三角形的面積計算教學(xué)研究_第1頁
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文檔簡介

1、從忘記“+2 2”說起關(guān)于“三角形的面積計算”的教學(xué)研究華中科技大學(xué)附屬小學(xué)馮勝楊道吉摘要:本研究從學(xué)生在計算三角形面積時,出現(xiàn)忘記“+2 2”的現(xiàn)象入手,比較數(shù)學(xué)知識的形成過程以及學(xué)生的已經(jīng)經(jīng)驗,思考學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的障礙,探尋三角形的面積計算的有效教學(xué)策略。關(guān)鍵詞:典型錯誤,教材分析,教學(xué)建議,實驗結(jié)果在教學(xué)中,我們會發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生在計算三角形面積時,會直接用“底 X X 高”。如果我們讓學(xué)生檢查,他們會很快發(fā)現(xiàn)自己忘記“+2 2”,并很快訂正。通常,我們把這樣的錯誤看作是學(xué)生“粗心”造成的,真的是粗心嗎?為什么有些學(xué)生經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練后,還在出現(xiàn)此類錯誤呢?面對這樣的現(xiàn)象,筆者認(rèn)為我們不能簡單地站

2、在“成人視角”去理解,而應(yīng)更多以“兒童視角”來分析產(chǎn)生此類錯誤的原因,以便我們運(yùn)用更適合兒童心理的教學(xué)方法,盡量避免孩子們在認(rèn)識上“少走彎路”?;谶@樣的認(rèn)識,筆者開展了有關(guān)“三角形的面積計算”的教學(xué)研究,準(zhǔn)備從學(xué)生作業(yè)錯例分析入手,結(jié)合對教學(xué)內(nèi)容的再次思考,探尋學(xué)生錯誤的真實原因,提出較為合理的教學(xué)建議。一、三角形面積計算的典型錯誤和錯因分析(一)測試的問題及意圖在設(shè)計測試的問題時,我們將三角形的面積計算的數(shù)學(xué)運(yùn)用分為了三個層次。序號測試問題設(shè)計意圖1 1計算卜面二角形的面積。(單位:厘米)三角形面積計算公式的正向運(yùn)用層次。4.24.22 2一個二角形的面積是 2424 平方厘米,圖是 4.

3、84.8 厘三角形面積計算公式的逆米。這個三角形的底是多少?向運(yùn)用層次。3 3有塊三角形的菜地,底是 35m35m 比高多 13m,13m,如果每 2020 平方分米有一棵大白菜。這塊菜地共有多少棵大白菜?該問題中三角形的面積計算是解決最終問題的過渡性問題, 屬于三角形面積計算的情境運(yùn)用層次。(二)測試的對象和過程20132013 年 1111 月,我們選擇了使用人教版課標(biāo)教材小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊的個教學(xué)班。其中 2 2 個班的學(xué)生作為對照班在沒有使用本研究的教學(xué)建議學(xué)習(xí)算”后完成測試, 另一個班的學(xué)生作為實驗班在使用本研究的教學(xué)建議學(xué)習(xí)算”后完成測試。測試后我們對學(xué)生的解題情況進(jìn)行初步整理,

4、在整理的基礎(chǔ)上選擇了部分學(xué)生單獨進(jìn)行訪談,測試與訪談在同一天完成。(三)測試的結(jié)果與分析1 1 . .三角形的面積計算運(yùn)用的整體掌握情況我們將對照班的 7878 名學(xué)生的測試卷的三個問題從正確率、錯誤率以及“算法”錯誤率三個方面進(jìn)行了初步的數(shù)據(jù)統(tǒng)計,其中“算法錯誤”指運(yùn)用三角形面積計算公式時,列式造成的錯誤。(“錯誤率”的計算方法:三角形面積計算列式錯誤人數(shù)+被測學(xué)生人數(shù) X100%X100%)。有關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下。F F 小學(xué)五年級部分學(xué)生“三角形的面積計算”測試數(shù)據(jù)分析(1 1).百分比7目向區(qū)正確率錯誤率“算法”錯誤率問題 1 184.6%84.6%15.4%15.4%10.3%10.3%

5、問題 2 278.2%78.2%21.8%21.8%20.5%20.5%問題 3 338.5%38.5%61.5%61.5%24.4%24.4%由上表可知:學(xué)生對三角形的面積計算運(yùn)用的掌握情況是有層次的。其中“算法”錯誤有下面兩類典型錯誤。序號典型錯誤錯誤原因1 1|.卜曲單 a 爆米)三學(xué)生直接用“底 X X 高”來計算三角形的面積。F F 小學(xué)五年級 3 3“三角形面積計“三角形面積計學(xué)生求三角形的底時,直接用“三角形的面積+高”。針對以上錯誤,還進(jìn)行了學(xué)生進(jìn)行了訪談。在訪談時,多數(shù)學(xué)生看到自己出現(xiàn)的第一類錯誤,隨即就說“老師,我忘記除以 2 2 了。當(dāng)我們追問:“你為什么會忘記除以 2

6、2 呢?”,學(xué)生答到“和平行四邊形的面積計算方法弄混了”。繼續(xù)針對學(xué)生出現(xiàn)的第二類錯誤訪談“你為什么這樣做?”,學(xué)生說到“原來,求長方形和平行四邊形的,也是這樣算的”。由此可見,學(xué)生對三角形的面積計算公式的運(yùn)用,很容易受已有對長方形和平行四邊形的面積計算公式的影響。2 2 . .三角形的面積計算在不同背景中運(yùn)用的掌握情況為進(jìn)一步探索學(xué)生在不同背景中,三角形面積計算公式正向和逆向運(yùn)用的相互影響關(guān)系。我們關(guān)注了測試答卷中以下三類情況,學(xué)生答題過程中“算法”錯誤統(tǒng)計,如下表。F F 小學(xué)五年級部分學(xué)生“三角形的面積計算”測試數(shù)據(jù)分析(2 2)數(shù)據(jù)目“算法”錯誤人數(shù)“算法”錯誤率問題 1 1 解答正確

7、,問題 3 3“算法”錯誤一121215.4%15.4%問題 1 1 解答正確,問題 2 2“算法”錯誤9 911.5%11.5%問題 1 1 和問題 3 3 解答正確,問題 2 2“算法”錯誤4 45.2%5.2%從上表可知:(1 1)部分學(xué)生雖然能直接正向運(yùn)用三角形面積計算公式,但在具體情況中正向運(yùn)用時錯誤較多。出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因是具體情境中運(yùn)用公式時,易受情境信息和干擾因素等影響。(2 2)部分學(xué)生對三角形的面積計算的逆向運(yùn)用掌握情況低于正向運(yùn)用。(3 3)當(dāng)學(xué)生不同背景中,能克服干擾因素和復(fù)雜背景正確的正向運(yùn)用三角形的面積計算公式時,三角形的面積計算公式的逆向運(yùn)用掌握也較高。也許我們會有

8、這樣的疑問:為什么教學(xué)過程中學(xué)生操作了,教師演示了,還有學(xué)生出錯呢?真的是學(xué)生無法跨越這道坎嗎?下面是筆者觀察到的教學(xué)片斷,也許會引起我們一些新思考?!窘虒W(xué)現(xiàn)象】(1 1)每個組準(zhǔn)備了一些三角形,請同學(xué)們擺一擺,拼一拼,看能不能拼成我們學(xué)過的平面圖形(學(xué)生合作探究)。(2)(2)交流匯報,每個小組選代表到黑板上演示。(3)(3)小結(jié):兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。(4)(4)自主探究:三角形與所拼成的平行四邊形有什么關(guān)系?(5)(5)合作探究:通過“轉(zhuǎn)化”“找關(guān)系”,你能推導(dǎo)出三角形面積計算公式嗎?(6)(6)板書:三角形的面積=底*高+2 2S=ahS=ah+2+2【分析與思考

9、】在這個教學(xué)片斷中,學(xué)生充分經(jīng)歷了三角形面積計算公式的推導(dǎo)過程嗎?我認(rèn)為學(xué)生只是被動的按教師的設(shè)計機(jī)械地完成了一系列的操作,沒有充分經(jīng)歷計算公式的探究過程。在這一過程中,學(xué)生只是“操作工”,對于“為什么會想用兩個完全一樣的三角形來拼?”、“還有其他推導(dǎo)方法嗎?”等問題學(xué)生沒有主動地思考,更談不上猜想和創(chuàng)造。這樣膚淺的操作導(dǎo)致學(xué)生沒有深刻的理解,記憶也不深刻的。這樣看來,學(xué)生作業(yè)時會忘記“+2 2”也是情有可原。二、三角形面積計算的教學(xué)內(nèi)容和教材分析從以上測試,我們發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生習(xí)慣于將“平行四邊形的面積計算公式直接運(yùn)用于三角形的面積計算”中的現(xiàn)象。為此,我們將平行四邊形和三角形的面積計算公式的推

10、導(dǎo)過程、面積計算公式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)以及公式的變式運(yùn)用等三個方面來對比分析,再次思考學(xué)生錯誤的真實障礙。具體分析如下。平行四邊形和三角形的面積計算學(xué)習(xí)內(nèi)容的對比分析內(nèi)圖、形平行四邊形的面積計算三角形的面積計算計算公式的推導(dǎo)過程將平行四邊形用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成為與它面積相等長方形,因為長方形的長與平行四邊形的底相等,長方形的寬與平行四邊形的高相等,而長方形的面積等于長乘寬,所以平行四邊形的面積等于底乘圖。(如圖 1)1)將兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形(或長方形),因為平行四邊形的底等于三角形的底,平行四邊形的高等于三角形的高,每個三角形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半,所以可以推出三角形的面積

11、=底 X X 高+2+2(如圖 2)2)(其他方法不說明)計算公式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)平行四邊形的面積計算公式為 S-ah,S-ah,表示面積等于對應(yīng)底和局的乘積,也就是兩個變重的乘積。三角形的面積計算公式為 S-S-ah,ah,表示面積等于對應(yīng)底和高的乘積的二分之一,是兩個變量乘積的2。計算公式的變式運(yùn)用a-S+ha-S+h 或 h-S+ah-S+aa-2S+ha-2S+h 或 h-2S+ah-2S+a從以上對比中,我們可以發(fā)現(xiàn):1 1 . .在平行四邊形的面積計算公式推導(dǎo)過程中,我們將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形,雖然轉(zhuǎn)化前后圖形的形狀發(fā)生了變化,但前后兩個圖形的面積沒有發(fā)生改變。這樣的圖形面積計算公式的

12、推導(dǎo)方法,稱為等積變換。但在三角形的面積計算公式推導(dǎo)過程中,將兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形,進(jìn)而推導(dǎo)三角形的面積計算公式。像這樣通過圖形的拼組推導(dǎo)面積計算公式的方法,稱為圖形重組。我們可以發(fā)現(xiàn),三角形的面積計算公式的推導(dǎo)過程與平行四邊形的有明顯的差異。11112 2. .從兩個計算公式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來看,由于 S=1ahS=1ah 前面有系數(shù)“2公式本身也比前,1者復(fù)雜。因此,在計算公式的逆運(yùn)用時,需要先將系數(shù)2”轉(zhuǎn)化成 1,1,即 2S=ah2S=ah。而學(xué)生在長方形或平行四邊形的面積計算公式逆運(yùn)用時,都直接是將面積除以一個變量,如 a=S+a=S+bobo 回顧這些學(xué)生原有面積計算的

13、經(jīng)歷,發(fā)現(xiàn)像三角形的面積計算公式這樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)還是學(xué)生第一次接觸。綜上分析,我們可以知道三角形面積計算公式的推導(dǎo)過程、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等方面都比平行四邊形的復(fù)雜,對于學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)歷是一次跨越。三、“三角形面積計算”的教學(xué)建議和實驗結(jié)果通過對平行四邊形和三角形面積計算的多角度比較、分析,找到了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的障礙,更為我們解決問題找到了方向。下面筆者對如何幫助學(xué)生理解三角形的面積計算公式以及克服已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗的負(fù)遷移,提出幾點建議。(一)完善結(jié)論的推導(dǎo)過程,豐富數(shù)學(xué)體驗。在以上分析過程中,我們可以知道要幫助學(xué)生在解決問題中克服忘記“+2 2”的習(xí)慣,應(yīng)該有效幫助學(xué)生理解為什么“+2 2”,也就是理解三角形面

14、積計算公式的推導(dǎo)過程。那么這一過程核心問題是什么?探究的起點在哪里?三角形的面積計算公式推導(dǎo)過程較平行四邊形的復(fù)雜,其原因是需要用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形。如果不是學(xué)生提前已知或預(yù)習(xí),這樣的聯(lián)想對于學(xué)生還是有一定難度的,因此,“為什么會想用兩個完全一樣的三角形來拼?”是核心問題。學(xué)生的探究起點在哪里呢?在探究平行四邊形面積時,學(xué)生是沿平行四邊形的高剪開,通過割補(bǔ)轉(zhuǎn)化成為長方形。在探究三角形面積時,學(xué)生很自然也會聯(lián)想到沿三角形的高剪開,此時剪下后兩個直角三角形無法拼出規(guī)則圖形,但利用同伴剪下后的直角三角形拼成了一個平行四邊邊(長方形),這樣的探究經(jīng)驗應(yīng)該充分遷移。根據(jù)這樣的思考,設(shè)

15、計了如下教學(xué)思路?!靖倪M(jìn)思路】(1 1)尋找思路喚醒舊知:復(fù)習(xí)三角形分類,底和高的相關(guān)知識。提出猜測:三角形的面積計算公式。尋找轉(zhuǎn)化思路:我們可以將三角形轉(zhuǎn)化成會求面積的圖形。我們會求哪些圖形的面積呢?(生:平行四邊形、長方形和正方形)(2 2)第一次探究(剪拼)學(xué)生動手操作。(此時每個學(xué)生只有一個銳角三角形,且同桌之間的三角形是完全一樣的。)反饋剪拼方法。第一層次:學(xué)生通過動手操作,發(fā)現(xiàn)將這個三角形沿高剪開后很難轉(zhuǎn)化。第二層次:用沿高剪開后的直角三角形和同桌剪下的直角三角形拼成一個平行四邊形(或長方形)。師:雖然不能求出原來三角形的面積,但給了我們一個提示,像這樣兩個完全一樣的三角形可以拼成

16、一個平行四邊形(或長方形)。第三層次:用自己和同桌的三角形拼成了一個平行四邊形。教師請學(xué)生把他的拼法詳細(xì)介紹,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行第二次探究。師:用這樣的兩個三角形可以拼成一個平行四邊形。是不是其他類型的三角形都可以這樣拼呢?(3 3)第二次探究(拼組)(略)這樣的教學(xué)思路,尊重和有效利用了學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗,引導(dǎo)充分經(jīng)歷探究過程,并激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生“用兩個完全一樣的三角形可以拼出平行四邊形”的聯(lián)想,豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗。(二)溝通知識間的異同點,理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。在溝通平行四邊形和三角形面積計算公式時,我們可以從以下兩個方面進(jìn)行比較:1 1、計算公式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。有關(guān)公式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)前面已經(jīng)進(jìn)行敘述,此處不贅述。需

17、要關(guān)注的有兩點:第一,引導(dǎo)學(xué)生說清為什么“+2 2”;第二,通過對比練習(xí)發(fā)現(xiàn)它們面積之間的關(guān)系,如“一個平行四邊形的面積是 5050 平方厘米,與它等底等高的三角形面積是()平方厘米”。這樣的練習(xí),不僅可以幫助學(xué)生理解平行四邊形和三角形之間的關(guān)系,而且?guī)椭鷮W(xué)生理解兩者的計算公式。2 2、計算公式的內(nèi)涵。雖然兩者的面積計算公式有差異,但它們都是根據(jù)圖形的核心要素“底”和“高”來計算圖形的面積。這種探索平面圖形面積計算公式的思路,可以遷移到學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)梯形、圓等圖形面積計算公式之中。(三)運(yùn)用合理的解答方法,克服思維定勢。學(xué)生在逆用三角形面積計算公式時,出現(xiàn)像錯例中直接用“面積+底=高”的思路。其

18、原因:一是學(xué)生對計算公式?jīng)]有充分理解;二是受求長方形的長(或?qū)挘┮约捌叫兴倪呅蔚祝ɑ蚋撸┑乃悸返挠绊?,出現(xiàn)了思維定勢。因此, 在教學(xué)中關(guān)注對這一計算公式的變式2s=axh2s=axh”的理解, 引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識在已知三角形面積和底 (或高)的情況下,求高(或底),可以用三角形的面積 X2X2+底(或高)。另一方面,要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用合理的解答方法,克服思維定勢的干擾。通過引導(dǎo)學(xué)生主動運(yùn)用列方程解答的方法解決此類問題。這樣不僅克服了學(xué)生逆向思考和思維定勢的干擾,還可以通過方程的變換,使學(xué)生加深對2s=axh2s=axh”這一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的理解。在探尋本研究教學(xué)策略后,我們在 F F 小學(xué)選擇了與前面測試班級學(xué)業(yè)水平無明顯差異的實驗班(4848 人)結(jié)合提出的教學(xué)建議進(jìn)行了教學(xué),并利用以上測試題進(jìn)行測試,將有關(guān)數(shù)據(jù)整理見下表。對照班學(xué)生與實驗班學(xué)生測試結(jié)果統(tǒng)計百類問霞7對照班學(xué)生正確率實驗班班學(xué)生正確率問題 i i84.6%84.6%95.8%95.8%問題 2 278.2%78.2%93.7%93.7%問題 3 338.5%38.5%54.2%54.2%從以上統(tǒng)計結(jié)果,可

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