高等數(shù)學(xué)同濟六版第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)ppt課件

1、無窮級數(shù) 無窮級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)表示函數(shù)研究性質(zhì)研究性質(zhì)數(shù)值計算數(shù)值計算數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)第十一章常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項級數(shù)的概念一、常數(shù)項級數(shù)的概念 二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件 第一節(jié)一、常數(shù)項級數(shù)的概念一、常數(shù)項級數(shù)的概念 引例引例. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.naaaaA210定義：定義： 給定數(shù)列,321nuuuu將各項依次相加，,1nnu即1nnunuuuu321稱上式為無窮級數(shù)， 其中第 n

2、項nu叫做級數(shù)的一般項,簡記為級數(shù)的前 n 項和1nnkksu稱為級數(shù)的部分和.nuuuu321lim,nnss若存在收斂收斂 ,則稱無窮級數(shù)稱 s 為級數(shù)的和,記作1.nnsulim,nns若不存在則稱無窮級數(shù)發(fā)散 .21nnnnuuSSr為級數(shù)的余項. 顯然lim0.nnr稱差值余項的絕對值稱為誤差.例例2. 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性:11221(1)ln(1); 1(2);(1)1(3)ln 1 nnnnn nn拆項相消(1),(2)1,(3)ln2 例例1. 討論下述等比級數(shù)討論下述等比級數(shù) (又稱幾何級數(shù))的斂散性:)0(20aqaqaqaaqannn例例3. 判斷級

3、數(shù)的斂散性判斷級數(shù)的斂散性:11nn發(fā)散 .放縮法二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 若級數(shù)若級數(shù)1nnu收斂于 s ,1,nnsu則各項乘以常數(shù) k 所得級數(shù)1nnku也收斂 ,說明說明: 級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即其和為 ks .性質(zhì)性質(zhì)2. 設(shè)有兩個收斂級數(shù)設(shè)有兩個收斂級數(shù)1,nnsu1nnv則級數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.s性質(zhì)性質(zhì)4. 收斂級數(shù)加括號后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.推論推論: 若加括弧后的級數(shù)發(fā)散若加括弧后的級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)必發(fā)散則原級數(shù)必發(fā)散.注意注意: 收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)

4、不一定收斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.性質(zhì)性質(zhì)3. 在級數(shù)前面加上或去掉有限項, 不會影響級數(shù)的斂散性.三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件 設(shè)收斂級數(shù)1,nnsu則必有.0limnnu推論推論: 若級數(shù)的一般項不趨于若級數(shù)的一般項不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散則級數(shù)必發(fā)散 .注意注意:0limnnu并非級數(shù)收斂的充分條件.例例4. 判斷級數(shù)的斂散性判斷級數(shù)的斂散性:1111112 12 13 13 14 14 1111(1)123(2)n發(fā)散 .性質(zhì)性質(zhì)5.調(diào)和級數(shù)例例5. 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性, 若收斂求其和若收斂求其和:1,411(1)sin.nnn1(4)sin.nn3211(5);32nnnn1