函數(shù)的單調(diào)性(公開(kāi)課)很贊

1、.11.3.1 函數(shù)的單調(diào)性 第一課時(shí).2 德國(guó)有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對(duì)人類(lèi)德國(guó)有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對(duì)人類(lèi)的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究. .他經(jīng)過(guò)測(cè)試，得他經(jīng)過(guò)測(cè)試，得到了以下一些數(shù)據(jù)：到了以下一些數(shù)據(jù)：測(cè)試時(shí)間測(cè)試時(shí)間 t剛記剛記憶完憶完畢畢20分分鐘后鐘后60分分鐘后鐘后8-9小時(shí)小時(shí)后后1天天后后2天天后后6天天后后一個(gè)一個(gè)月后月后記憶保留記憶保留量量y(百分比百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上數(shù)據(jù)表明，記憶保留量以上數(shù)據(jù)表明，記憶保留量y y是是時(shí)間時(shí)間t t的函數(shù)的函數(shù). . 艾賓浩斯根據(jù)這艾賓浩斯

2、根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的些數(shù)據(jù)描繪出了著名的“艾賓浩艾賓浩斯遺忘曲線斯遺忘曲線”, ,如圖如圖. .123tyo20406080100.3思考思考1:1:觀察觀察“艾賓浩斯遺艾賓浩斯遺忘曲線忘曲線”，你能發(fā)現(xiàn)什么，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？規(guī)律？tyo20406080100123函數(shù)的單調(diào)性思考思考2:2:我們發(fā)現(xiàn)隨著時(shí)間我們發(fā)現(xiàn)隨著時(shí)間t t的增加，記憶保留量的增加，記憶保留量y y在不在不斷減少；從圖象上來(lái)看，斷減少；從圖象上來(lái)看，從左至右圖象是在逐漸下降從左至右圖象是在逐漸下降的。的。.4xyo-1-1xOy1 11 12 24 4-1-1-2-2(1) ( )1f xx 1 12(2) (

3、)f xx 1.從左至右圖象從左至右圖象 2.在區(qū)間在區(qū)間 (-, +)上，隨上，隨著著x的增大，的增大，f(x)的值隨的值隨著著 2.(0,+)上上從左至右圖象從左至右圖象上升上升， 當(dāng)當(dāng)x x增大增大時(shí)時(shí)f(x)f(x)隨著隨著增大增大 1 1上升上升增大增大下降下降 1.(-,0上上從左至右圖象從左至右圖象 當(dāng)當(dāng)x x增大增大時(shí)時(shí)f(x)f(x)隨著隨著 減小減小思考思考1：畫(huà)出下列函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象思考當(dāng)：畫(huà)出下列函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象思考當(dāng)自變量自變量x的值增大時(shí)的值增大時(shí),相應(yīng)函數(shù)值是如何變化的？相應(yīng)函數(shù)值是如何變化的？.5xyo-1-1xOy1 11 12 24 4-1-1-2-

4、2(1) ( )1f xx 1 12(2) ( )f xx1 1 在某一區(qū)間內(nèi)，在某一區(qū)間內(nèi)，當(dāng)當(dāng)x的值增大時(shí)的值增大時(shí),函數(shù)值函數(shù)值y也增大也增大圖象在該區(qū)間內(nèi)逐漸上升；圖象在該區(qū)間內(nèi)逐漸上升；當(dāng)當(dāng)x的值增大時(shí)的值增大時(shí),函數(shù)值函數(shù)值y反而減小反而減小圖象在該區(qū)間內(nèi)逐漸下降。圖象在該區(qū)間內(nèi)逐漸下降。函數(shù)的這種性質(zhì)稱(chēng)為函數(shù)的這種性質(zhì)稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性思考思考2：通過(guò)上面的觀察，如何用通過(guò)上面的觀察，如何用圖象上動(dòng)點(diǎn)圖象上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的橫、縱坐標(biāo)的變化來(lái)說(shuō)明上升或下降趨勢(shì)？的橫、縱坐標(biāo)的變化來(lái)說(shuō)明上升或下降趨勢(shì)？.6思考思考3：如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言定義函：如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言定義函數(shù)所

5、具有的這種性質(zhì)？數(shù)所具有的這種性質(zhì)？.7圖象在圖象在區(qū)間區(qū)間D逐漸上升逐漸上升區(qū)間區(qū)間D內(nèi)內(nèi)隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大x01 2221y方案1：在區(qū)間（0, )上取自變量1，2,12, f(1)f(2) f(x)在(0,+ )上, 圖象逐漸 上升 .8方案二：1212( )( , )( )( )( )( ),( )( , )f xa bxaxxbf af xf xf bf xa b函數(shù)在區(qū)間上有無(wú)數(shù)個(gè)自變量 ，使得當(dāng)時(shí)，有由此能否說(shuō)明該函數(shù)在上的圖象一直保持上升趨勢(shì)？請(qǐng)你說(shuō)明理由（舉例或者畫(huà)圖）.9對(duì)區(qū)間對(duì)區(qū)間D內(nèi)內(nèi) 任意任意 x1，x2 ，當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)，都有都有 f(x1

6、)f(x2)圖象在圖象在區(qū)間區(qū)間D逐漸上升逐漸上升區(qū)間區(qū)間D內(nèi)內(nèi)隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大x0 x1 1 x2 2f (x1)f (x2)方案1：在區(qū)間（0, )上取自變量1，2,12, f(1)f(2) f(x)在(0,+ )上, 圖象逐漸 上升方案2:(0,+ )取無(wú)數(shù)組自變量，驗(yàn)證隨著x的增大，f(x)也增大。方案3:在在(0,+)內(nèi)取任意的內(nèi)取任意的x1，x2 且且x1x2時(shí)，都有時(shí)，都有f(x1)f(x2) y.10對(duì)區(qū)間對(duì)區(qū)間D內(nèi)內(nèi) x1，x2 ，當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)， 有有f(x1)f(x2)都都設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮,區(qū)間區(qū)間D I. 定義定

7、義 任意任意如果對(duì)于如果對(duì)于區(qū)間區(qū)間D上的上的任意任意兩個(gè)自變量的值兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)，都有都有f(x1 ) f(x2 )， D稱(chēng)為稱(chēng)為 f (x)的的單調(diào)單調(diào)增區(qū)間增區(qū)間. 那么就說(shuō)那么就說(shuō) f (x)在區(qū)間在區(qū)間D上上 是單調(diào)是單調(diào)增函數(shù)增函數(shù)，區(qū)間區(qū)間D內(nèi)內(nèi)隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大圖象在圖象在區(qū)間區(qū)間D逐漸上升逐漸上升0 x1 1f (x1)f (x2)1 2221y.11 那么就說(shuō)在那么就說(shuō)在f(x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)減減函數(shù)函數(shù)，D稱(chēng)為稱(chēng)為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 減減 區(qū)間區(qū)間.Oxyx1x2f(x1)f(x2)類(lèi)比單調(diào)增函數(shù)的研

8、究方法定義單調(diào)減函數(shù)類(lèi)比單調(diào)增函數(shù)的研究方法定義單調(diào)減函數(shù). .xOyx1x2f(x1)f(x2)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮,區(qū)間區(qū)間D I. 如果對(duì)于屬于定義域如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)內(nèi)某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間D上上的的任意任意兩個(gè)自變量的值兩個(gè)自變量的值x1,x2，設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮,區(qū)間區(qū)間D I. 如果對(duì)于屬于定義域如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)內(nèi)某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間D上上的的任意任意兩個(gè)自變量的值兩個(gè)自變量的值x1,x2， 那么就說(shuō)在那么就說(shuō)在f(x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增增 函數(shù)函數(shù)，D稱(chēng)為稱(chēng)為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 區(qū)間區(qū)間.增增當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)

9、，時(shí)，都有都有f(x1 ) f(x2 ) ，當(dāng)當(dāng)x1單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù) y y = =f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間D D是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù) y y = =f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間D D上具有單調(diào)性。上具有單調(diào)性。.12（1 1）函數(shù)單調(diào)性是針對(duì)某個(gè)）函數(shù)單調(diào)性是針對(duì)某個(gè)區(qū)間區(qū)間而言的，是一個(gè)而言的，是一個(gè)局部性質(zhì)局部性質(zhì); ;判斷判斷1 1：函數(shù)函數(shù) f (x)= x2 在在 是單調(diào)增函數(shù)；是單調(diào)增函數(shù)；, xyo2yx（2 2） x x 1 1, , x x 2 2 取值的取值的任意任意性性判斷判斷2

10、 2：定義在：定義在R上的函數(shù)上的函數(shù) f ( (x) )滿足滿足 f (2) (2) f(1)(1)，則，則函數(shù)函數(shù) f ( (x) )在在R上是增函數(shù)；上是增函數(shù)；yxO12f(1)f(2).13解解:函數(shù)函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有的單調(diào)區(qū)間有5,2）, ,2,1) ，1，3), 3，5.例例1 1. 如圖是定義在閉區(qū)間如圖是定義在閉區(qū)間 5 5, ,55上的函數(shù)上的函數(shù) y = f(x)的圖象的圖象, 根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間, 以以及在每一單調(diào)區(qū)間上及在每一單調(diào)區(qū)間上, 函數(shù)是增函數(shù)還是減函函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？數(shù)？ 其中其中y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間2，

11、1)，3，5上是增函數(shù)；上是增函數(shù)；說(shuō)明說(shuō)明:1.:1.區(qū)間端點(diǎn)處若有定義寫(xiě)開(kāi)寫(xiě)閉均可區(qū)間端點(diǎn)處若有定義寫(xiě)開(kāi)寫(xiě)閉均可. . 2. 2.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性：從左向右看圖象的升降情況圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性：從左向右看圖象的升降情況 在區(qū)間在區(qū)間5，2），），1，3)上是減函數(shù)上是減函數(shù). .( )yf x- -432154312- -1- -2- -1- -5- -3 - -2xyO.14 練一練練一練 根據(jù)下圖說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)根據(jù)下圖說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù). ( )yf x2544xyO- -1321解

12、解:函數(shù)函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有的單調(diào)區(qū)間有1,0）,0,2) ，2，4), 4，5.其中其中y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間0，2)，4，5上是增函數(shù)上是增函數(shù)；在區(qū)間在區(qū)間1，0），），2，4)上是減函數(shù)上是減函數(shù).15例例2 證明函數(shù)證明函數(shù) f(x) = 3 x2在區(qū)間在區(qū)間R上是增函數(shù)上是增函數(shù).16例例2 證明函數(shù)證明函數(shù) f(x) = 3 x2在區(qū)間在區(qū)間R上是增函數(shù)上是增函數(shù)設(shè)設(shè) x1，x2 是是 R上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1x2 證明：證明：則則 f(x1) - f(x2) = (3x1+2) - (3x2+2)= 3（x1-x2）由由 x1x2 ，得，得 x1 -

13、 x20于是于是 f(x1) - f(x2) 0即即 f(x1) f(x2)所以所以 f(x)=3x+2在在R上是增函數(shù)上是增函數(shù) 作差作差設(shè)值設(shè)值變形變形定號(hào)定號(hào)下結(jié)論下結(jié)論.17用定義證明函數(shù)單調(diào)性的四步驟：用定義證明函數(shù)單調(diào)性的四步驟：（1）設(shè)值）設(shè)值:在所給區(qū)間上任意設(shè)兩個(gè)實(shí)在所給區(qū)間上任意設(shè)兩個(gè)實(shí) 數(shù)數(shù) 1212,.x xxx且（2）作差）作差（3）變形）變形 作差作差 ：常通過(guò)：常通過(guò)“因式分解因式分解”、“通分通分”、“配方配方”等等 手段將差式變形為因式乘積或平方和形式手段將差式變形為因式乘積或平方和形式 )()(21xfxf 判斷判斷 的符號(hào)的符號(hào)12( )()f xf x（

14、4）結(jié)論）結(jié)論:并作出單調(diào)性的結(jié)論并作出單調(diào)性的結(jié)論.18設(shè)量設(shè)量判斷差符號(hào)判斷差符號(hào)作差變形作差變形下結(jié)論下結(jié)論課堂小結(jié)課堂小結(jié)1 1. . 兩個(gè)定義：增函數(shù)、減函數(shù)的定義兩個(gè)定義：增函數(shù)、減函數(shù)的定義；(定義法定義法)證明函數(shù)單調(diào)性，步驟證明函數(shù)單調(diào)性，步驟: :圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性：增增函數(shù)的圖象從左到右函數(shù)的圖象從左到右減減函數(shù)的圖象從左到右函數(shù)的圖象從左到右上升上升下降下降3.一個(gè)數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合一個(gè)數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合2：兩種方法：兩種方法.19 例例2、物理學(xué)中的玻意耳定律、物理學(xué)中的玻意耳定律 告訴告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積我們，對(duì)于一定量的氣

15、體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓減小時(shí)，壓強(qiáng)強(qiáng)p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。)( 為正常數(shù)kVkp .20證明:12341.設(shè)值;2.作差變形;3.定號(hào);4.下結(jié)論.21 ？畫(huà)出函數(shù)畫(huà)出函數(shù) 圖象，寫(xiě)出定義域并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間圖象，寫(xiě)出定義域并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間：x1yxy1yx的單調(diào)減區(qū)間是_ (,0)(0,), ,討論：討論：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義1(0)(,0)(0,)yxx能不能說(shuō)在定義域上是單調(diào)減函數(shù)?定義域?yàn)楹瘮?shù)xy1), 0()0 ,(拓展探究拓展探究x1y.221( )f xxyOx 在在 (0 0,+) 上上任取任取 x1、 x2 當(dāng)當(dāng)x12x2( )f x1( )f x1x.231( )f xxyOx- -11- -11 取自變量取自變量1 1 1 1， 而而 f( (1) 1) f(1)(1)不不能說(shuō)能說(shuō) 在在(- -,0 0)(0 0,+ +)上是上是減減函數(shù)函數(shù) 要寫(xiě)成要寫(xiě)成(- -,0 0)，(0 0,+ +)的形式。的形式。1yx逗號(hào)逗號(hào)隔開(kāi)隔開(kāi) 鞏固.24對(duì)區(qū)間對(duì)區(qū)間D內(nèi)內(nèi) 任意任意 x1，x2