奧數(shù)容斥原理（課堂PPT）

1、1小學(xué)數(shù)學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)2容斥原理容斥原理v在計(jì)數(shù)時(shí)，為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)在計(jì)數(shù)時(shí)，為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)數(shù)目先計(jì)算出來，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱既無遺漏又無重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理。為容斥原理。3容斥原理（第一講）v 一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，

2、有12人語文得滿分，并且有4人語、數(shù)都是滿分，那么這個(gè)班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人？ v數(shù)學(xué) 語文v 15 4 12v 數(shù)學(xué)和語文 4數(shù)學(xué)語文15124得滿分的同學(xué)這個(gè)班至少有一門得滿分是什么意思？這個(gè)班至少有一門得滿分是什么意思？數(shù)學(xué)得滿分?jǐn)?shù)學(xué)得滿分只有數(shù)學(xué)得滿分只有數(shù)學(xué)得滿分兩種都得滿分兩種都得滿分語文得滿分語文得滿分只有語文得滿分只有語文得滿分得滿分的學(xué)生得滿分的學(xué)生方法一：（方法一：（15-4）+4（12-4）=23（人）（人）方法二：15+（12-4）=23（人）方法三：（15-4）+12=23（人）方法四：15+12-4=23（人）方法一、二、三是分塊計(jì)數(shù)的方法；方法四不考慮重

3、復(fù)，先相加，再去重。5 容斥原理一 上題中語文滿分人數(shù)是上題中語文滿分人數(shù)是12，數(shù)學(xué)滿分人數(shù)是，數(shù)學(xué)滿分人數(shù)是15，一門滿分的人數(shù)應(yīng)該是，一門滿分的人數(shù)應(yīng)該是27，但我們重復(fù)，但我們重復(fù)計(jì)算了語文數(shù)學(xué)都是滿分人數(shù)計(jì)算了語文數(shù)學(xué)都是滿分人數(shù)4，所以應(yīng)該減，所以應(yīng)該減去去4，答案就是，答案就是23結(jié)論：（公式一）結(jié)論：（公式一） 如果被計(jì)數(shù)的事物有如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B兩類，那么，兩類，那么， A類或類或B類事物個(gè)數(shù)類事物個(gè)數(shù)= A類事物個(gè)數(shù)類事物個(gè)數(shù)+ B類事物類事物 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)既是既是A類又是類又是B類的事物個(gè)數(shù)。類的事物個(gè)數(shù)。6v某班學(xué)生每人家里至少有空調(diào)和電腦某班學(xué)生每人家里至少有空調(diào)和

4、電腦兩種電器中的一種，已知家中有空調(diào)兩種電器中的一種，已知家中有空調(diào)的有的有41人，有電腦的有人，有電腦的有34人，二者都人，二者都有的有有的有27人，這個(gè)班有學(xué)生多少人？人，這個(gè)班有學(xué)生多少人？ v 41 27 3441+34-27=48（人）（人）7v一個(gè)班有一個(gè)班有45名學(xué)生，訂閱小學(xué)生數(shù)名學(xué)生，訂閱小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)的有學(xué)報(bào)的有15人，訂閱今日少年報(bào)人，訂閱今日少年報(bào)的有的有10人，兩種報(bào)紙都訂閱的有人，兩種報(bào)紙都訂閱的有6人。人。v（1）訂閱報(bào)紙的總?cè)藬?shù)是多少？）訂閱報(bào)紙的總?cè)藬?shù)是多少？ 15 6 10v（2）兩種報(bào)紙都沒訂閱的有多少人？）兩種報(bào)紙都沒訂閱的有多少人？ 容斥原理容斥原理15

5、+10-6=19人45-19=26人8v在在1到到1000的自然數(shù)中，能被的自然數(shù)中，能被3或或5整除的數(shù)共整除的數(shù)共有多少個(gè)？不能被有多少個(gè)？不能被3或或5整除的數(shù)共有多少個(gè)？整除的數(shù)共有多少個(gè)？v能被能被3整除的個(gè)數(shù)：整除的個(gè)數(shù)： 10003=333個(gè)個(gè)1 v能被能被5整除的個(gè)數(shù)：整除的個(gè)數(shù)： 10005=200個(gè)個(gè) 能被能被3和和5整除的個(gè)數(shù)：整除的個(gè)數(shù)： 100015=66個(gè)個(gè)10所以根據(jù)容斥原理，能被所以根據(jù)容斥原理，能被3或或5整除的數(shù)共有整除的數(shù)共有： 333+200-66=467個(gè)個(gè)不能被不能被3或或5整除的個(gè)數(shù)：整除的個(gè)數(shù)： 1000-467=533個(gè)個(gè)9v某校選出某校選出5

6、0名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)競(jìng)賽，作文比賽獲獎(jiǎng)的有數(shù)學(xué)競(jìng)賽，作文比賽獲獎(jiǎng)的有16人，人，數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有12人，有人，有5人兩項(xiàng)比人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)了。賽都獲獎(jiǎng)了。v（1）共有多少人獲獎(jiǎng)？）共有多少人獲獎(jiǎng)？v16+12-5=23人人v（2）兩項(xiàng)比賽都沒獲獎(jiǎng)的有多少人？）兩項(xiàng)比賽都沒獲獎(jiǎng)的有多少人？v50-23=27人人 10v習(xí)題習(xí)題v1、四（、四（1）班有）班有40個(gè)學(xué)生，其中個(gè)學(xué)生，其中25人參加人參加數(shù)學(xué)小組，數(shù)學(xué)小組，23人參加航模小組，有人參加航模小組，有19個(gè)人個(gè)人兩個(gè)小組都參加了，那么，有多少人兩個(gè)兩個(gè)小組都參加了，那么，有多少人兩個(gè)小組都沒有

7、參加？小組都沒有參加？v2、有、有100位旅客，其中有位旅客，其中有10人既不懂英語人既不懂英語又不懂俄語，有又不懂俄語，有75人懂英語，人懂英語，83人懂俄語，人懂俄語，問既懂英語又懂俄語的有多少人？問既懂英語又懂俄語的有多少人？25+23+19=29人 40-29=11人100-10=90人 75+83=158人 158-90=68人11v3、在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，所有同學(xué)都答了第、在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，所有同學(xué)都答了第1、2兩題，其中答對(duì)第兩題，其中答對(duì)第1題的有題的有35人，答對(duì)第人，答對(duì)第2題的題的有有28人，這兩題都答對(duì)的有人，這兩題都答對(duì)的有20人，沒有人兩題人，沒有人兩題都答錯(cuò)。一共有

8、多少人參加了這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)？都答錯(cuò)。一共有多少人參加了這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)？v4、一個(gè)俱樂部里，會(huì)下中國象棋的有、一個(gè)俱樂部里，會(huì)下中國象棋的有69人，會(huì)人，會(huì)下國際象棋的有下國際象棋的有52人，這兩種棋都不會(huì)下的有人，這兩種棋都不會(huì)下的有12人，都會(huì)下的有人，都會(huì)下的有30人。這個(gè)俱樂部里有多少人。這個(gè)俱樂部里有多少人？人？35+28-20=42人69+52-30=91人 91+12=103人12v5、全班有、全班有50人，不會(huì)騎車的有人，不會(huì)騎車的有23人，不會(huì)人，不會(huì)滑旱冰的有滑旱冰的有35人，兩樣都會(huì)的有人，兩樣都會(huì)的有5人。問：人。問：兩樣都不會(huì)的有多少人？?jī)蓸佣疾粫?huì)的有多少人？v6、六年級(jí)（

9、、六年級(jí)（2）班有）班有48名學(xué)生，其中會(huì)騎自名學(xué)生，其中會(huì)騎自行車的有行車的有27個(gè)，會(huì)游泳的有個(gè)，會(huì)游泳的有18人，既會(huì)騎自人，既會(huì)騎自行車又會(huì)游泳的有行車又會(huì)游泳的有10人。問兩樣都不會(huì)的有人。問兩樣都不會(huì)的有多少人？多少人？50-5=45人 23+35-45=15人27+18-10=35人 48-35=13人13容斥原理（第二講）容斥原理（第二講）v某校六（某校六（1）班，每人）班，每人在暑假里都參加體育訓(xùn)在暑假里都參加體育訓(xùn)練隊(duì)，其中參加足球隊(duì)練隊(duì)，其中參加足球隊(duì)的有的有25人，參加排球隊(duì)人，參加排球隊(duì)的有的有22人，參加游泳隊(duì)人，參加游泳隊(duì)的有的有34人，足球、排球人，足球、排球都

10、參加的有都參加的有12人，足球、人，足球、游泳都參加的有游泳都參加的有18人，人，排球、游泳都參加的有排球、游泳都參加的有14人，三項(xiàng)都參加的有人，三項(xiàng)都參加的有8人，這個(gè)班有多少人？人，這個(gè)班有多少人？v 足球 排球v v 游泳 14A+B+C+D+E+F+G=六（六（1）班人數(shù)）班人數(shù) 只參加足球訓(xùn)練只參加足球訓(xùn)練只參加游泳訓(xùn)練只參加游泳訓(xùn)練只參加排球訓(xùn)練只參加排球訓(xùn)練既參加足球又參加游泳既參加足球又參加游泳既參加足球又參加排球既參加足球又參加排球既參加游泳又參加排球既參加游泳又參加排球三種都參加三種都參加共七塊共七塊15 A+D+E+G=25 D+G=18 B+D+F+G=34 F+G=

11、14 C+E+F+G=22 E+G=12（A+D+E+G）（）（BDFG）（）（CE+F+G）-（DG）（）（FG）（）（E）塊（去重時(shí)把塊（去重時(shí)把G去完了）去完了）再加上三種都參加的再加上三種都參加的G這個(gè)班人數(shù)這個(gè)班人數(shù)16v結(jié)論（結(jié)論（公式二）公式二）v如果被計(jì)數(shù)的事物有如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B、C三類，三類，那么，那么，A類或類或B類或類或C類事物個(gè)數(shù)類事物個(gè)數(shù)= A類類事物個(gè)數(shù)事物個(gè)數(shù)+ B類事物個(gè)數(shù)類事物個(gè)數(shù)+C類事物個(gè)類事物個(gè)數(shù)數(shù)既是既是A類又是類又是B類的事物個(gè)數(shù)類的事物個(gè)數(shù)既既是是A類又是類又是C類的事物個(gè)數(shù)類的事物個(gè)數(shù)既是既是B類類又是又是C類的事物個(gè)數(shù)類的事物個(gè)數(shù)+既是

12、既是A類又是類又是B類類而且是而且是C類的事物個(gè)數(shù)。類的事物個(gè)數(shù)。 17v例1：設(shè)某班每名學(xué)生都要選修至少一種外語，其中選修英語的學(xué)生人數(shù)為25，選修法語的學(xué)生人數(shù)為18，選修德語的學(xué)生人數(shù)為20，同時(shí)選修英語和法語的學(xué)生人數(shù)為8，同時(shí)選修英語和德語的學(xué)生人數(shù)為13 ，同時(shí)選修法語和德語的學(xué)生人數(shù)為6，而同時(shí)選修上述三種外語的學(xué)生人數(shù)則為3，問該班共有多少名學(xué)生？ 25+18+20-8-13-6+3=39人人18v例2、在一個(gè)炎熱的夏日，幾個(gè)小朋友去冷飲店，每人至少要了一樣冷飲，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的沒有，只要汽水和雪碧的有1人

13、；三樣都要的有1人。問：共有幾個(gè)小朋友去了冷飲店？ 6+6+4-（3+1）-（0+1）-（1+1）+1=10人 v分析與解：根據(jù)題意畫圖。6614冰汽?人103雪19v例3. 某校六年級(jí)二班有49人參加了數(shù)學(xué)、英語、語文學(xué)習(xí)小組，其中數(shù)學(xué)有30人參加，英語有20人參加，語文小組有10人。老師告訴同學(xué)既參加數(shù)學(xué)小組又參加語文小組的有3人，既參加數(shù)學(xué)又參加英語和既參加英語又參加語文的人數(shù)均為質(zhì)數(shù)，而三種全參加的只有1人，求既參加英語又參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)。v 分析與解：根據(jù)已知條件畫出圖。數(shù)英49人質(zhì)3語3020101質(zhì)20v 三圓蓋住的總體為49人，假設(shè)既參加數(shù)學(xué)又參加英語的有x人，既參加語文又參

14、加英語的有y人，可以列出這樣的方程： 整理后得： 由于x、y均為質(zhì)數(shù)，因而這兩個(gè)質(zhì)數(shù)中必有一個(gè)偶質(zhì)數(shù)2，另一個(gè)質(zhì)數(shù)為7。v 答：既參加英語又參加數(shù)學(xué)小組的為2人或7人。3020103149xyxy 921v例5. 某班同學(xué)參加升學(xué)考試，得滿分的人數(shù)如下：數(shù)學(xué)20人，語文20人，英語20人，數(shù)學(xué)、英語兩科滿分者8人，數(shù)學(xué)、語文兩科滿分者7人，語文、英語兩科滿分者9人，三科都沒得滿分者3人。問這個(gè)班最多多少人？最少多少人？v 分析與解：根據(jù)題意畫圖。數(shù)英98語2020207322v 設(shè)三科都得滿分者為xv 全班人數(shù) v整理后：全班人數(shù)39xv 39+x表示全班人數(shù)，當(dāng)x取最大值時(shí)，全班人數(shù)就最多，當(dāng)x取最小值時(shí)，全班人數(shù)就最少。x是數(shù)學(xué)、語文、英語三科都得滿分的同學(xué)，因而x中的人數(shù)一定不超過兩科得滿分的人數(shù)，即 且 ，由此我們得到 ，另一方面x最小可能是0，即沒有三科都得滿分的。v 當(dāng)x取最大值7時(shí)，全班有 人，當(dāng)x取最小值0時(shí)，全班有39人。v 答：這個(gè)班最多有46人，最少有39人。2020207893xxx78，()39746x 9x 723試一試v1. 某班45名同學(xué)參加體育測(cè)試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠(yuǎn)得優(yōu)者18人，又知百米、跳遠(yuǎn)都得優(yōu)者7人，跳高、百米得優(yōu)者6人，跳高、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，全班只有1名同學(xué)各項(xiàng)都沒達(dá)優(yōu)秀，求三項(xiàng)都是優(yōu)秀的人數(shù)。v45-1=