第3章向量ppt課件

1、n高斯消元法高斯消元法n向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性n向量組的秩向量組的秩n向量空間向量空間*n線性方程組解的構(gòu)造線性方程組解的構(gòu)造nMathematica軟件運用軟件運用第第3章章 向量向量 線性方程組線性方程組定義定義1 n個變量、個變量、 m個方程的線性方程組個方程的線性方程組 當常數(shù)項當常數(shù)項bi不全為不全為0時時, 稱為非齊次線性方程組稱為非齊次線性方程組; 當常數(shù)項當常數(shù)項bi全為零時全為零時, 稱為齊次線性方程組稱為齊次線性方程組, 也稱作非齊也稱作非齊次次線性方程組的導出組線性方程組的導出組. mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2112222

2、212111212111稱為稱為n元線性方程組元線性方程組; xj為變量為變量,aij為第為第i個方程變量個方程變量xj的的系數(shù)系數(shù),bi為第為第i個方程的常數(shù)項個方程的常數(shù)項, i=1,2,m; j=1,2,n.第第3.1 節(jié)節(jié) 高斯消元法高斯消元法 1. 線性方程組的概念線性方程組的概念假設記假設記()111212122212nnijm nmmmnaaaaaaAaaaa12nxxxx 12mbbb 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣未知量矩陣未知量矩陣常常數(shù)數(shù)項項矩矩陣陣11121121222212()nnmmm nmaaabaaabAAaaab 增廣矩增廣矩 陣陣線性方程組與其增廣矩陣相互獨一確定線性方程

3、組與其增廣矩陣相互獨一確定 當線性方程組有解時當線性方程組有解時, ,稱方程組是相容的稱方程組是相容的, ,否那否那么么便是不相容的便是不相容的. . 當線性方程組有無窮多解時當線性方程組有無窮多解時, ,其全部解的集合其全部解的集合稱為方程組的通解或普通解稱為方程組的通解或普通解. .解集合中的每一個元解集合中的每一個元素稱為特解素稱為特解. . “解方程組解方程組, ,就是判別線性方程組能否有解就是判別線性方程組能否有解, ,在在有解時求得滿足方程組的獨一解或全部的解有解時求得滿足方程組的獨一解或全部的解( (通解通解) )的過程的過程. . 定義定義2 稱滿足上述方程組的一個有序數(shù)組稱滿

4、足上述方程組的一個有序數(shù)組x1=k1, x2=k2, xn=kn為方程組的一個解為方程組的一個解,普通記作列向量普通記作列向量(列矩陣列矩陣)方式方式12nkkk 2.高斯消元法高斯消元法例1 解線性方程組 123123123346441270 xxxxxxxxx123123123346441270 xxxxxxxxx 346411411270A 方方程程組組增增廣廣陣陣解12123123123413464270rrxxxxxxxxx 12114134641270rr 21313123232341718131rrrrxxxxxxx 213131141071810131rrrr 23231232

5、323411141310131071817181rrrrxxxxxxx323212377233411141310131003636rrrrxxxxxx 123452xxx 得100401050012察看知察看知:高斯消元法求解線性方程組與對線性方程組高斯消元法求解線性方程組與對線性方程組增廣矩陣進展初等行變換一一對應增廣矩陣進展初等行變換一一對應 ！解線性方程組！解線性方程組可以利用其增廣陣進展初等行變換實現(xiàn)可以利用其增廣陣進展初等行變換實現(xiàn).行最行最簡形簡形矩陣矩陣323212377233411141310131003636rrrrxxxxxx 行階梯形矩陣行階梯形矩陣3. 線性方程組解的斷

6、定線性方程組解的斷定 定理定理1 線性方程組線性方程組Ax=有解有解系數(shù)矩陣與增廣系數(shù)矩陣與增廣矩矩陣的秩相等，即陣的秩相等，即r(A)= r(A | ).假設假設r(A)=r(A ) = r=n時，那么方程組有獨一解；假設時，那么方程組有獨一解；假設r(A)=r(A ) = rn時，那么方程組有無窮多解時，那么方程組有無窮多解. 綜上所述，得到用消元法解方程組的步驟：綜上所述，得到用消元法解方程組的步驟： (1)寫出方程組的增廣矩陣寫出方程組的增廣矩陣 ， (2)對對 施行初等行變換化為行階梯形施行初等行變換化為行階梯形B； (3)判別能否有解？判別能否有解？ (4)假設有解假設有解, 繼續(xù)

7、對行階梯形矩陣繼續(xù)對行階梯形矩陣B施行施行初等行變換化成行最簡形初等行變換化成行最簡形C， (5)由行最簡形由行最簡形C直接寫出原方程組的解直接寫出原方程組的解.AA例例2 2 解線性方程組解線性方程組 123412341234232233522xxxxxxxxxxxx213121121311213(| )22335001111112200111rrrrAA b 32122112131103 10011100111000000000 0rrrr 解解 對增廣矩陣施行初等行變換，得對增廣矩陣施行初等行變換，得，得得通通解解：，令令2412cxcx方程組的通解為：1122112324213,1xc

8、cxcc cRxcxc 12121234113010,.101001xxccc cRxx 寫寫作作向向量量式式即即例例3 解線性方程組解線性方程組解解 對增廣矩陣施行初等行變換：對增廣矩陣施行初等行變換：簡簡形形嗎嗎？化化簡簡直直到到化化成成行行最最此此時時還還有有必必要要繼繼續(xù)續(xù)思思考考：該方程組無解該方程組無解.123123123332323422xxxxxxxxx 213134133 213323123010113421 2010116rrrrA 32133 20101130003rr 例4 以下線性方程組能否有解？假設有解,求出全部解.21313413321332(1)31230101

9、134212010114rrrrA ( )( )12312341231234123123332321323254422441xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解 對增廣陣施行初等行變換，得3213320101130001rr ( )23( ).r Ar A，原原方方程程組組無無解解()()24.r Ar A ，方方程程組組有有無無窮窮多多解解 213141113211132(2)111540028644101003129rrrrA 23212123111321101100143001430000000000rrrrr 112211232421,34xccxcc cRxcxc 12121

10、234111010,.304001xxccc cRxx 寫寫作作向向量量式式即即01122ccAx=的特解的特解導出組導出組Ax=0 的解的解方程組的通解為：例例5 5.1234123412341234212722475abxxxxxxxxxxxxaxxxxb當當 、 取取何何值值時時，線線性性方方程程組組有有解解？有有解解時時求求其其解解1232422772111103313111121111272240993147115066214rrrrrrAaabb 解解 對增廣矩陣施行初等行變換，得對增廣矩陣施行初等行變換，得11112033130000500008ab行行變變換換122131321

11、0011112130331311011300000000000000000000rrrA 當當a=5,b=8時時,方程組有無窮多解，此時繼續(xù)化簡至行方程組有無窮多解，此時繼續(xù)化簡至行最簡形：最簡形：343142xxxcxc 取取、為為自自由由未未知知量量, ,令令，得得通通解解：122123142213113xcxccxcxc .:301201100011214321ccxxxx即即12().ccR 、例例6 612312321231(1)2)3).kkxxxxkxxkxxkxk 取取何何值值時時，非非齊齊次次線線性性方方程程組組有有唯唯一一解解? ?( (無無解解? ?( (有有無無窮窮多多

12、解解? ?有有解解時時求求其其解解)2()1(1111112 kkkkkAA的的行行列列式式系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣;210|1時時，有有唯唯一一解解且且，即即當當）（ kkA2222123(1) (1)(1)(1) (1)DkkDkDkk 依依克克拉拉默默法法則則，計計算算得得，解解2)1(21212321 kkxkxkkx，得得唯唯一一解解：(2)2:k 當時，對增廣矩陣施行初等行變換當時，對增廣矩陣施行初等行變換12323112221110333()12121212112 4033 612120333000 3rrrrrrrrA ( )23().r Ar A ，方方程程組組無無解解 1321 x

13、xx即即 23122111cxcxccx 10101100121321ccxxx( )()13,r Ar A 方方程程組組有有無無窮窮多多解解 同同解解方方程程組組為為 :13行行變變換換時時，對對增增廣廣矩矩陣陣作作初初等等當當）（ k21311111111()1111000011110000rrrrA ,232132xxxcxc取取、為為自自由由未未知知量量 令令得得一一般般解解).(21為為任任意意常常數(shù)數(shù)、cc齊次線性方程組齊次線性方程組Ax=0解存在性判別方法解存在性判別方法 齊次線性方程組系數(shù)陣齊次線性方程組系數(shù)陣A和增廣陣和增廣陣(A|O)的秩總是相等的的秩總是相等的. 定理定理

14、2 n元齊次線性方程組元齊次線性方程組Ax=0恒有解，且恒有解，且 當當r(A)= n時有獨一零解時有獨一零解; 當當r(A)n時有非零解時有非零解(無窮多解無窮多解). 推論推論1 齊次線性方程組齊次線性方程組Amn x=0,當當m2)中有某一個向量i可以由其他s-1個向量線性表示,1,121sskkkk,使使即存在一組不全為零的數(shù)即存在一組不全為零的數(shù) ssskkk1112211整理得整理得無妨設向量無妨設向量s可以由其他可以由其他s-1個向量線性表示個向量線性表示.112211ssskkk .2211 sskkk(充分性充分性) 利用上述定義,容易得到以下結(jié)論:(2)只需一個向量組成的向

15、量組假設該向量為零向量那么線性相關(guān);假設該向量為非零向量那么線性無關(guān);(3)只需二個向量組成的向量組假設它們對應分量成比例,那么線性相關(guān);否那么線性無關(guān).(4)一個向量組中含有零向量,那么該向量組線性相關(guān).從而我們有零解次線性方程組是否有非齊線性相關(guān)性其實等價與，故向量形式為齊次線性方程組的由于,0212211ssskkk ).(,)5(2121ssrss 線性相關(guān)（無關(guān)）線性相關(guān)（無關(guān)）向量組向量組.100,010,00121 n 其其中中一一定定線線性性無無關(guān)關(guān)，證證明明：基基本本單單位位向向量量組組例例n ,321例4TTT),(,),(,),(:113312211321 線線性性相相關(guān)

16、關(guān)判判斷斷下下面面的的向向量量組組是是否否.,321是是否否為為列列滿滿秩秩陣陣只只要要判判斷斷矩矩陣陣 A.)(無無關(guān)關(guān)滿滿秩秩，則則該該向向量量組組線線性性，AAr3 2300410321132111321,321初初等等行行變變換換 A.|可可見見原原向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)，經(jīng)經(jīng)計計算算，式式給給出出判判斷斷：恰恰為為方方陣陣，可可借借助助行行列列另另外外，此此時時023 AA解解例5TTT)11,135 , 3(,)3, 3 , 13(,)45, 2 , 3(:321，線性相關(guān)判斷下面的向量組是否 .,321是是否否列列滿滿秩秩即即可可解解：只只需需判判斷斷矩矩陣陣 A.)(量量

17、組組線線性性相相關(guān)關(guān)不不是是滿滿秩秩矩矩陣陣，則則該該向向，AAr32 00000011011111341335512333,321初等行變換A可可得得），的的一一組組非非零零解解如如（若若任任取取方方程程組組,TAx11200112321 )(6)利用反證法利用關(guān)系否則線性無關(guān)則線性相關(guān)非零解若此齊次線性方程組有的齊次線性方程組關(guān)于利用已知條件將其劃為然后充分）利用定義：首先設（一般有三個思路：？如何判斷其線性相關(guān)性對于抽象向量組)(;)(., 0,21221121iiiiikkkkkkissss例例5 5 向量向量1,1,2,2,3 3線性無關(guān)線性無關(guān), , 試證：試證：1+1+2,2,2

18、+2+3, 3, 3 +3 +1 1也線性無關(guān)也線性無關(guān). .證：設有數(shù)證：設有數(shù) k1,k2,k3使使 k1(1+2)+ k2(2+3)+k3(3 +1)=0 (*)整理得整理得 (k1+k3 )1+(k1+k2)2+ (k2+ k3)3 =0由由 1,2,3 線性無關(guān)線性無關(guān),得得 000322131kkkkkk 000321kkk即當且僅當即當且僅當k1=k2=k3=0 時時(*)式式 成立；因此向量組成立；因此向量組1+2,2+3, 3 +1線性無關(guān)線性無關(guān).4. 斷定線性相關(guān)的幾個定理斷定線性相關(guān)的幾個定理定理定理1 設向量組設向量組1，2 ，r線性相關(guān)線性相關(guān),那么向量組那么向量組

19、1，2 ，r ，r1 ，s必線性相關(guān)必線性相關(guān),即一個向量組即一個向量組的部分組線性相關(guān)的部分組線性相關(guān),那么這個向量組也一定線性相關(guān)那么這個向量組也一定線性相關(guān).知向量組知向量組1，2 ，r線性相關(guān)線性相關(guān),證證rkkk,21,使使那么存在一組不全為零的數(shù)那么存在一組不全為零的數(shù) rrkkk2211 srrrkkk0012211于是有于是有r ,21sr ,1故向量組故向量組線性相關(guān)線性相關(guān).假設向量組的部分組線性相關(guān)假設向量組的部分組線性相關(guān),那么該向量組也線性相關(guān)那么該向量組也線性相關(guān).推論推論 假設一個向量組線性無關(guān)假設一個向量組線性無關(guān), ,那么它的任何部分組那么它的任何部分組一定線

20、性無關(guān)一定線性無關(guān). .定理定理2 假設向量組假設向量組1, 2,s線性無關(guān)線性無關(guān),而而1, 2,s, 線性相關(guān)線性相關(guān),那么那么必可由向量組必可由向量組1, 2,s線性表線性表示示,且表且表示法獨一示法獨一.證證 因因1, 2,s, 線性相關(guān)線性相關(guān), 故有不全為故有不全為零的數(shù)零的數(shù) 12,sk kk k使使1122.0sskkkk 那么必有那么必有k0.假設不然假設不然,那么有那么有112212.0(,.,)ssskkkk kk 不不全全為為零零這與這與1, 2,s 線性無關(guān)矛盾線性無關(guān)矛盾.因此因此有有1212.sskkkkkk 獨一性獨一性:1122.sslll 設設另另有有兩式相

21、減，得兩式相減，得1212.0sskkklllkkk即即 1212,.,sskkklllkkk 獨一性得證獨一性得證.121122()().()0ssskkklllkkk由由 1, 2, s線性無關(guān)，線性無關(guān)，有有假設向量組假設向量組A線性無關(guān)線性無關(guān), 那么其接長向量組那么其接長向量組B也線性也線性無關(guān)無關(guān).jjjjjjrjrjrjaaaajsaaa 11221,1,2, 這這里里，定理定理3 知向量組知向量組A: 1,2 ,s 及及 B: 1 , 2, s, 低維無關(guān)低維無關(guān),那么高維無關(guān)那么高維無關(guān) ;反之反之,高維相關(guān)高維相關(guān),那么低維相關(guān)那么低維相關(guān).推論推論 假設向量組假設向量組1

22、 , 2, s線性相關(guān)線性相關(guān), 那么其那么其截短向量組截短向量組 1,2 ,s 必線性相關(guān)必線性相關(guān). 定理定理4 設設1,2,s可由可由1,2,t線性表示線性表示,假設假設st, 那么那么1,2,s線性相關(guān)線性相關(guān). 推論推論1：假設：假設1,2 ,s線性無關(guān)且可由線性無關(guān)且可由 1, 2 ,t線性表示，那么必有線性表示，那么必有st. 推論推論2：兩個等價的線性無關(guān)向量組所含向量：兩個等價的線性無關(guān)向量組所含向量個數(shù)一樣個數(shù)一樣.推論推論3：n+1個個n維向量必線性相關(guān)維向量必線性相關(guān).,)(,212121必線性相關(guān)以所但線性表出，基本單位向量組維必可由維向量組顯然，knknknnkn第

23、第3.3節(jié)節(jié) 向量組的秩向量組的秩 在線性相關(guān)性實際的根底上在線性相關(guān)性實際的根底上, , 給出向量組給出向量組的極大無關(guān)組及向量組的秩等重要概念的極大無關(guān)組及向量組的秩等重要概念; ;同時同時提供一種研討矩陣問題的有效方法提供一種研討矩陣問題的有效方法. . n向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組n向量組的秩向量組的秩n向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系1.1.向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組(1)定義定義 設有向量組設有向量組A的部分組的部分組A0:1,2,r 滿滿足足(i) 1,2,r 線性無關(guān)；線性無關(guān)；(ii)A中任一向量中任一向量 可以由可以由 1,2,r 線性表

24、示，線性表示，那么稱那么稱1,2,r為向量組為向量組A的一個極大線性無的一個極大線性無關(guān)組，關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組簡稱極大無關(guān)組. 能否任何向量組都有極大無關(guān)組呢？假設有，能否任何向量組都有極大無關(guān)組呢？假設有，能否獨一？先看一個例子能否獨一？先看一個例子例例1 1 調(diào)查以下向量組的最大無關(guān)組調(diào)查以下向量組的最大無關(guān)組 （ ），（ ），（ ），（ ），11231231231(0,0,0)2(0,0,0)(1,0,0)(0,1,0)3(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)4(1,0,0)(0,1,0)(1,1,0) 不難歸納不難歸納（ 只只含含零零向向量量的的向向量量組組不不存存在在極極大大無

25、無關(guān)關(guān)組組；含含有有非非零零向向量量的的向向量量組組必必存存在在極極大大無無關(guān)關(guān)組組；線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組的的極極大大無無關(guān)關(guān)組組是是其其本本身身；線線性性相相關(guān)關(guān)組組的的極極大大無無關(guān)關(guān)組組所所含含向向量量個個數(shù)數(shù)少少于于原原向向量量組組所所含含向向量量個個數(shù)數(shù)；向向量量組組的的極極大大無無關(guān)關(guān)組組可可能能不不唯唯一一1)(2)(3)(4)(5).不存在不存在 2, 3 1, 2, 3 1, 2； 1, 3； 2, 3例例2 證明證明12(1),;(2).nnnnnRRnR 維維基基本本單單位位向向量量組組是是的的最最大大無無關(guān)關(guān)組組中中任任意意 個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量都都

26、是是的的最最大大無無關(guān)關(guān)組組nnnnnnnna aaRa aaaaaR 顯顯然然線線性性無無關(guān)關(guān) 又又有有依依定定義義，是是的的一一個個極極大大無無關(guān)關(guān)組組121212112212(1),;(,),(,),. 證證nnnnnnnRnRR ( (2 2) )設設是是中中任任意意 個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量，則則，, , 線線性性相相關(guān)關(guān)，且且知知 可可由由唯唯一一地地線線性性表表示示，故故為為的的一一個個極極大大無無關(guān)關(guān)組組12121212,. (2) 有關(guān)結(jié)論有關(guān)結(jié)論定理定理1 向量組與它的極大無關(guān)組等價向量組與它的極大無關(guān)組等價; 向量組的兩個極大無關(guān)組等價向量組的兩個極大無關(guān)組等價.

27、證由極大無關(guān)組的定義證由極大無關(guān)組的定義,知向量組可由它的極大無關(guān)知向量組可由它的極大無關(guān)組線性表示組線性表示;而其極大無關(guān)組亦可由該向量組線性表示而其極大無關(guān)組亦可由該向量組線性表示.即向量組與它的及大無關(guān)組可以相互線性表示即向量組與它的及大無關(guān)組可以相互線性表示,因此二因此二者等價者等價. 利用等價關(guān)系的傳送性，即得利用等價關(guān)系的傳送性，即得.定理定理2：同一向量組的兩個極大無關(guān)組所含向量個數(shù)：同一向量組的兩個極大無關(guān)組所含向量個數(shù)一樣一樣. 2.向量組的秩向量組的秩(1)定義定義 向量組的極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量向量組的極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩組的秩,記作記作r(1,2

28、,s ).僅含零向量的向量組不存在最大無關(guān)組僅含零向量的向量組不存在最大無關(guān)組, ,規(guī)定秩為零規(guī)定秩為零; ;恣意含非零向量的向量組的秩大于等于恣意含非零向量的向量組的秩大于等于1;1;線性無關(guān)向量組的秩等于向量組所含向量個數(shù)線性無關(guān)向量組的秩等于向量組所含向量個數(shù); ;在秩為在秩為r r的向量組中的向量組中, ,恣意恣意r r個線性無關(guān)向量都是這個個線性無關(guān)向量都是這個向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組. . 例例3 求以下向量組的秩求以下向量組的秩11231231231(0,0,0)2(0,0,0)(1,0,0)(0,1,0)3(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)4(1,0,0)(

29、1,2,0)(1,2,3)TTTTTTTTTT （ ），（ ），（ ），（ ），1(1)()0;r 123(2)(,)2;r 123(3)(,)3;r 123(4)(,)3.r 解解(2)向量組秩的有關(guān)結(jié)論向量組秩的有關(guān)結(jié)論1212121200,:,:,rrpppqqqrr 設設向向量量組組（I I）與與( (I II I) )的的秩秩分分別別為為 、取取各各自自的的極極大大無無關(guān)關(guān)組組I I與與I II I假設向量組假設向量組(I):1, 2,s 可由向量組可由向量組(II):1, 2,t線性表示，那么線性表示，那么r(1,2,s ) r(1, 2,t)等價的向量組具有一樣的秩等價的向量組具

30、有一樣的秩.rr因因I I 與與I I等等價價，I II I與與I II I 等等價價，且且I I可可由由I II I線線性性表表示示，可可知知：線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量組組I I 可可由由向向量量組組I II I 線線性性表表示示，從從而而000012. 證證例例4 知向量組知向量組 的秩為的秩為 ，且，且isis 121()1 且且12,(1)ss r123213231,ssss 12(,)srr 試證：試證：證證 由條件，知由條件，知1212 ss= =（s s- -1 1) )( () ), ,即即1212, ss可可由由線線性性表表示示，iisss ( (12121)()1 于是

31、有于是有即即1212, ss可可由由線線性性表表示示，有一樣的秩有一樣的秩.即向量組等價，即向量組等價，3. 向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系定理定理2 矩陣矩陣A的秩等于它的秩等于它 的列行向量組的秩的列行向量組的秩.證證 僅證僅證A 的列向量組的秩的列向量組的秩=r(A).設設r(A)= r,而而A 的列的列向量組的秩為向量組的秩為s，故，故A有有s個列向量線性無關(guān)個列向量線性無關(guān), 記這記這s列列構(gòu)成矩陣構(gòu)成矩陣As ,便有便有()().srr Ar As 另一方面，由另一方面，由r(A)= r知，知，A 有一個有一個r階子式階子式Dr0 Dr所在的所在的A的的r個列

32、向量線性無關(guān)個列向量線性無關(guān), 因此因此 A 的列向量組的秩為的列向量組的秩為s r 綜上所述，綜上所述， r = s. |可借助于矩陣求出向量組的秩可借助于矩陣求出向量組的秩.例例5 求以下向量組的秩求以下向量組的秩A行行變變換換行行變變換換125125125321041601421203120004580312000 123(3,1, 6, 4) ,(2,2, 3, 5)(1, 5, 6,8) .TTT ，Ar A 構(gòu)構(gòu)造造矩矩陣陣, , ,，只只需需求求出出即即可可123()( ). 解解r Ar 可可見見，則則, , ,123()2()2. 關(guān)于向量組的線性關(guān)系，有如下結(jié)論關(guān)于向量組的

33、線性關(guān)系，有如下結(jié)論 111010:,:,:,:,;ssniiniiAABB(1)(1)向量組中部分組線性無關(guān)向量組中部分組線性無關(guān)向量組中部分組線性無關(guān)向量組中部分組線性無關(guān)定理定理3 假設矩陣假設矩陣Amn 經(jīng)有限次初等行變換化為經(jīng)有限次初等行變換化為Bmn ,那么那么Amn的列向量組與的列向量組與Bmn的列向量組具有一樣的列向量組具有一樣的線的線性關(guān)系性關(guān)系.定理含義：定理含義：311,rriiiiAABB（ ）向量組 的部分組是 的極大無關(guān)組（ ）向量組 的部分組是 的極大無關(guān)組向量組 的部分組是 的極大無關(guān)組.向量組 的部分組是 的極大無關(guān)組.;2111111111111nniiii

34、inniiiiikkkkBkkkkA 中中有有組組中中有有）組組（例例61234.(1, 0, 0, 1) ,(0, 1, 0, 1) ,(0, 0, 1,1) ,(2,1, 3,2) .TTTT 求求如如下下向向量量組組的的一一個個極極大大無無關(guān)關(guān)組組, ,并并用用該該極極大大無無關(guān)關(guān)組組將將其其余余向向量量線線性性表表示示AA 令令，用用初初等等行行變變換換化化 為為行行最最簡簡形形：1234(,) A100210021002010101010101001300130013111201140000 故故向向量量組組的的秩秩為為3 3，是是向向量量組組的的一一個個極極大大無無關(guān)關(guān)組組, ,且

35、且123,解解412323.例例7 可以借助向量組討論矩陣可以借助向量組討論矩陣 1112121222121212,C nnnssssnbbbbbbbabm ss nABr ABr A r B設設矩矩陣陣、，則則 ()min ( ), ( ) 證證 易知，矩陣易知，矩陣AB=C的列的列(行行)向量組可以由向量組可以由A的列向量的列向量組組(B的行向量組的行向量組)線性表示線性表示,即即1112111212222212cbcbCcbssmmmsmsaaaaaaaaa及1212( ),( )A nsr Crrrr ABr A r B()min ( ), ( ). 1212( )( ,)( ,)(

36、).c ccb bbmsr Crrr B故故因此因此第第3.4節(jié)節(jié) 向量空間向量空間 為了更深化地了解線性方程組解的結(jié)為了更深化地了解線性方程組解的結(jié)構(gòu)，有必要討論向量空間及其性質(zhì)構(gòu)，有必要討論向量空間及其性質(zhì). n向量空間的概念向量空間的概念n基基 維數(shù)與坐標維數(shù)與坐標n基變換與坐標變換基變換與坐標變換(1)向量空間的定義向量空間的定義 設設V是是n維向量的非空集合維向量的非空集合, 如如果果V對向量的加法和數(shù)乘運算封鎖對向量的加法和數(shù)乘運算封鎖,那么稱集合那么稱集合V 構(gòu)構(gòu)成成一個向量空間一個向量空間. 對向量加法和數(shù)乘運算封鎖是指對向量加法和數(shù)乘運算封鎖是指)(,RkVkVV 有有1.1

37、.向量空間的概念向量空間的概念易知：易知：n維向量的全體組成的集合維向量的全體組成的集合Rn是一個向量空是一個向量空間間.當當 n=1時，為直線空間；時，為直線空間； n=2時，即為二維平面空間；時，即為二維平面空間； n=3時，即為三維立體空間時，即為三維立體空間. n3時，時， Rn沒有直觀的幾何意義沒有直觀的幾何意義, 它是解析幾何它是解析幾何中空間概念的推行中空間概念的推行. n維向量空間維向量空間(2)子空間子空間例1 判別V1,V2能否為向量空間? 定理 Rn的非空子集U構(gòu)成 Rn 的子空間 U對Rn的線性運算封鎖.定義定義 設設U是是Rn的非空子集的非空子集, 假設假設U對向量的

38、線性運算對向量的線性運算封鎖，那么封鎖，那么U也構(gòu)成一個向量空間也構(gòu)成一個向量空間,稱稱U為為Rn的子空的子空間間 . 顯然，有顯然，有12323(1)(0,),TnnVa aaa aa 為為實實數(shù)數(shù) 1221212niTnaaaaaaaV滿滿足足為為實實數(shù)數(shù) ,),( 解解 (1) 因因0=(0,0,0)V1,故故V1是是Rn的非空子集；的非空子集；任取任取 221(0,) ,(0,)TTnnaabbV 故V1是向量空間.V2對加法運算不封鎖, 故 V2不是向量空間. (2) 顯然顯然V2是是Rn的非空子集的非空子集,任取任取 Tnaaa),(21 ,),(221VbbbTn 1122112

39、22(,)2Tnnnnab abababababV 其其中中有有1220VbabaTnn),( .,),(RkVkakakTn120 有有例例2 證明證明證 齊齊次次線線性性方方程程組組的的解解向向量量的的全全體體，構(gòu)構(gòu)成成的的子子空空間間0|0.m nnnAxSARR 000,SSkRSAA 首首先先， 非非空空；此此外外，對對，、， 由由于于，則則的的子子空空間間？構(gòu)構(gòu)成成解解的的全全體體能能否否思思考考：非非齊齊次次組組nnmRxA SkkAkkA ，00)()(.nSSR故故 對對加加法法與與數(shù)數(shù)乘乘運運算算封封閉閉， 構(gòu)構(gòu)成成的的子子空空間間()000AAAS ，齊次線性方程組的解空

40、間齊次線性方程組的解空間(3)向量組的生成空間向量組的生成空間 設設，令令，則則 構(gòu)構(gòu)成成的的子子空空間間稱稱其其為為向向量量組組的的生生成成空空間間記記作作（）或或（）12112212121212,|,.,.nssssnsssRLkkkk kkRLRLspan LkRL 顯顯然然非非空空；及及 、22112211 mmll，1112221122()().nlmlmLkklklLLLR 則則從從而而 對對線線性性運運算算封封閉閉, ,由由定定理理知知 是是的的子子空空間間例例3 設設 12,nR ， 112212,Lkkk k 為為常常數(shù)數(shù)證明證明L 是是 Rn 的子空間的子空間 .證證定理定

41、理 設設L1, L2分別為向量組分別為向量組1, 2, s與向與向量組量組1, 2, s的生成子空間的生成子空間,且向量組且向量組1, 2, s與向量組與向量組1, 2, s 等價等價,那么那么 L1=L2.等價的向量組生成一樣的向量空間2. 向量空間的基 維數(shù)與坐標定義 設V是向量空間,假設向量1, 2, rV,滿足 (i) 1, 2, r線性無關(guān); (ii) V中任一向量均可由1, 2, r線性表示;那么稱向量組1, 2, r是向量空間V的一個基,而r稱為向量空間V的維數(shù),并稱V為r 維向量空間. 闡明闡明n只含零向量的向量空間沒有基只含零向量的向量空間沒有基,規(guī)定維數(shù)是零規(guī)定維數(shù)是零.

42、n向量空間向量空間V中恣意一個極大無關(guān)組都是中恣意一個極大無關(guān)組都是V的基的基. n向量空間向量空間V的基不獨一的基不獨一,但基所含向量個數(shù)確定但基所含向量個數(shù)確定.n對于對于n維向量空間維向量空間Rn, 恣意恣意n個線性無關(guān)的向量均個線性無關(guān)的向量均n可作為可作為Rn的一個基的一個基 ,所以所以Rn的維數(shù)是的維數(shù)是n, 稱稱Rn為為n維維n向量空間向量空間 .n實踐上將實踐上將V視作向量組，其秩就是向量空間視作向量組，其秩就是向量空間V的的n維數(shù)維數(shù).,.VVV判判斷斷 是是否否向向量量空空間間 若若是是 求求 的的一一個個基基和和 的的維維數(shù)數(shù)答案：是向量空間，維數(shù)是答案：是向量空間，維數(shù)

43、是n1,恣意恣意n1個線性無關(guān)解個線性無關(guān)解向量都可作向量都可作V的一個基的一個基.例例4 求求V1的一個基及維數(shù)的一個基及維數(shù)為為實實數(shù)數(shù)nTnaaaaaaV,),(323210 2(0100) ,(0 01)TTn 取取， ， ， ， ， ，解解構(gòu)成構(gòu)成V1一個基一個基,顯然顯然,V1是一個是一個n1維向量空間維向量空間. 1212( ,) |,0.TninVa aaaRxxx , ,是是的的解解向向量量練習練習例例5 求由向量求由向量i (i=1,2,3,4)生成的子空間的基與維生成的子空間的基與維數(shù)數(shù).解解 令令向量組向量組i (i=1,2,3,4)的秩為的秩為3, 且且1,2 ,4

44、線性無線性無關(guān)，關(guān)，因此因此 dimL(1, 2, 3 ,4)=3; 1,2 ,4 為為L(1, 2, 3 ,4) 的一的一個基個基.123421111211,.30311101 行行變變換換行行變變換換211 111011101121101110111303 101100001110103320000A 1234(,),A 對對A施行初等行變換施行初等行變換,得得定義向量在基下的坐標定義向量在基下的坐標 設設1, 2, , n是是n 維線性空間維線性空間V的一個基的一個基,那么對那么對V 中恣意一向量中恣意一向量，有且僅有一組數(shù)，有且僅有一組數(shù)k1, k2, , kn,使使1122nnkkk

45、稱數(shù)稱數(shù)k1, k2, , kn 為向量為向量 在基在基 1, 2, , n下的坐標下的坐標. 記作記作(x1, x2, , x n)T 或或(x1,x 2, ,xn). 例例6證明證明 1, 2, 3為為 R3的基的基,并求向量并求向量在該基下的在該基下的坐標坐標. 123231411333341 ，由12323141 0 03( , )11 330 1 0033410 0 12 初初等等行行變變換換解解3123,3 02.TR 知知線線性性無無關(guān)關(guān)，故故為為的的一一個個基基，且且向向量量 在在該該基基下下的的坐坐標標為為， ，.)1 , 0 , 0()1 , 1 , 0()1 , 1 ,

46、1()1 , 0 , 0()0 , 1 , 0()0 , 0 , 1(2121下的坐標下的坐標及及 nn 練習練習 在在Rn中，求向量中，求向量 =(a1, a2, ,an)在基在基解解 (1) 易知向量易知向量=(a1, a2, ,an)在基在基1, 2,n下的坐標為下的坐標為(a1, a2, ,an)； (2) 由由111221,1,.,21100100110010111001iirri n nnnnaaaaaaaa得得 在在 1 , 2, n下的坐標為下的坐標為(a1, a2-a1, ,an- an-1).同一向量同一向量在不同基下坐標不同！在不同基下坐標不同！3.3.基變換與坐標變換基

47、變換與坐標變換稱式稱式(*)或或 (*)為基變換公式為基變換公式;A為由基為由基1, 2, n到到1 , 2,n的過渡矩陣的過渡矩陣.定義定義 設設與與是是 維維線線性性空空間間 的的兩兩組組基基，且且有有如如下下關(guān)關(guān)系系121211112121212122221122,(*)nnnnnnnnnnnnnVaaaaaaaaa 記記則則可可寫寫為為（* * *）1112121222121212,(*)(,)(,)nnnnnnnnaaaaaaAaaaA 定理定理:線性空間線性空間V中恣意兩組基之間的過渡矩陣是可中恣意兩組基之間的過渡矩陣是可 逆的逆的.證明證明:設設1, 2, n與與1, 2, n是

48、是n維線性維線性空間空間V的的兩組基兩組基, 且且 (1, 2, n)=(1, 2, n)A. (1, 2, n)= (1, 2, n) B.從而從而 (1, 2, n)= (1, 2, n) BA. 即有即有 BA=E因此因此A可逆可逆.定理定理( (基變換與坐標變換基變換與坐標變換) )設設1, 1, 2, 2, 與與1, 1, 2, 2, n n 是是n n維線性空間維線性空間V V的兩個基的兩個基, , 且且 ( (1, 1, 2, 2, n)=(n)=(1, 1, 2, 2, n)An)A， 向量向量 V V在上述兩基下的坐標分別為在上述兩基下的坐標分別為(x1,x2,xn)(x1,

49、x2,xn)及及(y, y2, yn),(y, y2, yn),那么那么坐標變換公式坐標變換公式或或111122221.nnnnxyyxxyyxAAxyyx 例例7 7解解 (1) (1)設由基設由基1, 1, 2, 2, 3 3到到1, 1, 2, 2, 3 3的過的過渡矩陣為渡矩陣為C.C.即即 ( (1, 1, 2, 2, 3)=(3)=(1, 1, 2, 2, 3)C. 3)C.記記A= (A= (1, 1, 2, 2, 3), B= ( 3), B= (1, 1, 2, 2, 3) 3) 有有B=AC.B=AC. 可見可見C C恰為矩陣方程恰為矩陣方程AX=B(AAX=B(A可逆可逆

50、) )的解的解. .3123123123123(1,1,0) ,(0, 1,1) ,(1,0,2)(3,1,0) ,(0,1,1) ,(1,0,4)(1),(2)(3)(2,1,2).TTTTTTTR 設設中中的的兩兩個個基基分分別別為為與與求求由由基基到到基基的的過過渡渡矩矩陣陣；寫寫出出坐坐標標變變換換公公式式；求求在在這這兩兩組組基基下下的的坐坐標標 行行變變換換由由 101 30 1100 522|11 0 1100 10 432012 01400 1 223A B (2) 設向量設向量 R3在上述兩組基下的坐標分別為在上述兩組基下的坐標分別為(x1,x2,x3)及及(y1, y2,

51、y3),那么有坐標變換公式那么有坐標變換公式這這里里112233522,432 .223xyxCyCxy 123(3),. 首首先先求求 在在基基下下的的坐坐標標 行行變變換換由由713301 21006|110 101013014 2001513B 得得 在基在基 1, 2, 3下的坐標下的坐標為為765(,)13 13 13Ty 713522643213223513522713111432600 Cy (1,0,1) .Tx 即即123, 再再依依據(jù)據(jù)坐坐標標變變換換公公式式，得得 在在基基下下的的坐坐標標為為第第3.5 節(jié)節(jié) 線性方程組解的構(gòu)造線性方程組解的構(gòu)造

52、 本節(jié)利用向量組的線性相關(guān)性實際，討論本節(jié)利用向量組的線性相關(guān)性實際，討論線性方程組的解，提示解與解之間的關(guān)系線性方程組的解，提示解與解之間的關(guān)系 . .齊次線性方程組解的構(gòu)造齊次線性方程組解的構(gòu)造非齊次線性方程組解的構(gòu)造非齊次線性方程組解的構(gòu)造1.齊次線性方程組齊次線性方程組(Ax=0)解的構(gòu)造解的構(gòu)造思索 Ax=0總是相容的(它恒有解，x=0就是它的一個解)，問題：當 Ax=0有非零解 (無窮多解)時，解與解之間具有怎樣的關(guān)系？構(gòu)造如何？111122121122221122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xaxaxaxax(1)解向量的性質(zhì)解向量的性質(zhì)解的線性組合依然是

53、解解的線性組合依然是解121200.AxkkAx 若若 , , 均均為為的的解解, , 為為任任意意常常數(shù)數(shù), ,則則，也也是是的的解解 (2) 解的構(gòu)造解的構(gòu)造定義定義(Ax=0的根底解系的根底解系):設設1, 2, , t為為方程組方程組Ax=0的一組解，假設的一組解，假設(i) 1, 2, , t線性無關(guān)；線性無關(guān)；(ii) Ax=0的任一解都能表為的任一解都能表為1, 2, , t的線性組的線性組合，合，那么稱那么稱 1, 2, , t為為Ax=0的一個根底解系的一個根底解系.定理：假設定理：假設n元齊次線性方程組元齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣A的的秩秩r(A)n,那么該

54、方程組有根底解系，且根底解系所那么該方程組有根底解系，且根底解系所含含解向量的個數(shù)為解向量的個數(shù)為n-r.齊次線性方程組的普通解齊次線性方程組的普通解 (通解通解)為：為： =k1 1+k2 2+kn-r n-r (k1,k2,kn-r為恣意實為恣意實數(shù)數(shù)) 1, 2, , n-r為一個根底解系為一個根底解系.例例1 求以下線性方程組的一個根底解系，并用根底解求以下線性方程組的一個根底解系，并用根底解系表示全部解系表示全部解.解解 對系數(shù)矩陣施行初等行變換化為行最簡形對系數(shù)矩陣施行初等行變換化為行最簡形12341234123420242051050 xxxxxxxxxxxx A12111201

55、24120010510150000 行行變變換換得方程組的一個根底解系：得方程組的一個根底解系：方程組的全部解為方程組的全部解為(,R).kkk k112212r A( )24,422. 得得方方程程組組有有無無窮窮多多解解 基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系含含個個向向量量同同解解方方程程組組為為xx2410,01 令令122110,;0001 xxxxxxxx1241243320200 ，即即例例2.|,|的的通通解解，求求方方程程組組余余子子式式的的代代數(shù)數(shù)中中元元素素且且，已已知知階階方方陣陣設設0001111AxAaAAAn.)(.)(,)(,|11101011nArnArnAAnArA故故階階子子式

56、式，則則零零的的存存在在非非，則則知知又又因因則則因因,0()1,.Axnr A 因因此此 方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系只只含含個個向向量量 從從而而方方程程組組的的任任何何一一個個非非零零解解向向量量均均可可作作為為基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系*11|0,00AAA EAAxAA 注注意意到到可可見見的的每每個個列列向向量量都都是是齊齊次次方方程程組組的的解解. . 特特別別地地, ,由由知知: :的的第第一一列列即即是是該該方方程程組組的的非非零零解解，故故方方程程組組的的通通解解可可表表作作：解解)(),(11211為任意常數(shù)cAAAcxTn例例3,()().m nn kABOr Ar Bn已已

57、知知矩矩陣陣等等式式求求證證：(, , ) ,.iAikBAx 01 20可可見見則則知知 的的任任何何一一列列都都是是方方程程組組的的解解()(),n r Akn r AAx 1212120設設方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為，那那么么向向量量組組，必必由由，線線性性表表示示，因因此此(,)(,)(,)( , , ),kkkBABOABAAAAO 1212120 00證證明明： 記記，則則可可以以改改寫寫作作，.)()().(),(),()()(證證畢畢即即，nBrArArnrrBrArnk 21212.非齊次線性方程組非齊次線性方程組(Ax=b) 解的構(gòu)造解的構(gòu)造 思索思索將其常數(shù)項換

58、成將其常數(shù)項換成0，得到齊次線性方程組，得到齊次線性方程組Ax=0，稱，稱為為Ax= 的導出組的導出組.解向量的性質(zhì)解向量的性質(zhì),nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbAxaxaxaxb 11112211211222221122即即AxAxAxAxAx 12120,.若若 ， 均均為為= = 的的解解，則則是是導導出出組組= = 的的解解；若若 為為= = 的的解解 是是導導出出組組= =0 0的的解解 則則為為= = 的的解解 )(*,ArnccAxAxAx10的的解解，故故必必存存在在數(shù)數(shù)是是導導出出組組則則的的特特解解，為為的的任任一一解解，為為設設 *1122()(

59、)12()*1()(,),0.m nn r An r An r Am nn r AAxxcccc ccAxAx 若若非非齊齊次次線線性性方方程程組組有有無無窮窮多多解解, ,則則通通解解為為為為任任意意實實數(shù)數(shù)其其中中為為的的特特解解, ,為為的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系.,)()(*)(的的解解必必為為的的向向量量解解的的性性質(zhì)質(zhì)知知形形如如，根根據(jù)據(jù)線線性性方方程程組組反反之之，對對任任意意一一組組數(shù)數(shù) AxcccccArnArnArn22111)()(*)()(*ArnArnArnArncccccc 22112211即即有有使使得得證證定理定理Ax=b的特解的特解導出組導出組Ax=0的通解的通解

60、2132130432143214321xxxxxxxxxxxxA 111 012111101111310012210000011232初初等等行行變變換換 ,|2bArAr例例4 判別以下線性方程組能否有解，假設有解，試判別以下線性方程組能否有解，假設有解，試求其解有無窮多解時，用根底解系表示其全部解求其解有無窮多解時，用根底解系表示其全部解解 由可得2122143421xxxxx042 xx021021* 而導出組的一個根底解系為而導出組的一個根底解系為1201,001121 故方程組全部解為故方程組全部解為.,*212211為任意常數(shù)cccc 同解方程組為同解方程組為令自在未知量可得原方程