數(shù)理統(tǒng)計試題及答案

1、數(shù)理統(tǒng)計考試試卷一、填空題（本題 15分，每題3分）1、 總體XN（20,3）的容量分別為10,15的兩獨立樣本均值差 X -Y ；2、 設XX2,，乂花為取自總體 X N（0,0.52）的一個樣本，若已知7（2.01（1632.0,則16PZX >8=；i 43、 設總體XN（j；2），若和二2均未知，n為樣本容量，總體均值的置信水平為1 -«的置信區(qū)間為（X k,X +入），則k的值為4、 設X1,X2,.,Xn為取自總體XN（4；2）的一個樣本，對于給定的顯著性水平:，已知 關于CT2檢驗的拒絕域為 7- 2<晉七（n-1），則相應的備擇假設 H1為;5、 設總體X

2、N（7；2），匚2已知，在顯著性水平0.05下，檢驗假設H。： _ *,H 1 : ： J , 拒絕域是。11、 N(0,) ;2、0.01;23、怙(n 1)卓;2n2 24、 - 0 ；5、 Z Z0.05。二、選擇題（本題 15分，每題3 分）1、設X1，X2，X3是取自總體X的一個樣本，是未知參數(shù)，以下函數(shù)是統(tǒng)計量的為（1(A) :-(X1 X2 X3)(B) X1 X2 X3(C)X1X2X3a2、設X1,X2, Xn為取自總體XN（；2）的樣本，X為樣本均值,1 3 2(D) (X)23 yS2(Xi -X)2 n i#則服從自由度為n -1的t分布的統(tǒng)計量為（(A )- n( J

3、)(B )2Sn（C）n（X）CJ（D） n（X）Sn3、設X1,X2/ ,Xn是來自總體的樣本,D（X）=；2 存在，S21 nTX(Xi-x)2,則（A） S2是二2的矩估計（B） S2是二2的極大似然估計（C） S2是二2的無偏估計和相合估計（D） S2作為二2的估計其優(yōu)良性與分布有關4、設總體X N（叫，g2）,YN（,；採）相互獨立，樣本容量分別為n 1, n2，樣本方差分別為S； , M，在顯著性水平:下，檢驗H 0 : of _ 匚;，H1 :;； ： ；I 的拒絕域為（(A)-2 _F(n2 -1,n1 -1)62s2(B )- A F g( n2 1 n1 - 12Si(C)

4、2 _F-.(ni 1,n2 )2S2(D)2 蘭 Ft a(n1 1, n2 1)S12S1設總體XNK2），匚2已知,Xi,X2, X 是來自總體的樣本觀察值，已I的置信水平為0.95的置信區(qū)間為（4.71,5.69），則取顯著性水平 a =0.05時，檢驗假H0 -5.0, H1 : )=5.0 的結果是(（A ）不能確定(B)接受H0(C)拒絕H°（D）條件不足無法檢驗1、B; 2、D;3、C； 4、A； 5、B.三、（本題14分）設隨機變量X的概率密度為:2 x 0 . 0fEfJ其他，其中未知參數(shù)二0，X1/ ,Xn是來自X的樣本，求（1）二的矩估計；（2）二的極大似然估

5、計。解：(1) E(X)二 _.xf (x)dx =令詢次弓，得幾滬為參數(shù)'的矩估計量。似然函數(shù)為：L（xD,0 ：Xi ：m,（i =1,2,，n），im廿 廿 im而L（v）是二的單調減少函數(shù)，所以 二的極大似然估計量為 -maxX1,X2 ,Xn。四、（本題14分）設總體XN（0,二2），且X1,X2 X10是樣本觀察值，樣本方差s2 =22（1）求匚 的置信水平為 0.95的置信區(qū)間;（2）已知Y二務2（1），求dX2的置信解:(1)c 2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為18180.025(9)0.975(9)，即為（0.9462, 6.6667);(2)X2T71DCTX2T

6、7,D 2(1)=c2僅2、2由于2是匚2的單調減少函數(shù)，置信區(qū)間為2丿即為（0.3000, 2.1137）。五、（本題10分）設總體X服從參數(shù)為二的指數(shù)分布,其中二 0未知,X1,，Xn為取自n總體X的樣本， 若已知U = 、 Xi2（2n），求：日y（1）二的置信水平為1-:的單側置信下限；（2） 某種元件的壽命（單位：h）服從上述指數(shù)分布，現(xiàn)從中抽得容量為16的樣本，測得樣本均值為5010（ h），試求元件的平均壽命的置信水平為0.90的單側置信下限。(監(jiān)05(31) =44.985,監(jiān)10(32) =42.585)。解：（H竿 <卷(2n)=1a, P T > 嚴-a,.M

7、l即日的單側置信下限為 g = 2“X ； ( 2) g = 2 "6工5010 =3764 706 。 -2(2 n)一 42.585六、（本題14分）某工廠正常生產(chǎn)時，排出的污水中動植物油的濃度X N（10,1），今階段性抽取10個水樣，測得平均濃度為10.8 （mg/L），標準差為1.2 （ mg/L ），問該工廠生產(chǎn)是 否正常？ ( a =0.05乙。25(9) =2.2622盜025(9)=19.023,瞪75(9) = 2.700)解:（1 ）檢驗假設H。：二2=1 , H1：匚2工1；取統(tǒng)計量：2 (n -1)s時；拒絕域為：'2W 7 2。( n1) = 72

8、 975 (9) =2.70 或/ 2/一 ；(n 1)=猛25=19.023 ,1i1經(jīng)計算：2 2(n _1)S9 1.212.96，由于 2 =12.96. (2.700,19.023) 2,01故接受H0,即可以認為排出的污水中動植物油濃度的方差為c 2=1。X 10(2 )檢驗假設H 0： » =10, H：式10 ；取統(tǒng)計量：t= t丹(9)；S/11O 210 R _ 10 拒絕域為 t 蜀0025(9)=2.2622t = 10.8 二=2.1028<2.2622，所以接受 H0，1.2M/10即可以認為排出的污水中動植物油的平均濃度是10(mg/L)。綜上，認

9、為工廠生產(chǎn)正常。七、(本題10分)設X1,X2,X3,X4為取自總體 XN(i,42)的樣本，對假設檢驗問題H。：=5, H1 :=5，( 1)在顯著性水平0.05下求拒絕域；(2)若=6，求上述檢驗所犯 的第二類錯誤的概率1。解: (1)拒絕域為 z J更;5Zz0.025 =1.96;4/442(2)由(1)解得接受域為(1.08，8.92)，當卩=6時，接受H0的概率為=P1.08 : X ：8.928.92一6 一門 1.08 _6 =0.921。I 2丿I 2丿八、(本題8分)設隨機變量 X服從自由度為(m,n)的F分布，(1)證明：隨機變量 1服從X自由度為(n,m)的F分布；(2

10、)若口可，且PX =0.05，求PX 丄的值。Ct證明：因為X F(m,n),由F分布的定義可令 x二匕山，其中U2(m),V 2(n)，U V /n與V相互獨立，所以丄二YZ2f(n,m)。X U /m當m=n時，X與1服從自由度為(n, n)的F分布，故有PX = = PX -，X«111從而 PX = P ： ： =1P:二 =1 Px ：=1 0.05 = 0.95。aXX數(shù)理統(tǒng)計試卷參考答案、填空題（本題 15分，每題3分）1、 N(0,-) ;2、0.01;2S3、n -1)-.2n2 _ 24、- 0 ;5、z _ _z0.o5。、選擇題（本題 15分，每題3 分）1、

11、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B.三、（本題14分）解:(1) E(X) = (x)dx =_ n3 令E（f） =X = 71，得?=X為參數(shù)71的矩估計量。32n 2x2n n似然函數(shù)為：L（xD 汕 Xi ,0 ：Xi ，（i =1,2, ,n），iT廿 廿im而L（R是的單調減少函數(shù)，所以的極大似然估計量為 =maxX1,X2 ,Xn。四、（本題14分）解:六、(本題14分)解:(1 )檢驗假設 H0：=1 , H1：豐1 ； 取統(tǒng)計量：2 (n -1)s2 ；_J；- 0拒絕域為：: a(n 1)=益.975(9)=2.70 或 2"：(n1)= 025=19.0

12、23,22經(jīng)計算：2 =5 _?S =9 1.2 =12.96，由于 2 =12.96 (2.700,19.023) 2, % 1故接受H0，即可以認為排出的污水中動植物油濃度的方差為c 2=1。(1) ;2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為1820.025180.975(9)，即為(0.9462, 6.6667);(2) DX23 a12D<T12 <1D 2(1) = 22 ；a由于2 22是二的單調減少函數(shù)，置信區(qū)間為2 22 , 2 CT CF即為(0.3000, 2.1137)。五、(本題10分)解：(1)匸P*竽:2(2n)2nX>2 1 -,：.(2n)即'的單側置信下限為簽；(2宀2 16 50103764.706。42.585(2)檢驗假設H0:T0,、10 ；取統(tǒng)計量： UX 一10仁(9)；S/J102拒絕域為 t Zt0 025 (9) =2.2622 ； = t =10.8H=2.1028<2.2622，所以接受 H；，1.2M/10即可以認為排出的污水中動植物油的平均濃度是10(mg/L)。綜上，認為工廠生產(chǎn)正常。七、(本題10分)解:(1)拒絕域為”斜羅詁25“96；(2)由解得接受域為(1.08, 8.92),當卩=6時，接受H0的概率為P = P1.08 c8.92='8.92 一6 L門&q