、已知 |OA| 5,|OB| 3,則| AB |的最大值和最小值分別為3、在平行四邊形uuur uuurABCD 中，若 AB ADuuur uuurAB AD ，則必有B.uuur r uuurAB 0或 ADr0 C. ABCD 是矩形D. ABCD 是正方形題型 3.向量的數(shù)乘運算r r r r1、計算：( 1) 3(a b) 2(a b)(2) 2(2a 5b 3rr

7、r) 3( 2a 3b 2cr)題型 4.作圖法求向量的和r r r 1 r r 3r1、已知向量 a, b ，如下圖，請做出向量 3ab和 2ab。22題型 5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量1、已知在ABC中， D是 BC的中點，請用向量uuur uuur uuur AB，AC 表示 AD 。r uuur uuur b ，求 AB和 AD 。uuur r uuur2、在平行四邊形 ABCD中，已知 AC a,BD題型 6.向量的坐標(biāo)運算r r r 1 r1、已知 a (1, 4),b ( 3,8)，則 3ab 。練習(xí)：若物體受三個力 Fr1 (1,2) ,Fr2 ( 2,3) , Fr3 (

8、 1, 4) ,則合力的坐標(biāo)為 uuur2、已知 PQ ( 3, 5)， P(3,7) ，則點 Q的坐標(biāo)是。r r rr rr rr3、.已知 ar( 3,4) ， b(5,2) ，求 arb ，arb，3ar2b 。r uuur2、已知 A(1,2),B(3,2) ,向量 a (x 2,x 3y 2)與 AB 相等，求 x, y的值。uuur uuur r uuur5、已知 O是坐標(biāo)原點， A(2, 1),B( 4,8) ，且 AB 3BC 0，求 OC 的坐標(biāo)。a，有且三平面向量的基本定理 ：如果 e1 和 e2 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量 只有一對實數(shù) 1 、

9、 2 ，使 a= 1 e1 2 e2。基底 ：任意不共線的兩個向量稱為一組基底。題型 7.判斷兩個向量能否作為一組基底ur uur1、已知 e1,e2 是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底：urA. e1uur ur uur e2和e1 e2urB.3e1uur uur2e2和4e2ur ur6e1C.e1uur uur3e2和e2ur uur uur ur3e1D. e2和e2 e1練習(xí)：下列各組向量中，可以作為基底的是()(A)e1(0,0),e2(1, 2)(B) e1( 1,2),e2(5,7)(C) e1 (3,5),e2( 6,10 )(D) e1(2, 3),

10、e2(1 , 3 ) ( , ) 242、 .已知 ar (3,4) ，能與 ar 構(gòu)成基底的是()3 44 33 44A. ( , ) B.( , ) C.( , ) D.( 1, )5 55 55 533、知向量 e1、 e2不共線，實數(shù) (3x-4y)e1(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,則 x y的值等于4、設(shè) e1,e2 是兩個不共線的向量， AB 2e1 ke2 ,CB e1 3e2 , CD 2e1 e2 ，若 A、B、D 三點共線，求 k 的值 .uuur uuur uuur 5、平面直角坐標(biāo)系中， O為坐標(biāo)原點，已知兩點 A(3,1),B(-1,3),若點 C(x, y

11、)滿足 OC =OA +OB ，其中 ,R且 +=1，則 x, y 所滿足的關(guān)系式為( )A 3x+2y-11=0B(x-1)2+(y-2)2=5C2x-y=0D x+2y-5=0四平面向量的數(shù)量積 ：uuur r uuur r1兩個向量的夾角 ：對于非零向量 a，b，作 OA a,OB b， AOB0稱為向量 a，b的夾角，當(dāng) 0時，a， b同向，當(dāng) 時， a ， b反向，當(dāng) 時， a，b2 垂直。rr 實數(shù)與向量的積 ：實數(shù) 與向量 a的積是一個向量，記作a ，它的長度和方向規(guī)定如下： 1 a a , 2rr 當(dāng) >0 時， a 的方向與 a 的方向相同， 當(dāng) <0 時， a

12、的方向與 a 的方向相反， 當(dāng) 0 時， a 0 ，注意 ： a 0。uuur uuur uuur r uuur r uurur r例 1、已知 AD,BE 分別是 ABC 的邊 BC, AC上的中線 ,且 AD a,BE b ,則 BC可用向量 a, b表示為 例 2、已知 ABC中，點 D在BC 邊上，且 CD 2DB ， CD r AB sAC ，則 r s的值是rr2平面向量的數(shù)量積 ：如果兩個非零向量 a ， b ，它們的夾角為 ，我們把數(shù)量 |a|b|cos 叫做 a與b的數(shù)量 rr積(或內(nèi)積或點積) ，記作： a ?b ，即 a ? b a b cos 。規(guī)定：零向量與任一向量的

13、數(shù)量積是0， 注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量 。3向量的運算律：rrrrrrr r r1交換律： aba，aa，a?b b?a ；rrrrrrrrrr r r r r r r r2結(jié)合律： acabc,abcab c ， a ?b a?b a? b ；3分配律：r ar ar a,r ar br ar r r r r r r r b， a b ?c a?c b?c 。題型 8：有關(guān)向量數(shù)量積的判斷1：判斷下列各命題正確與否：( 1) (ab)ca (bc) ；(2)r 若ar brrar cr ，則 b cr 當(dāng)且僅當(dāng) ar 0 時成立；3)(a b) c a c b c；(4) (ar

14、 b) cr ar (b cr )對任意 ar,b,cr 向量都成立；rr r rrrrr 25）若 a0,ab a c ，則 bcr ；（ 6）對任意向量ar ，有a2a 2。2、下列命題中： a ( bc)a b a c ；a ( bc)(a b ) c ；rrr r r(a b )2|a |22|a|b|b|2 ； 若 a b0 ，則a0或 b 0；若 a bc b, 則 arrabr r 2r2r2r r 2 r 2rrr2 r 2br ；(a b)2ab；( a b)2 a2a bb。其中正確的是 ar題型 9、求單位向量【與 a 平行的單位向量：erar 】（7）m（ a b）=m

15、 a +mb 其中正確的序號是 。|a|r2 ra1.與 ar （12,5） 平行的單位向量是r12.與 mr （ 1, 1） 平行的單位向量是2題型 10、數(shù)量積與夾角公式： a b |a| |b| cos ；cosab|a | |b |向量的模：若 ar(x, y) ，則 |a| x2 y2 ， a |a|2，|a1、ABC中， | AB | 3，| AC | 4，| BC | 5，則 AB BC r 1 r 1 r r r ur r r r ur2、已知 a (1, ),b (0, ),c a kb,d a b，c與 d 的夾角為 ，則 k 等于_ 2 2 43、已知 |ar | 3,|

16、br | 4，且 ar 與br 的夾角為 60o ，求( 1)ar br ，(2)ar (ar br) ， r 1 r r r r r r(3)(ab) b ，(4)(2a b) (a 3b) 。24、已知 ar ,br 是兩個非零向量，且 ar br ar br ，則 ra與 ar br 的夾角為5、已知 ar ( 3,1),br ( 2 3,2) ，求 ar 與br 的夾角。6、已知 A(1,0) ， B(0,1) ， C(2,5) ，求 cos BAC。7、已知非零向量 a,b 滿足 a b，b （b 2a） ，則 a與b 的夾角為 ou ur uuur8：已知 ABC中 ABC 50o

17、,BC BA,則 BA與 AC 的夾角為rrr r rr ra9：已知向量a與向量b的夾角為120°，若向量c=a+b，且ac，則r的值為b10：已知|a |1| b |2，| a b |2，則b與 2a - b的夾角余弦值為11：已知向量 ra= 2 ， rb=2， ar和br的夾角為 135 ，當(dāng)向量 ar+ br與 ra+br的夾角為銳角時，求 的取值范圍。題型 11、求向量的模的問題 如向量的模：若a(x, y) ，則 |a|2r(a rb ra2| ra1、已知零向量 a (2，1), a.b10, a b5 2，則b2、已知向量a,b 滿足 a 1, b2, a b2，則

18、 a3、已知向量a (1, 3) ， b( 2,0)，則ab4、已知向量a (1,sin ),b(1, cos ),則a b 的最大值為5、(A) 8(B)(C) 2(D) 1設(shè)點 M 是線段 BC 的中點，點 A 在直線 BC 外，6、 設(shè)向量 a，b滿足 a b 1及 4a 3b 3，求 3a 5b 的值練習(xí)：已知向量 a,b滿足 a 2,b 5,a.b 3，求 a b和 a b7、 設(shè)向量 a，b滿足 a 1,b 2,a (a 2b),則 2a b的值為r8、已知向量 a、b滿足 a 1， |b| 4，則|a b |的最大值是最小值是題型 12、結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)uuur o uuu

19、r1. 已知O是坐標(biāo)原點，點 A在第二象限， |OA| 2， xOA 150o，求 OA的坐標(biāo)。uuur o uuur2.已知 O是原點，點 A在第一象限， |OA| 4 3， xOA 60o，求 OA的坐標(biāo)。r r r r五、平行與垂直知識點： a/ /b a b x1y2 x2y1 ； 題型 13：向量共線問題 1、已知平面向量 a （2，3x），平面向量 b （ 2， 18），若 a b ，則實數(shù) x2、設(shè)向量 a （2，1），b （2，3）若向量 a b 與向量 c （ 4， 7）共線，則3、已知向量 a （1，1），b （2，x）若 a b與4b 2a 平行，則實數(shù) x的值是（）A

20、-2B 0C1D 2uuur uuur uuur練習(xí)：設(shè) PA （k,12）,PB （4,5）, PC （10,k ） ，則 k時， A,B,C 共線5、已知 a,b不共線， c ka b,d a b，如果 cd，那么 k= ,c與 d的方向關(guān)系是練習(xí)：已知 a （1,1）,b （4, x） ， u a 2b，v 2a b，且 u/v ，則 x6、已知向量 a （1，2），b （ 2，m）,且 a b，則 2a 3b 題型 14、 向量的垂直問題1、已知向量 a （x，1）,b （3,6）且a b ，則實數(shù) x的值為2、已知向量 a （1， n），b （ 1， n），若 2a b與b垂直，則

21、a練習(xí)：已知 a =（1，2），b =（-3，2）若 k a +2 b與2 a -4 b垂直，求實數(shù) k 的值3、已知單位向量 m和n的夾角為 ，求證：（ 2n m） m34、a （3，1）, b （1,3），c （k,2）,若（ a c） b，則 k練習(xí)： a （1，2）,b （2, 3），若向量 c滿足于（ c a）b ，c （a b），則c _5、以原點 O和 A（4,2）為兩個頂點作等腰直角三角形 OAB ， B 90 ，則點 B的坐標(biāo)是 題型 15、 b在a上的投影 為|br |cos ，它是一個 實數(shù)，但不一定大于 0。1、已知|a| 3，|b| 5，且ab 12，則向量 a在向量

22、 b上的投影為2、已知 a 8 ， e是單位向量，當(dāng)它們之間的夾角為時， a在 e方向上的投影為3練習(xí)：已知 a 5, b 4， a與b的夾角2 ，則向量 b 在向量 a上的投影為題型 16、三點共線問題1.已知 A(0,2)，B(2, 2) ，C (3, 4)，求證：A,B,C 三點共線。uuur2rr uuurrr uuurrr2.設(shè) AB22(ar5b), BC2a8b,CD3(a b) ，求證： A、B、D 三點共線。uuurr r uuur rr uuurrr練習(xí)：已知ABa 2b,BC 5a6b,CD7a 2b ，則一定共線的三點是3.已知 A(1,3)，B(8, 1) ，若點 C

23、(2a 1,a2) 在直線 AB 上，求 a的值。uuur uuur uuur 4.已知四個點的坐標(biāo) O(0,0) ， A(3, 4) ， B( 1,2) ， C(1,1)，是否存在常數(shù) t，使 OA tOB OC 成立？5：e1,e2 是平面內(nèi)不共線兩向量，已知 AB e1 ke2, CB 2e1 e2,CD 3e1 e2 ，若A, B, D 三點共線，則 k =6：設(shè) O是直線 l外一定點， A、B、C 在直線 l 上，且 OB 3OA xOC,則 x =7：設(shè) a ， b是兩個不共線向量，若 a與b起點相同， t R， t=時， a，tb，1 r r (ab )三向量的終點在一條直線上。

24、38：如圖，在 ABC 中，點 O 是 BC 的中點，過點 O 的直線分別交直線 AB、AC 于不同 的兩點 M、N，若ABmAM ，ACnAN ，則 mn 的值為 9:在OAB 的邊 OA，OB 上分別取點 M ，N ，使|OM | O|A | 13，|ON | O|B|14，設(shè)線段 AN 與 BM 交于點 P，記OA a， OB b，用 a，b 表示向量 OP.練習(xí)：如圖， 在OAB 中，OC14OA，OD12OB，AD 與 BC 交于點 M，設(shè)OAa，OBb.(1)用 a、b表示OM ；71p37q1.(2)已知在線段 AC 上取一點 E，在線段 BD 上取一點 F，使 EF 過 M 點

25、，設(shè) OEpOA，OF qOB，求證：uuur uuur，使P1PPP2 ，六、線段的定比分點1定比分點的概念 ：設(shè)點 P是直線 P1P2 上異于 P1 、P 2的任意一點， 若存在一個實數(shù)uuuur uuuur則 叫做點 P 分有向線段 P1P2 所成的比， P 點叫做有向線段 P1P2 的以定比為 的定比分點；>0；當(dāng) P點在線段 P1 P2的延長2 的符號與分點 P 的位置之間的關(guān)系 ：當(dāng) P點在線段 P1P2上時 線上時<1；當(dāng) P點在線段 P2 P 1的延長線上時1 0；uuur 3 uuur例 1、若點 P 分 AB 所成的比為 3 ，則 A 分 BP 所成的比為 x，

26、則yx1x21y1 y214uuuur3線段的定比分點公式 ：設(shè) P1(x1,y1)、P2(x2,y2) ，P(x, y)分有向線段 P1P2所成的比為xx1x22P1 P2 的中點公式y(tǒng)y1y2 。2特別地，當(dāng) 1 時，就得到線段題型 17、定比分點12、若 M(-3，-2)，N(6，-1)，且 MPMN，則點 P 的坐標(biāo)為 31 uuuur uuur3、已知 A(a,0), B(3,2 a)，直線 y ax與線段 AB交于 M ，且 AM 2MB ，則 a等于七、平移公式 ：如果點 P(x,y) 按向量 ar h,k 平移至 P(x,y )，則 x x h ；曲線 f (x,y) 0 按向

27、量 y y kra h,k 平移得曲線 f (x h, y k) 0.注意 ：(1)函數(shù)按向量平移與平常 “左加右減 ”有何聯(lián)系？ (2)向量平 移具有坐標(biāo)不變性， 題型 18、平移1、按向量 ar 把 (2, 3)平移到 (1, 2) ，則按向量 ra把點 ( 7,2)平移到點 2、函數(shù) y sin 2x的圖象按向量 a 平移后，所得函數(shù)的解析式是 y cos2x 1，則 a 八、向量中一些常用的結(jié)論：( 1)一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；(2)|ar | |br | |ra br | |ar | |br |，特別地，當(dāng) ra、br 同向或有 0r |ar br |

28、|ar | |br |r r r r r r r r r r r r r r r r rr|a|r |b|r| |ar b|r ； 當(dāng)r a、b 反 向 或 有 0 |a b| |a| |b| |a| |b| |a b| ； 當(dāng) a、b 不 共 線 |ra| |br | |ar br | |ar | |br |(這些和實數(shù)比較類似 ).(3)在ABC中，若 Ax1, y1,Bx2,y2,Cx3, y3，則其重心的坐標(biāo)為 Gx1x2x3,y1y2y333如1、若 ABC 的三邊的中點分別為( 2，1)、(-3，4)、(-1，-1)，則 ABC 的重心的坐標(biāo)為 uuuruuuruuuruuurPG

29、13(PAPBPC)uuuruuuruuuruuuruuurPAPBPBPCPCG 為 ABC 的重心，特別地uuurPA P 為 ABC 的垂心；uuurPAP 為 ABC 的重心；uuur uuur向量 ( uAuBuruAuCur )(0) 所在直線過 ABC的內(nèi)心 (是 BAC 的角平分線所在直線 )；|AB| |AC |P ABC 的內(nèi)心；uuur uuur uuur uuur uuur uuur r| AB|PC |BC |PA |CA|PB 0uuuur（ 3）若 P 分有向線段 P1P2 所成的比為uuuur uuuur中點 uMuPur MP1 MP2 ；2，點 M 為平面內(nèi)

30、的任一點，則uuurMPuuuur uuuurMP1MP2 ，特別地 P為 P1P2的1uuur uuur uuur4)向量 PA、PB、PC中三終點 A、B、C 共線存在實數(shù)uuuruuuruuur使得 PA PBPC 且1.如2、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知兩點A(3,1) ,B( 1,3) ,若點 C 滿足 OC 1 OA 2 OB ,其中1, 2 R且 1 2 1,則點 C 的軌跡是 題型 19、判斷多邊形的形狀uuur r uuur r uuur uuur1.若 AB 3e，CD5e，且 |AD| | BC |,則四邊形的形狀是2.已知 A(1,0) ， B(4,3) ，C(

31、2,4)， D (0,2) ，證明四邊形 ABCD是梯形。3.已知 A( 2,1) ， B(6, 3) ， C (0,5) ，求證： ABC是直角三角形。4、在 ABC中，若 BA BA AB CB 0 ，則 ABC的形狀為( )A 等腰三角形 B等邊三角形C等腰直角三角形D 直角三角形uuur uuur uuur5、在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)， OA ( 1,8),OB ( 4,1),OC (1,3) ,求證： ABC是等腰直角三角形。6、平面四邊形 ABCD中， AB a，BC b，CD c， DA d ，且a b b c c d d a ，判斷四邊形 ABCD的形狀題型 20：三角形四心uuuv

32、 uuuv uuuv v1、已知 ABC的三個頂點 A、B、C 及 ABC所在平面內(nèi)的一點 P，若 PA PB PC 0 則點 P 是 ABC 的 ()A 重心B垂心C內(nèi)心D 外心uur uur u uuruuuru uuruuur2. 已知點 O是三角形所在平面上一點，若 OAOB OBOC OCOA,則 O是三角形 ABC的( )( A)內(nèi)心( B)外心(C)重心(D )垂心uuur2 uuur2 uuur 23、已知點 O 是三角形所在平面上一點，若 OA OB OC ，則 O是三角形 ABC 的(A）內(nèi)心B）外心C）重心D ）垂心練習(xí)、已知O，N，P在ABC 所 在 平 面 內(nèi) ，且O

33、AOBPA?PBPB? PCPC ? PA，則點O，N，P 依次是ABC的（）（ A ）重心 外心垂心 （B）重心外心內(nèi)心（ C）外心 重心垂心 （D）外心重心內(nèi)心uuruuruuruuuruuur uur4、在平面內(nèi)有ABC 和點O，若 AB(OAOB)AC(OC OA)0，則點O是A重心B垂心C內(nèi)心D外心OC , NAABC 的NBNC 0 ， 且5、已知點 O 是平面上一個定點，A、B、C 是平面內(nèi)不共線三點，uuur動點 P 滿足 OPuuurOAuuur( ABuuurAC) , R，則動點 P 一定通過 ABC的（A）內(nèi)心B）外心C）重心D）垂心6、已知點 O是平面上一個定點， A、B 、C是平面內(nèi)不共線三點，uuur動點 P 滿足 OPuuurOAuuur uuur AB AC uuur + uuur | AB | AC |R ，則動點 P 一定通過 ABC 的（A）內(nèi)心B）外心C）重心D）垂心7、 已 知點 O 是 平 面上 一個 定 點 ，A 、 B 、 C 是 平 面 內(nèi) 不 共 線 三 點 ，動點uuur 滿 足 OPuuurOAuuuruu