一元二次方程的解法總結(jié)

1、一元二次方程的解法(直接開(kāi)平方法、配方法、公式法和分解法)一元二次方程定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程一般形式：ax2 +bx+c=Oa, b, c為常數(shù)，x為未知數(shù)，且a0。頂點(diǎn)式：y=a(x-h) 2 +k(a 工 0,a、h、k 為常數(shù))交點(diǎn)式：y=a(x-x ? )(x-x ? ) (a 豐 0)有交點(diǎn)Ax? , 0和Bx? , 0的拋物線，即b2 -4ac>0.直接開(kāi)平方法：直接開(kāi)平方法就是用直接開(kāi)平方求解一元二次方程的方法。用直接開(kāi)平方法解形如(x-m) 2 =n(n > 0)的方程，其解為x=n± 配方法：1. 將此

2、一元二次方程化為ax2 +bx+c=0的形式(此一元二次方程滿足有實(shí)根)2. 將二次項(xiàng)系數(shù)化為13. 將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右側(cè)4. 等號(hào)左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方5. 將等號(hào)左邊的代數(shù)式寫成完全平方形式6. 左右同時(shí)開(kāi)平方7. 整理即可得到原方程的根公式法:1. 化方程為一般式：ax2 +bx+c=0 a 02. 確定判別式，計(jì)算=b2 -4ac；3. 假設(shè) >0,該方程在實(shí)數(shù)域有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：x=假設(shè) =0,該方程在實(shí)數(shù)域有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根:x ? =x?=假設(shè) <0,該方程在實(shí)數(shù)域無(wú)實(shí)數(shù)根因式分解法：因式分解法又分“提公因式法； 而“公式法又分“平方差公式和“完全

3、平方公式兩種，另外還有“十字相乘法，因式分解法是通過(guò)將方程左邊因 式分解所得，因式分解的容在八年級(jí)上學(xué)期學(xué)完。用因式分解法解一元二次方程的步驟1. 將方程右邊化為0;2. 將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；3. 令這兩個(gè)一次式分別為0,得到兩個(gè)一元一次方程；4. 解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1) 當(dāng)題給條件為圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)或 x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形 式：y=ax2 +bx+c(a 工 0)。(2) 當(dāng)題給條件為圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或極大小值時(shí)，可設(shè)解析式為頂 點(diǎn)式：y=a(x-h) 2 +k(a 豐 0)。(3) 當(dāng)題給條件為

4、圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x- x? )(x- x? )(a 豐 0)。增減性當(dāng)a>0且y在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，y隨x增大而增大，y在對(duì)稱軸左側(cè)那么相反，同增同減。當(dāng)a<0且y在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，y隨x增大而減小，y在對(duì)稱軸左側(cè)那么相反，大小小大。常用公式總結(jié)：-&土- 4齡X 2根據(jù)判別式，討論一元二次方程的根。例1:關(guān)于工的方程1：！： 廠有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于工的方程2L "十二：I沒(méi)有實(shí)數(shù)根，問(wèn)取什么整數(shù)時(shí)，方程1 有整數(shù)解？分析：在同時(shí)滿足方程1， 2條件的二的取值圍中篩選符合條件的的整數(shù)值解：方程1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,13.

5、糾=(1卻4(/習(xí):>0，解得八??；解得 ;13方程2沒(méi)有實(shí)數(shù)根.'-八于是，同時(shí)滿足方程1， 2條件的；的取值圍是其中，；的整數(shù)值有- -或"-當(dāng)匚時(shí)，方程1為一二，無(wú)整數(shù)根；當(dāng)7 -時(shí)，方程1為，有整數(shù)根。解得：；B宀 二所以，使方程1有整數(shù)根的；的整數(shù)值是 O說(shuō)明：熟悉一元二次方程實(shí)數(shù)根存在條件是解答此題的根底，正確確定 二的取值圍，并 依靠熟練的解不等式的根本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出-'，這也正是解答此題的根本技巧。二、判別一元二次方程兩根的符號(hào)。例1:不解方程，判別方程;兩根的符號(hào)分析：對(duì)于- |'來(lái)說(shuō)，往往二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)

6、項(xiàng)皆為，可據(jù)此求出根的判別式厶，但只能用于判定根的存在與否， 假設(shè)判定根的正負(fù)， 那么需要確定I 或'.-的正負(fù)情況。因此解答此題的關(guān)鍵是： 既要求出判別式的 值，又要確定r - 或-的正負(fù)情況。解：4X 2X ( 7) = 65> 0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。設(shè)方程的兩個(gè)根為'-,7兩花二一一- v 0原方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根。說(shuō)明：判別根的符號(hào)，需要把“根的判別式和“根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合起來(lái)進(jìn) 展確定，另外由于此題中【0，所以可判定方程的根為一正一負(fù)； 倘假設(shè)二-> 0, 仍需考慮=+的正負(fù)，方可判別方程是兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根。三、一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)

7、根以與字母系數(shù)的值。例2：方程- m 一八的一個(gè)根為2,求另一個(gè)根與宀的值。分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把：代入原方程，先求出的值，再通過(guò)解方程方法求出另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出 另一個(gè)根與J的值。解法一：把， 代入原方程，得：7-亠 即一；，解得可'"當(dāng)當(dāng)小 j時(shí)，原方程均可化為：只一欽+呂=0，解得：坷二2也二4方程-的另一個(gè)根為4, 的值為3或一1。解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為：，根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得：工+ %=-( 6= 6心 二剛* 一 2衢十5 . X = 2 .把 兀=2代入;： '- ' '

8、 可得： r _ .把 二一，代入；：" 一 '' + 可得：:v - -L ； 即；八 _、 ' 解得' - -V 方程-一的另一個(gè)根為4，審的值為3或一1。說(shuō)明：比較起來(lái)，解法二應(yīng)用了韋達(dá)定理，解答起來(lái)較為簡(jiǎn)單。例3：方程汀''J 1 - 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21,求的值。分析：此題假設(shè)利用轉(zhuǎn)化的思想，將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比 兩根的積大2T轉(zhuǎn)化為關(guān)于*的方程，即可求得的值。解：.方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，.'1 一 -：:'，解得啓 <0設(shè)方程兩根為丫 ;那么r八一 2趴,二_才i .

9、9; -' . .二 "二 I - 二 '' 丄- 整理得： "丿 . I 解得：又：“，.：二.說(shuō)明：當(dāng)求出亠-宀-后，還需注意隱含條件 c ，應(yīng)舍去不合題意的"二。四、運(yùn)用判別式與根與系數(shù)的關(guān) 系解題。例5:是關(guān)于卞的一元二次方程"- ' ； _ 的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，問(wèn)、和能否同號(hào)？假設(shè)能同號(hào)，請(qǐng)求出相應(yīng)的的取值圍；假設(shè)不能同號(hào)， 請(qǐng)說(shuō)明理由，解：因?yàn)殛P(guān)于丫的一元二次方程11 1 '- 有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，那么有AP廉 W ' -'1 -1 廠: :-：又是方程- 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以由一元二次方程根

10、與系數(shù)的關(guān)系，可得廠1zL x3=l4 假設(shè)©、心 同號(hào)，那么有兩種可能: 嚴(yán)+巧c QX /可u0 2心九©沁假設(shè)可“,那么有：bl-1 < 0 1 .-/ > 0即有：,解不等式組得晞?1時(shí)方程才有實(shí)樹根，.此種情況不成立。一們一1 > 0那么有:;即有:,解不等式組，得W7 < 朋魚一又，二當(dāng) 時(shí)，兩根能同號(hào) 說(shuō)明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系深刻揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的在聯(lián)系，是分析研究有關(guān)一元二次方程根的問(wèn)題的重要工具，也是計(jì)算有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問(wèn)題的重要工具。知識(shí)的運(yùn)用方法靈活多樣，是設(shè)計(jì)考察創(chuàng)新能力試題的良好載體，在中考中與此

11、有聯(lián)系的試題出現(xiàn)頻率很高，應(yīng)是同學(xué)們重點(diǎn)練習(xí)的容。六、運(yùn)用一元二次方程根的意義與根與系數(shù)的關(guān)系解題。例：門、是方程;! -人-'的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值。分析：此題可充分運(yùn)用根的意義和根與系數(shù)的關(guān)系解題，應(yīng)摒棄常規(guī)的求根后，再帶入的方法，力求簡(jiǎn)解。解法一：由于是方程；、;的實(shí)數(shù)根，所以-_設(shè)廠：川人cP + 込5+ 2a 與 /J2 +2/5 5 相加 得.M =亍 * 40 + 2- 亍JlL丄J：'_： '.變形目的是構(gòu)造二I -和根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有：一 一'沁 -', 得：H 二 -: ，一 .、 I 7- ：r =0解法二：由于汀、嚴(yán)是方程- -

12、 V ''的實(shí)數(shù)根,:，二.一：【+：；+-.：-!. ' - -. I - :J： - I 說(shuō)明. 既要熟悉問(wèn)題的常規(guī)解法，也要隨時(shí)想到特殊的簡(jiǎn)捷解法，是解題能力提高的重要標(biāo)志，是 努力的方向。有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問(wèn)題，當(dāng)根是無(wú)理數(shù)時(shí)，運(yùn)算將十分繁瑣，這 時(shí)，如果方程的系數(shù)是有理數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的 作用。這類問(wèn)題在解法上靈活多變，式子的變形具有創(chuàng)造性，重在考查能力，多年來(lái)一 直受到命題教師的青睞。 七、運(yùn)用一元二次方程根的意義與判別式解題。例8兩方程 廠_ 和；'!"1/1':，至少有一個(gè)一樣的實(shí) 數(shù)根，

13、求這兩個(gè)方程的四個(gè)實(shí)數(shù)根的乘積。分析：當(dāng)設(shè)兩方程的一樣根為 h時(shí)，根據(jù)根的意義，可以構(gòu)成關(guān)于 "和呵的二元方程 組，得解后再由根與系數(shù)的關(guān)系求值。解：設(shè)兩方程的一樣根為 門，根據(jù)根的意義，二:丄，叫.和廠！I ； ：:'兩式相減，得2八1m = - 當(dāng)'："-時(shí)，"，方程的判別式也二(一懈尸-4( + 5) = (-l/ <0方程無(wú)實(shí)數(shù)解66353當(dāng):m時(shí)，有實(shí)數(shù)解-："-I代入原方程，得二一叫_，所以；_ r于是，兩方程至少有一個(gè)一樣的實(shí)數(shù)根，4個(gè)實(shí)數(shù)根的相乘積為1 '' V 亠 說(shuō)明：1此題的易錯(cuò)點(diǎn)為忽略對(duì)？-的

14、討論和判別式的作用，常常除了犯有默認(rèn)1的錯(cuò)誤，甚至還會(huì)得出并不存在的解：1刑二當(dāng)-時(shí)，兩方程一樣，方程的另一根也一樣，所以4個(gè)根的相乘積孕+52 =- 匚= 2 =為：i-2既然此題是討論一元二次方程的實(shí)根問(wèn)題，就應(yīng)首先確定方程有實(shí)根的條件：右 1 - f-ws2 一4腳 + 5二加- 20 kO且-_；丨 I：' ：": -： . -另外還應(yīng)注意：求得的門的值必須滿足這兩個(gè)不等式才有意義。一、填空題：1、 如果關(guān)于兀的方程+的兩根之差為2，那么七二。2、 關(guān)于兀的一元二次方程91工-®+lx+l = °兩根互為倒數(shù)，那么世二。1132 + = - 一3、

15、 關(guān)于齊的方程匯弓曲+盤蜒-1=0的兩根為珂.乃，且可環(huán)已，那么禰二4、恥花是方程岔m 的兩個(gè)根，那么珂f二；可十i花+i= .崗一叼=5、關(guān)于兀的一元二次方程用/-4龍一“ °的兩根為帀和可，且珂+也二-2，那么喘二 (町十吃)"比-。6、 如果關(guān)于兀的一元二次方程+°尤+區(qū)=0的一個(gè)根是1一龐，那么另一個(gè)根是， 總的值為。7、2 +柘是*-4x +上二°的一根，那么另一根為，上的值為。8、一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根是 2+丘 和2-我，那么這個(gè)一元二次方程為：。二、求值題：1、可是方程於-頭-1二0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求可% +曲 的值。2、

16、可、也是方程跖_(tái)2m 的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求E f)的值。253 -253、 X】、花是方程店+弘-4= °的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求心無(wú)十珂光 的值。4、 兩數(shù)的和等于6,這兩數(shù)的積是4,求這兩數(shù)。5、 關(guān)于x的方程2只用-gW + l二0的兩根滿足關(guān)系式心一也=1，求喘的值與 方程的兩個(gè)根。6、方程*+楓+ 4二。和-(-2)a-16 = °有一個(gè)一樣的根，求出的值與這個(gè)一樣的 根。三、能力提升題：1、實(shí)數(shù)疋在什么圍取值時(shí)，方程才-加+譏-1) = °有正的實(shí)數(shù)根？2, 17T +聊-洶-了二 0關(guān)于兀的一元二次方程21求證：無(wú)論喘取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。2假設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根可、忑滿足站F二即+ 1，求喘的