淺談數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化論文

1、內(nèi)容提要：數(shù)學(xué)的很多方法是有辯證性的，比如具體與抽象；演繹與歸納；發(fā)現(xiàn)與證明；分析與綜合；這些方法之間有聯(lián)系又有區(qū)別。數(shù)學(xué)是人類最古老的科學(xué)知識之一，它主要是研究現(xiàn)實生活中數(shù)與數(shù)、形與形，以及數(shù)與形之間相互關(guān)系的一門學(xué)科。他們發(fā)展也經(jīng)歷的很多的坎坷，在磨礪中他也得以不斷的成長。說到數(shù)學(xué)美 ，人們自然會聯(lián)想到令人心馳神往的優(yōu)美而和諧的黃金分割；雄偉壯麗的科學(xué)宮殿的歐幾里得平面幾何；數(shù)學(xué)皇冠上的明珠“哥德巴赫猜想”。數(shù)學(xué)的一種文化表現(xiàn)形式，就是把數(shù)學(xué)溶入語言之中。在數(shù)學(xué)的發(fā)展中，形成許多哲學(xué)的觀點，有以羅素為代表的邏輯主義，以布勞威爾為代表的直覺主義，以希爾伯特為代表的形式主義三大學(xué)派。關(guān)鍵字：數(shù)

2、學(xué)方法 數(shù)學(xué)發(fā)展 三次數(shù)學(xué)危機 數(shù)學(xué)美 數(shù)學(xué)與哲學(xué)淺談數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化一、情深意濃學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心得和感想從小就對數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣，數(shù)學(xué)能給我?guī)硪恢逼婷畹纳衿娴母杏X，而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更是讓我學(xué)到很多東西。在思維上，邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)，和思考的妙趣，是其他學(xué)科不能給我的。在求學(xué)的態(tài)度上，數(shù)學(xué)教給我的是腳踏實地。對數(shù)學(xué)的感覺有時不能用語言來描述，我相信很多和我一樣喜歡數(shù)學(xué)的都對數(shù)學(xué)有著奇妙的感情。當(dāng)同學(xué)表示學(xué)數(shù)學(xué)的枯燥時我很不能理解，在我看來數(shù)學(xué)是最實在，有趣味的，他就像是一個老朋友，等著去解讀。漢克爾曾說數(shù)學(xué)科學(xué)的特點是：高度的抽象性，體系的嚴(yán)謹(jǐn)性，應(yīng)用的廣泛性，發(fā)展的延續(xù)性。我懂得數(shù)學(xué)的高深，想來我沒有足夠

3、的能力去深入的解讀去體味，因而高考沒有選數(shù)學(xué)專業(yè)?，F(xiàn)在又有一次機會讓我可以接觸數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的神奇，美妙，毫不猶豫的選了數(shù)學(xué)文化，對數(shù)學(xué)的很多感受現(xiàn)在可以通過這次機會表達(dá)一二。二、智慧展現(xiàn)數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想將數(shù)學(xué)的智慧和魅力展現(xiàn)得淋漓盡致，這些凝聚了數(shù)學(xué)家們智慧的知識不是幾句話就能說明白。數(shù)學(xué)的方法是貫穿了整個數(shù)學(xué)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在此我將我所學(xué)到的和我心中所想的一些數(shù)學(xué)方法和思想寫出略表我對數(shù)學(xué)的解讀。數(shù)學(xué)的很多方法是有辯證性的，比如具體與抽象；演繹與歸納；發(fā)現(xiàn)與證明；分析與綜合；這些方法之間有聯(lián)系又有區(qū)別。（一）、具體與抽象具體是社會實踐，是客觀存在的東西，因

4、為數(shù)學(xué)是源于社會實踐的。同時數(shù)學(xué)是一種利用自身已有的概念、定理、公設(shè)，借助已知的相互關(guān)系，通過推理、計算而獲得新發(fā)現(xiàn)的學(xué)科。數(shù)學(xué)的概念是抽象的，數(shù)學(xué)的方法也是抽象的。愛因斯坦相對論的發(fā)現(xiàn)恰恰是借助于數(shù)學(xué)的方法論路徑去實現(xiàn)的，如果沒有非歐幾何人類可能還要在牛頓的時空觀中走過許多年才能尋找到相對論。數(shù)學(xué)方法的抽象是借助數(shù)學(xué)概念、公理、定理、公設(shè)等，把所有涉及研究對象的概念以及研究對象的抽象性歸并匯集在一起，找出他們更具體抽象、統(tǒng)一的結(jié)論。這種抽象方法，人們一般冠以公理化方法。它大大拓寬了人們的視野，從只抽象個別對象擴展到抽象整個數(shù)學(xué)理論的邏輯結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)在，數(shù)學(xué)研究的對象已不是具體、特殊的對象，而是抽

5、象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（二）、演繹與歸納演繹法是由一般到特殊的推理，它有三段論的表現(xiàn)形式，由一般的判斷，特殊判斷，結(jié)論三部分組成。歸納與演繹不同，歸納是這樣一種推理：其中所得到的結(jié)論超越了經(jīng)驗材料所提供的東西的一種經(jīng)驗猜想?？雌饋須w納與演繹很有區(qū)別的，事實歸納與演繹是相依而存、互為發(fā)展、對立統(tǒng)一的。恩格斯在自然辯證法中說：“我們用世界上的一切歸納法都永遠(yuǎn)不能把歸納過程弄清楚，只有對這個過程的分析才能做到這一點歸納與演繹，正如分析與綜合一樣是必然相互聯(lián)系著的，不應(yīng)當(dāng)犧牲一個而把另一個捧上天，應(yīng)當(dāng)把每一個用到該用的地方，而要做到這一點，就只有注意它們的相互聯(lián)系，它們的相互補充?！保ㄈ?、發(fā)現(xiàn)與證明發(fā)現(xiàn)實際

6、上就是定律的發(fā)現(xiàn)和理論地提出問題，最主要是通過假說，猜想。猜想是提出新思想，一個猜想可以帶出或生出一個新的學(xué)科方向。比如，對歐氏第五公設(shè)的證明產(chǎn)生了非歐幾何理論，四色猜想對開辟數(shù)學(xué)研究新途徑有重要意義。在數(shù)學(xué)史上有很多有名猜想，人們熟悉的費馬猜想，曾是一個懸賞10萬馬克的定理，實際上，它是源于幾千年前的勾股定理。德國數(shù)學(xué)家曾宣稱：當(dāng)n大于2時，不存在一個整數(shù)n次冪是另外兩個整數(shù)n次冪之和。數(shù)學(xué)家韋爾斯花了34年心血來解這道難題，并獲得沃爾夫獎。許許多多數(shù)學(xué)猜想是由簡單到復(fù)雜無休無止地產(chǎn)生出來。一個猜想解決了，又猜想出來了，數(shù)學(xué)家們總有解決不完的猜想。許多重要猜想，總能吸引眾多數(shù)學(xué)家為此皓首窮經(jīng)

7、。在證明各個猜想的過程中，數(shù)學(xué)們會取得一系列重要理論成果。（四）、分析與綜合分析是由未知去推導(dǎo)已知，在假定的前提下導(dǎo)出結(jié)論，而這一結(jié)論恰恰是已給出的條件或已知的命題。綜合是由已知命題開始，通過演繹、歸納能一連串來導(dǎo)出未有的命題，或解決所要給出的問題的解。善于結(jié)合運用這些數(shù)學(xué)方法可以更好的來解決數(shù)學(xué)問題和體會數(shù)學(xué)的內(nèi)涵。三、成長與磨礪數(shù)學(xué)的發(fā)展 寫關(guān)于數(shù)學(xué)文化不得不寫數(shù)學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)是人類最古老的科學(xué)知識之一，它主要是研究現(xiàn)實生活中數(shù)與數(shù)、形與形，以及數(shù)與形之間相互關(guān)系的一門學(xué)科。他們發(fā)展也經(jīng)歷的很多的坎坷，在磨礪中他也得以不斷的成長。 首先是數(shù)學(xué)的萌芽階段，在這一時代的杰出代表是古巴比倫數(shù)學(xué)、

8、中國數(shù)學(xué)、埃及數(shù)學(xué)、印度數(shù)學(xué)等。古埃及文化可追溯到公元前4000年，在那里，公元前3200年就已有了統(tǒng)一的國家。公元前2900年，開始建筑金字塔，就金字塔的建筑來講，已經(jīng)具備一些初等幾何的知識；巴比倫文化可以上溯到公元前2000年左右的蘇美爾文化，這一時期，人們基于對量的認(rèn)識，經(jīng)建立了數(shù)的概念。從大約公元前1800年開始，巴比倫已經(jīng)使用較為系統(tǒng)的以60為基數(shù)的數(shù)系；另一個重要的是古希臘數(shù)學(xué)，希臘文化在世界文明史上的貢獻(xiàn)是至高無上的。它廣泛的吸取了其他文明中的有價值的東西，創(chuàng)立了自己的文明與文化，對西方文明乃至世界文明的發(fā)展起了重要作用；同時，在中亞和東方也創(chuàng)造了燦爛的數(shù)學(xué)文化。自公元前8世紀(jì)起

9、，印度已有一些豐富的數(shù)學(xué)知識。中國數(shù)學(xué)是世界數(shù)學(xué)史中的瑰寶，在仰韶文化中，已經(jīng)出土的陶器上已刻有用 |，|，|，|等表示1，2，3，4的記號。西安半坡出土的陶器中就有用圓點堆成的三角形或正多邊形。然后是常數(shù)學(xué)階段，這時期，數(shù)位希臘數(shù)學(xué)家取得輝煌成就，在2000年時間內(nèi)，希臘人創(chuàng)造的文明一直延續(xù)到牛頓時代。M.克萊因在評價希臘人的幾何原本和圓錐曲線時說：“從這些精心撰述的著作中，我們看得出此前三百年間數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造性工作，或此后數(shù)學(xué)史上關(guān)系重大的一些問題?！闭f道希臘時代的輝煌，不得不提到希臘璀璨的數(shù)學(xué)家們。畢達(dá)哥拉斯，曾被人們認(rèn)為是一個神秘主義者，據(jù)說他“十分之一是天才，十分之九是純粹的囈語者?！?/p>

10、他把證明引入了數(shù)學(xué)，這也是他最偉大的功績之一。畢達(dá)哥拉斯還提出了抽象，抽象引發(fā)了幾何的思辨，從實物的數(shù)與形，抽象到數(shù)學(xué)上的數(shù)與形，本身就把數(shù)學(xué)推向科學(xué)的開始。在希臘數(shù)學(xué)時期還有芝諾的四個簡單悖論，這四個簡單悖論震驚了哲學(xué)界。在希臘數(shù)學(xué)里最主要的工作精華和最大的光榮落在了歐幾里德和阿波羅尼奧斯的頭上。歐幾里德撰寫的幾何原本是古希臘數(shù)學(xué)的集大成，它充分發(fā)揮了希臘哲學(xué)的優(yōu)勢，借助演繹推理，展現(xiàn)給人們一個完整的典范的學(xué)科系統(tǒng)。它從定義、公設(shè)、公理，一步一步，由遠(yuǎn)及近，由表及里地推證出大量豐富的結(jié)果。阿波羅尼奧斯的突出工作是圓錐曲線論，圓錐曲線論的杰出工作，幾乎將圓錐曲線的所有性質(zhì)開采殆盡，以至使后代許

11、多幾何學(xué)工作者至少是在笛卡爾之前的近2000年間，不敢對此再有發(fā)言權(quán)。后人提到評價圓錐曲線，評價阿波羅尼奧斯，就聯(lián)想到我國李白登黃鶴樓時，看到崔顥詩后的“眼前有景道不得，崔顥題詩在上頭”的那樣一種心情。還有阿基米德的得意之作論球與圓柱，也是數(shù)學(xué)上的杰作。與此同時，在東方是中國，這一時期也是數(shù)學(xué)文化最輝煌的時代，它與希臘的數(shù)學(xué)文化呈現(xiàn)出一種交相輝映的繁榮局面。中國著作九章算術(shù)給出了三元一次方程組的解法，同時在世界歷史上第一次使用負(fù)數(shù)，敘述了對負(fù)數(shù)進行運算的規(guī)則，也給出了求平方根和立方根的方法。 然后就進入了變量數(shù)學(xué)建立時期，有笛卡爾著作幾何學(xué)，以及牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立的微積分，這些都推進了數(shù)學(xué)的進

12、步，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是很重要的一個里程碑。在大一的時候就學(xué)了微積分，微分及其中的變量、函數(shù)和極限等概念，運動、變化等思想，是辯證法滲入了全部數(shù)學(xué)：并使數(shù)學(xué)成為精確表述自然科學(xué)和技術(shù)的規(guī)律及有效地解決問題的有力工具。最后是現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期，其中比較突出的問題是高于四次的代數(shù)方程的根式求解問題、歐幾里德幾何中平行線公設(shè)的證明問題和微積分方法的邏輯基礎(chǔ)問題。代數(shù)、幾何、分析領(lǐng)域中這些問題得以研究和解決，數(shù)學(xué)學(xué)科的分支得以迅速發(fā)展。順著時間的發(fā)展將數(shù)學(xué)史大概說了下，現(xiàn)在我想特意說說在數(shù)學(xué)史上出現(xiàn)的三次數(shù)學(xué)危機。第一次數(shù)學(xué)危機：由畢達(dá)哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”和“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”。畢達(dá)哥拉

13、斯定理提出后，其學(xué)派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)2 的誕生。小小2的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨大風(fēng)暴。它直接動搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。 第二次數(shù)學(xué)危機導(dǎo)源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學(xué)理論與實踐認(rèn)識的提高，十七世紀(jì)幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數(shù)學(xué)工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發(fā)現(xiàn)。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具后變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼

14、茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴(yán)格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。 羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機：十九世紀(jì)下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論， 1903年，英國數(shù)學(xué)家羅素提出著名的羅素悖論。羅素構(gòu)造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根

15、據(jù)定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。羅素悖論一提出就在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界與邏輯學(xué)界內(nèi)引起了極大震動，引起的巨大反響則導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機。 四、數(shù)學(xué)韻味數(shù)學(xué)的美說到數(shù)學(xué)美 ，人們自然會聯(lián)想到令人心馳神往的優(yōu)美而和諧的黃金分割；雄偉壯麗的科學(xué)宮殿的歐幾里得平面幾何；數(shù)學(xué)皇冠上的明珠“哥德巴赫猜想”數(shù)學(xué)美可以分為形式美和內(nèi)在美。數(shù)學(xué)中的公式、定理、圖形等所呈現(xiàn)出來的簡單、整齊以及對稱的美是形式美的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)中有字符美和構(gòu)圖美還有對稱美，數(shù)學(xué)中的對稱美反映的是自然界的和諧性，在幾何形體中，最典型的就是軸對稱圖形。數(shù)學(xué)中的簡潔美，數(shù)學(xué)具有形式簡潔、有序、規(guī)整和高度統(tǒng)一的特點，許多紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象，可以歸納

16、為簡單的數(shù)學(xué)公式。數(shù)學(xué)的內(nèi)在美有數(shù)學(xué)的和諧美，數(shù)量的和諧，空間的協(xié)調(diào)是構(gòu)成數(shù)學(xué)美的重要因素。數(shù)學(xué)中的嚴(yán)謹(jǐn)美，嚴(yán)謹(jǐn)美是數(shù)學(xué)獨特的內(nèi)在美，我們通常用“滴水不漏”來形容數(shù)學(xué)。它表現(xiàn)在數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密，數(shù)學(xué)定義準(zhǔn)確揭示概念的本質(zhì)屬性，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)完備等等?？傊瑪?shù)學(xué)美的魅力是誘人的，數(shù)學(xué)美的力量是巨大的，數(shù)學(xué)美的思想是神奇的，數(shù)學(xué)是一個五彩繽紛的美的世界。五、華麗外套數(shù)學(xué)語言語言是文化的載體和外殼。數(shù)學(xué)的一種文化表現(xiàn)形式，就是把數(shù)學(xué)溶入語言之中。數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)特有的形式化的符號體系，依靠這種語言進行思維，能夠使思維在可見的形式下再現(xiàn)出來。數(shù)學(xué)語言包括文字語言、符號語言和圖形語言。文字語言包括日常生

17、活的語言，還有數(shù)學(xué)的特殊語言，各種名詞、術(shù)語。在生活中，數(shù)學(xué)語言處處存在。“不管三七二十一”涉及乘法口訣，“三下二除五就把它解決了”則是算盤口訣。再如“萬無一失”，在中國語言里比喻“有絕對把握”，但是，這句成語可以聯(lián)系“小概率事件”進行思考。“十萬有一失”在航天器的零件中也是不允許的。此外，“指數(shù)爆炸”“直線上升”等等已經(jīng)進入日常語言。它們的含義可與事物的復(fù)雜性相聯(lián)系（計算復(fù)雜性問題），正是所需要研究的?！笆聵I(yè)坐標(biāo)”“人生軌跡”也已經(jīng)是人們耳熟能詳?shù)脑~語。六、內(nèi)涵數(shù)學(xué)與哲學(xué)在數(shù)學(xué)的發(fā)展中，形成許多哲學(xué)的觀點，有以羅素為代表的邏輯主義，以布勞威爾為代表的直覺主義，以希爾伯特為代表的形式主義三大學(xué)

18、派。 （一）、邏輯主義羅素在1903年出版的數(shù)學(xué)的原理中對于數(shù)學(xué)的本性發(fā)表了自己的見解。他說：“純粹數(shù)學(xué)是所有形如p蘊涵q的所有命題類，其中p和q都包含數(shù)目相同的一個或多個變元的命題，且p和q除了邏輯常項之外，不包含任何常項。所謂邏輯常項是可由下面這些對象定義的概念：蘊涵，一個項與它所屬類的關(guān)系，如此這般的概念，關(guān)系的概念，以及象涉及上述形式一般命題概念的其他概念。除此之外，數(shù)學(xué)使用一個不是它所考慮的命題組成部分的概念，即真假的概念?！边@種看法是羅素自己最早發(fā)表的關(guān)于邏輯主義的論點。這種看法在以前也不同程度被戴德金、弗雷格、皮亞諾、懷特海等人表達(dá)過。戴德金在1872年出版了連續(xù)性及無理數(shù)一文，

19、在這篇文章中，他把有理數(shù)做為已知，進而分析連續(xù)性這個概念。為了要徹底解決這個問題，必須考慮有理數(shù)乃至自然數(shù)產(chǎn)生的問題。他認(rèn)為應(yīng)該建立在邏輯基礎(chǔ)上，但沒有實行。（二）、直覺主義直覺主義有著長遠(yuǎn)的歷史，它植根于數(shù)學(xué)的構(gòu)造性當(dāng)中。古代數(shù)學(xué)大多是算，只是在歐幾里得幾何學(xué)中邏輯才起一定作用。到了十七世紀(jì)解析幾何和微積分發(fā)明之后，計算的傾向大大超過了邏輯傾向。十七、十八世紀(jì)的創(chuàng)造，并不考慮邏輯的嚴(yán)格，而只是醉心于計算?，F(xiàn)代直覺主義的奠基人是布勞威爾， 布勞威爾是從哲學(xué)中得出自己觀點的，基本的直覺是按照時間順序出現(xiàn)的感覺，而這形成自然數(shù)的概念。這倒不是新鮮的，他認(rèn)為數(shù)學(xué)思維是頭腦中的自由構(gòu)造，與經(jīng)驗世界無關(guān)，只受基本數(shù)學(xué)直覺為基礎(chǔ)的限制，在這方面他是不同于法國經(jīng)驗主義者的。數(shù)學(xué)概念進入人腦是先于語言、邏輯和經(jīng)驗的，決定概念的正確性是直覺，而不