第3章概率論基礎(chǔ)

1、第第3章章 概率論基礎(chǔ)概率論基礎(chǔ)胡良劍東華大學(xué)理學(xué)院L第2學(xué)院樓543內(nèi)容提要內(nèi)容提要3.2 樣本空間和事件3.3 文圖和事件的代數(shù)表示3.4 概率論公理3.5 等可能樣本空間3.6 條件概率3.7 貝葉斯公式3.8 獨(dú)立性3.2 樣本空間和事件樣本空間和事件l樣本空間樣本空間：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合被稱為該試驗(yàn)的樣本空間，用S來(lái)表示。l隨機(jī)事件隨機(jī)事件：樣本空間的任一子集E被稱作事件。也就是說(shuō)，事件是由實(shí)驗(yàn)部分可能結(jié)果構(gòu)成的一個(gè)集合。如果實(shí)驗(yàn)結(jié)果包含在E中，我們就說(shuō)事件E發(fā)生了。l基本事件基本事件： S的每個(gè)元素（或單點(diǎn)集）。3.2 樣本空間和事件樣本空間和事件l例例3.2.2(修改

2、修改) 如果實(shí)驗(yàn)是由確定編號(hào)如果實(shí)驗(yàn)是由確定編號(hào)1, 2, 3, 4的四匹的四匹馬的比賽結(jié)果構(gòu)成，那么馬的比賽結(jié)果構(gòu)成，那么l樣本空間樣本空間S包含了包含了(1,2,3,4)的所有全排列的所有全排列. 即即 S=1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321lE=3號(hào)馬贏號(hào)馬贏=3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421是是一個(gè)隨機(jī)事

3、件。一個(gè)隨機(jī)事件。lF=3124是一個(gè)基本事件，也是一個(gè)隨機(jī)事件。是一個(gè)基本事件，也是一個(gè)隨機(jī)事件。3.2 樣本空間和事件樣本空間和事件l事件的并并EF：事件E或事件F發(fā)生。l事件的交交EF或EF：事件E和事件F都發(fā)生。l事件的補(bǔ)補(bǔ)c：事件E不發(fā)生。l事件的包含包含EF：若E發(fā)生，則F必發(fā)生。l性質(zhì)：l交換律l結(jié)合律l分配率3.3文文(Venn)圖和事件的代數(shù)表示圖和事件的代數(shù)表示3.3文圖和事件的代數(shù)表示文圖和事件的代數(shù)表示3.3文圖和事件的代數(shù)表示文圖和事件的代數(shù)表示3.3文圖和事件的代數(shù)表示文圖和事件的代數(shù)表示l德摩根律3.4 概率論公理概率論公理l定義：集函數(shù)P(E)稱為事件事件E的概

4、率的概率，如果它滿足下列三條公理 對(duì)于任何的互不相交(又稱互斥)事件序列 (也就是說(shuō), )3.4 概率論公理概率論公理l命題3.4.1 證明：用概率的定義。l命題3.4.2證法一：用文圖；證法二：用概率的定義。3.4 概率論公理概率論公理l例3.4.1 總共有28%的美國(guó)男性吸卷煙，7%抽雪茄，兩者都吸的有5%。請(qǐng)問(wèn)既不吸卷煙也不抽雪茄的男性比例是多少？解：3.4 概率論公理概率論公理l例：P54習(xí)題9習(xí)題習(xí)題P53lex2, ex12, ex133.5 等可能樣本空間等可能樣本空間l等可能概型等可能概型：樣本空間中的每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。l等可能概型的概率（古典概率）公式等可能概型

5、的概率（古典概率）公式：其中N(E)表示事件E中的點(diǎn)（基本事件）數(shù)，N(S)表示所有可能的基本事件數(shù)。3.5 等可能樣本空間等可能樣本空間l分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理 ：完成一件事有幾類(lèi)辦法（各類(lèi)辦法不相交），每類(lèi)辦法中又有多種不同的方法，則完成這件事的不同方法數(shù)是各類(lèi)不同辦法中方法數(shù)的總和。l例：網(wǎng)上預(yù)訂行程，從鄭州到上海乘火車(chē)有7 種不同選擇，乘飛機(jī)有5種不同選擇，從鄭州(乘火車(chē)或乘飛機(jī))到上海共有7+5=12種不同的行程選擇。3.5 等可能樣本空間等可能樣本空間l分步乘法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，需要分成幾個(gè)步驟，每一步的完成有多種不同的方法，則完成這件事的不同方法總數(shù)

6、是各步驟不同方法數(shù)的乘積。l例：網(wǎng)上預(yù)訂行程，從鄭州到上海共有12種不同行程選擇，從上海到香港共有4種不同的行程選擇，那么從鄭州經(jīng)上海到香港共有412=48種不同的行程選擇。3.5 等可能樣本空間等可能樣本空間l例3.5.1 一個(gè)碗里有6個(gè)白球，5個(gè)黑球。現(xiàn)在隨機(jī)從碗里拿出兩個(gè)球，則一個(gè)是白球一個(gè)是黑球的概率有多大？?jī)蓚€(gè)黑球呢？l解： 3.5 等可能樣本空間等可能樣本空間l排列排列：從n個(gè)不同元素中取r個(gè)(不重復(fù))，考慮先后順序共有n (n-1) . (n-r+1)種不同結(jié)果。l全排列全排列： n個(gè)不同元素排成一列，共有n!= n (n-1) . 2 1種不同結(jié)果。l重復(fù)排列重復(fù)排列：從n個(gè)不

7、同元素中取r個(gè)(可重復(fù))，考慮先后順序共有nr=n n . n種不同結(jié)果。3.5 等可能樣本空間等可能樣本空間l例3.5.2 瓊斯先生有10本書(shū)要放在書(shū)架上，其中有4本數(shù)學(xué)書(shū)，3本化學(xué)書(shū)，2本歷史書(shū)，還有1本語(yǔ)言書(shū)。(1) 瓊斯想把同一種類(lèi)的書(shū)放在一起，共有幾種不同的可能結(jié)果？(2)如果是隨意放置，恰好同一種類(lèi)的書(shū)放在一起的概率多大？3.5 等可能樣本空間等可能樣本空間l組合組合：從n個(gè)不同元素中取r個(gè)，不考慮先后順序共有種不同情況。l或者說(shuō)，從n個(gè)元素中選擇r個(gè)組成一組，共有不同的組合數(shù)3.5 等可能樣本空間等可能樣本空間l例3.5.4 要從6個(gè)男性9個(gè)女性中選擇5人組成委員會(huì)。如果隨機(jī)選取

8、，那么委員會(huì)中有3個(gè)男性2個(gè)女性的概率是多大？l解：3.5 等可能樣本空間等可能樣本空間l例3.5.7 如果一個(gè)房間里有n個(gè)人，沒(méi)有兩個(gè)人的生日是同一天的概率是多大？如果希望概率小于0.5，需要多少人？l 解：l當(dāng) n23, P0, F發(fā)生的條件下E發(fā)生的條件條件概率概率為3.6 條件概率條件概率l例3.6.2 瓊斯工作的機(jī)構(gòu)正在籌備一場(chǎng)親子(父子)晚宴，參與者是至少有一個(gè)兒子的雇員。每一個(gè)滿足條件的雇員都被邀請(qǐng)攜他們年齡最小的兒子參加晚宴。瓊斯有兩個(gè)孩子，在瓊斯被邀參加晚宴的前提下，他的兩個(gè)孩子都是男孩的條件概率是多少？3.6 條件概率條件概率l乘法公式乘法公式：l例3.6.3 佩雷斯女士所

9、在的公司有30%的可能在鳳凰城設(shè)立分公司。如果這個(gè)分公司設(shè)立，那么她有60%的把握成為這個(gè)新公司的經(jīng)理。那么佩雷斯女士將會(huì)成為鳳凰城新公司經(jīng)理的概率為多少？l全概率公式：如果直接計(jì)算事件E的概率較困難，可以間接利用條件事件F: 分別在事件F發(fā)生或不發(fā)生兩種條件下計(jì)算條件概率，然后再加權(quán)平均。3.7 貝葉斯貝葉斯(Bayes)公式公式lBayes公式(逆概率公式)：l注意區(qū)分：l求結(jié)果發(fā)生的(無(wú)條件無(wú)條件)概率概率, 用全概率公式；l已知結(jié)果，求原因的條件概率條件概率，用Bayes公式。3.7 貝葉斯貝葉斯(Bayes)公式公式l例3.7.1 一個(gè)保險(xiǎn)公司把投保的人群分為了兩類(lèi)事故敏感型和非事故

10、敏感型。保險(xiǎn)公司的數(shù)據(jù)顯示事故敏感型人群一年內(nèi)發(fā)生事故的概率為0.4，而這個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)于非事故敏感型人群減少至0.2。假設(shè)30%的人群為事故敏感型人群，那么一個(gè)新的投保人在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的這一年中發(fā)生事故的概率是多少？l例3.7.2 （續(xù)上例）假設(shè)新的投保人在投保的這一年中已經(jīng)發(fā)生過(guò)了一次事故, 那么這個(gè)人屬于事故敏感型人群的概率是多少？3.7 貝葉斯貝葉斯(Bayes)公式公式投保人投保人敏感型敏感型(F)非敏感型非敏感型(Fc)0.30.7發(fā)生事故發(fā)生事故(E)0.40.2全概率公式全概率公式 P(E)=0.30.4+0.70.2=0.26Bayes公式公式 P(F|E) = P(EF)/P(E)

11、=0.30.4 / 0.26=0.46153.7 貝葉斯貝葉斯(Bayes)公式公式l例3.7.4一個(gè)實(shí)驗(yàn)室提出了一種99%有效的血液測(cè)試來(lái)檢測(cè)某種疾病。但是，對(duì)健康人來(lái)說(shuō)這個(gè)測(cè)試也有1%的可能會(huì)產(chǎn)生假陽(yáng)性”. 如果人群中有0.5%患病，則在一個(gè)人的測(cè)試結(jié)果是陽(yáng)性的條件下他患病的概率是多大？如果這個(gè)測(cè)試是在的高危人群（50%患病 ）中測(cè)試的呢？3.7 貝葉斯貝葉斯(Bayes)公式公式l例3.7.5 在某一個(gè)犯罪調(diào)查的階段，當(dāng)值的調(diào)查員60%確信嫌疑犯有罪。假設(shè)現(xiàn)在一個(gè)新的顯示罪犯有某個(gè)特征(例如，左撇子，禿頭，棕色頭發(fā)等)的證據(jù)未被揭露。如果20%的人群擁有這個(gè)特征，若這個(gè)嫌疑人屬于擁有這個(gè)

12、特征的人群，調(diào)查員現(xiàn)在應(yīng)如何對(duì)待這個(gè)犯罪嫌疑人(有多大把握確信嫌疑犯有罪)?3.7 貝葉斯貝葉斯(Bayes)公式公式l推廣的全概率公式推廣的全概率公式：假設(shè)F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n是互斥(不相交)的事件，且 那么l推廣的推廣的Bayes公式公式：3.7 貝葉斯貝葉斯(Bayes)公式公式l例3.7.7 一架飛機(jī)失蹤了，據(jù)推測(cè)，他有相同的概率著落在三個(gè)可能的地點(diǎn)。令1-i表示飛機(jī)著落在第i個(gè)地區(qū)條件下在第i個(gè)地區(qū)被找到的概率，i =1, 2, 3。已知對(duì)地區(qū)1的搜尋是失敗的，飛機(jī)落在地區(qū)1的概率是多少？習(xí)題習(xí)題lP56 ex25, ex29, ex31, ex33, ex353.8 獨(dú)立事件獨(dú)立事件l

13、定義：若則稱E與F相互獨(dú)立。l性質(zhì)1：若P(E)0, P(F)0, 有l(wèi)性質(zhì)2：如果E與F獨(dú)立，則E與Fc也獨(dú)立，進(jìn)而Ec與F也獨(dú)立, Ec與Fc也獨(dú)立。3.8 獨(dú)立事件獨(dú)立事件l例3.8.1 一張卡片是隨機(jī)從一副52張的撲克牌中選取的。如果事件A表示抽出來(lái)的牌是A，事件H表示是抽出來(lái)的牌是紅桃，那么A和H是獨(dú)立的.l因?yàn)镻(AH)= 1/52，而P(A)= 4/52，P(H)= 13/52。 所以P(AH)= P(A) P(H)。 3.8 獨(dú)立事件獨(dú)立事件l定義(三個(gè)事件的獨(dú)立性) 稱三個(gè)事件E, F, G相互獨(dú)立，如果l定義(n個(gè)事件的獨(dú)立性) 稱事件E1，E2,，En獨(dú)立，若對(duì)1, 2, , n的任意子集1,2,r, 3.8 獨(dú)立事件獨(dú)立事件l例3.8.8 拋擲兩顆均勻骰子。讓E7表示事件：骰子的總和是7。用F表示第一顆骰子等于4，用T表示第二顆骰子等于3?？梢宰C明：E7，F(xiàn)，T兩兩獨(dú)立但三者不獨(dú)立。l因?yàn)椋篜(E7)=6/36, P(F)=1/6, P(T)=1/6, lP(E7F)=1/36, P(E7T)=1/36, P(FT)=1/36, P(E7FT)=1/36。l這樣 P(E7F)=