高等數(shù)學(xué)第四節(jié) 反常積分ppt課件

1、例例 1求由曲線求由曲線 y = e-x， y 軸及軸及 x 軸所圍成開口軸所圍成開口曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積. 解這是一個(gè)開口曲邊梯形，解這是一個(gè)開口曲邊梯形， 為求其面積，任取為求其面積，任取 b 0, + )， 在有限區(qū)間在有限區(qū)間 0, b 上，上， 以曲線以曲線 y = e- x為曲邊的曲邊梯形面積為為曲邊的曲邊梯形面積為.e11ede00bbxbxx by = e-x yxO(0,1) 開口曲邊梯形的面積開口曲邊梯形的面積 xAbaxbdelim . 1e11lim bby = e-xyxbO(0,1)即即當(dāng)當(dāng) b + 時(shí)，陰影部分曲邊梯形面積的極限就時(shí)，陰影部分曲邊梯形面積的

2、極限就是開口曲邊梯形面積，是開口曲邊梯形面積，定義定義 1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在 a, + )上延續(xù)，上延續(xù)， 取實(shí)取實(shí)數(shù)數(shù) b a，假設(shè)極限假設(shè)極限 babxxfd)(lim 那么稱此極限為函數(shù)那么稱此極限為函數(shù) f (x) 在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間a, + ) 上的反常積分，上的反常積分，.d)(limd)( babaxxfxxf這時(shí)也稱反常積分收斂，這時(shí)也稱反常積分收斂，,d)( axxf記作記作即即存在，存在，否那么稱反常積分發(fā)散否那么稱反常積分發(fā)散. .定義定義 2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在 (- , b 上延續(xù)，上延續(xù)， 取 實(shí)取 實(shí)數(shù)數(shù) a b， 假設(shè)極限假設(shè)極限 baa

3、xxfd)(lim 那么稱此極限值為函數(shù)那么稱此極限值為函數(shù) f (x) 在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間(- , b 上的反常積分，上的反常積分，xxfxxfbbaad)(limd)( 這時(shí)也稱反常積分收斂，這時(shí)也稱反常積分收斂，,d)( bxxf記作記作即即存在，存在，否那么稱反常積分發(fā)散否那么稱反常積分發(fā)散. .定義定義 3設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在 (- , + ) 內(nèi)延續(xù)，內(nèi)延續(xù)，且且對(duì)恣意實(shí)數(shù)對(duì)恣意實(shí)數(shù) c， 假設(shè)反常積分假設(shè)反常積分xxfxxfccd )(d)( 與與 那么稱上面兩個(gè)反常函數(shù)積分之和為那么稱上面兩個(gè)反常函數(shù)積分之和為 f (x) 在在無窮區(qū)間無窮區(qū)間 (- , + ) 內(nèi)

4、的反常積分，內(nèi)的反常積分，,d)(d)(d)( ccxxfxxfxxf這時(shí)也稱反常積分收斂，這時(shí)也稱反常積分收斂，,d)( xxf記作記作即即都收斂，都收斂，否那么稱反常積分發(fā)散否那么稱反常積分發(fā)散.假設(shè)假設(shè) F(x) 是是 f (x) 的一個(gè)原函數(shù)，并記的一個(gè)原函數(shù)，并記),(lim)(xFFx ).(lim)(xFFx 那么定義那么定義 1，2，3 中的反常積分可表示為中的反常積分可表示為 axxfd)( axF)(，)()(aFF bxxfd)(bxF )(，)()( FbF xxfd)( )(xF. )()( FF例例 2求求.d1102xx 解解xxd1102 0arctanx.20

5、2 .dcos0的的收收斂斂性性xx 例例 3判別判別解解.sindcos00 xxx由于當(dāng)由于當(dāng) x + 時(shí)，時(shí)，sin x 沒有極限，所以反常積分沒有極限，所以反常積分發(fā)散發(fā)散 .例例 4計(jì)算計(jì)算.de0 xxx 解用分部積分法，得解用分部積分法，得 0dexxxxxde0 00deexxxx. 1e0 xxxxxxx elimelim其其中中, 0e1lim xx. 0e0 xx即即例例 5判別判別.lnde 的收斂性的收斂性xxx解解 elnlndxx elndxxx elnlnx故該積分發(fā)散故該積分發(fā)散.例例 6證明反常積分證明反常積分 1,d1xxp 當(dāng)當(dāng) p 1 時(shí)，時(shí)，收斂；當(dāng)

6、收斂；當(dāng) p 1 時(shí)，發(fā)散時(shí)，發(fā)散 .證證 p = 1 時(shí)，那么時(shí)，那么 11lndxxx所以該反常積分發(fā)散所以該反常積分發(fā)散. 11111dppxpxx . 1, 1,11ppp當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) p 1 時(shí)，時(shí)，綜合上述，綜合上述，該反常積分收斂該反常積分收斂. 當(dāng)當(dāng) p 1 時(shí)，時(shí)，該反常積分發(fā)散該反常積分發(fā)散. p 1 時(shí)，那么時(shí)，那么定義定義 4設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 (a, b 上延續(xù)，上延續(xù)，取取 e 0 ， 假設(shè)極限假設(shè)極限xxfbad )(lim0 那么稱此極限值為函數(shù)那么稱此極限值為函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 (a, b 上的反常積分，上的反常積分，.d )(

7、limd )(0 xxfxxfbaba 這時(shí)也稱反常積分收斂，這時(shí)也稱反常積分收斂，否那么稱反常積分發(fā)散否那么稱反常積分發(fā)散. .,)(lim xfax且且,d )(xxfba 記作記作即即存在，存在，定義定義 5設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b) 上延續(xù)，上延續(xù)，取取 e 0 ， 假設(shè)極限假設(shè)極限.d)(lim0 xxfba 那么稱此極限值為函數(shù)那么稱此極限值為函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b) 上的反常積分上的反常積分.xxfxxfbabad)(limd)(0 這時(shí)也稱反常積分收斂，這時(shí)也稱反常積分收斂，否那么稱反常積分發(fā)散否那么稱反常積分發(fā)散. .,)(lim x

8、fbx且且，xxfbad )( 記記作作即即存在，存在，定義定義 6設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在 a, b上除點(diǎn)上除點(diǎn) c (a, b) 外延續(xù)，外延續(xù)，,)(lim xfcx且且假設(shè)下面兩個(gè)反常積分假設(shè)下面兩個(gè)反常積分xxfxxfbccad)(d)( 與與 那么稱這兩個(gè)反常積分之和為函數(shù)那么稱這兩個(gè)反常積分之和為函數(shù) f (x) 在在區(qū)間區(qū)間 a, b 上的反常積分，上的反常積分，.d)(d)(d)(xxfxxfxxfbccaba 這時(shí)也稱反常積分收斂，這時(shí)也稱反常積分收斂，否那么，稱反常積分發(fā)散否那么，稱反常積分發(fā)散. .,d )(xxfba 記作記作即即都收斂，都收斂，假設(shè)假設(shè) F(x

9、) 是是 f (x) 的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，并并記記)(lim)(xFaFax ).(lim)(xFbFbx )(lim)(xFcFcx ).(lim)(xFcFcx 或或那么定義那么定義 4，5，6 中的反常積分可表示為中的反常積分可表示為xxfbad)( ).()()(aFbFxFba xxfxxfxxfbccabad)(d)(d)( bccaxFxF )()().()()()( cFbFaFcFxxfbad)( )()()( aFbFxFba例例 7判別判別.1d10 收斂性收斂性xx解解故積分的收斂故積分的收斂. 101dxx. 21210 x例例 8討論反常積分討論反常積分.d10 的的收收斂斂性性pxx解當(dāng)解當(dāng) p = 1 時(shí)，時(shí)，那么那么.lnd