夫瑯禾費單縫衍射光強(qiáng)分布MATLAB分析畢業(yè)論文

1、摘 要衍射為人們所熟悉的現(xiàn)象，對于光的這種特殊現(xiàn)象在很多方面有著應(yīng)用。在光的衍射的基礎(chǔ)上，介紹了什么是夫瑯禾費衍射，幾種實現(xiàn)夫瑯禾費衍射的方法和原理及光強(qiáng)分布特點，以基爾霍夫積分定理為基礎(chǔ)，利用衍射公式的近似對基爾霍夫衍射公式進(jìn)行了推導(dǎo)，從理論上得出了夫瑯禾費單縫衍射的光強(qiáng)公式，利用Matlab軟件進(jìn)行了光強(qiáng)分布的圖樣仿真，并用實驗采集到的圖樣對理論和仿真的結(jié)論進(jìn)行了驗證，采用對觀察屏上各點的光強(qiáng)進(jìn)行計算的方法，對衍射條紋分析對比研究，重點研究了夫瑯禾費單縫衍射光強(qiáng)分布以及衍射的條紋分析，計算結(jié)果與實驗結(jié)果得到了很好的吻合。關(guān)鍵詞：夫瑯禾費單縫衍射；光強(qiáng)分布；衍射條紋；對比分析Abstract

2、Diffraction to people familiar with the phenomenon, the light of this unique phenomenon has applications in many areas. In the diffraction of light on the basis of what is on the Fraunhofer diffraction, the realization of several Fraunhofer diffraction methods and principles and distribution of ligh

3、t intensity to Kirchhoff integral theorem based on the formula used diffraction Kirchhoff diffraction similar to the formula derived from the theory that the Fraunhofer single-slit diffraction of light formula, using the Matlab software Light simulation of the design and use of the images collected

4、on theory Simulation and the conclusions were verified by on-screen to observe the strong points of light to the method of calculation, the diffraction fringes of comparative study, focused on the Fraunhofer single-slit diffraction intensity distribution and diffraction analysis of the fringe The re

5、sults with the experimental results have been very good anastomosis.Key words：Fraunhofer single-slit diffraction；light distribution；diffraction fringes ; comparative analysis目 錄第1章 概 述11.1 光的衍射11.2 研究的內(nèi)容與目的2第2章 夫瑯禾費衍射原理32.1 惠更斯菲涅耳原理32.2 夫瑯禾費衍射42.3 實現(xiàn)夫瑯禾費衍射的幾種方法52.4 菲涅耳半波帶分析法72.5 夫瑯禾費衍射光強(qiáng)圖樣特點102.6 本章

6、小結(jié)12第3章 光強(qiáng)分布的推導(dǎo)133.1 基爾霍夫積分定理133.2 基爾霍夫衍射公式153.3 基爾霍夫衍射公式的近似173.4 夫瑯禾費單縫衍射光強(qiáng)分布193.5 本章小結(jié)20第4章 條紋分析214.1 理論分析214.2 仿真分析234.3 實驗分析264.4 對比分析284.5 本章小結(jié)29結(jié) 論30參考文獻(xiàn)31致 謝32第1章 概 述1.1 光的衍射1.1.1 衍射特點光波遇到障礙物以后會或多或少地偏離幾何光學(xué)傳播定律的現(xiàn)象。幾何光學(xué)表明，光在均勻媒質(zhì)中按直線定律傳播，光在兩種媒質(zhì)的分界面按反射定律和折射定律傳播。但是，光是一種電磁波，當(dāng)一束光通過有孔的屏障以后，其強(qiáng)度可以波及到按直

7、線傳播定律所劃定的幾何陰影區(qū)內(nèi)，也使得幾何照明區(qū)內(nèi)出現(xiàn)某些暗斑或暗紋。光的衍射是指光波在傳播過程中遇到障礙物時，所發(fā)生的偏離直線傳播的現(xiàn)象。光的衍射，也可以叫做光的繞射，即光可以繞過障礙物，傳播到障礙物的幾何陰影區(qū)域中，并在障礙物后的觀察屏上呈現(xiàn)出光強(qiáng)的不均勻分布。通常將觀察屏上的不均勻光強(qiáng)分布稱為衍射圖樣。(a) S K K(b) SSKK圖 1-1 光的衍射現(xiàn)象如圖1-1所示，讓一個足夠亮的點光源S發(fā)出的光透過一個圓孔，照射到屏幕K上，并且逐漸改變圓孔的大小，就會發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圓孔足夠大時，在屏幕上看到一個均勻光斑，光斑的大小就是圓孔的幾何投影，如圖 1-1（a）所示；隨著圓孔逐漸減小，起初光斑

8、也相應(yīng)的變小，而后光斑開始模糊，并且在圓斑外面產(chǎn)生若干圍繞圓斑的同心圓環(huán)，當(dāng)使用單色光源時，這是一組明暗相見的同心環(huán)帶，如圖1-1（b）所示，當(dāng)使用白色光源時，這是一組色彩相間的彩色環(huán)帶；此后再使圓孔變小，光斑及圓環(huán)不跟著變小，反而會增大起來，這就是光的衍射現(xiàn)象。1.1.2 衍射與干涉的關(guān)系干涉現(xiàn)象和衍射現(xiàn)象都是光具有波動性的重要特征，那么，它們有怎樣的區(qū)別和聯(lián)系呢，簡單地說，干涉是若干光束的疊加，更確切地講應(yīng)該是，當(dāng)參與疊加的各束光本身的傳播行為可近似用幾何光學(xué)直線傳播的模型描寫時，這個疊加問題是純干涉問題；若參與疊加的各束光本身的傳播明顯地不符合幾何光學(xué)模型，則應(yīng)該說，對每一束而言都存在著

9、衍射，而各束光之間則存在干涉聯(lián)系。在一般問題中，干涉和衍射兩者的作用是同時存在的。從本質(zhì)上說，干涉和衍射都是波的相干疊加的結(jié)果，只是參與相干疊加的對象有所區(qū)別，干涉是有限幾束光疊加，而衍射則是無窮多次波的相干疊加。其次，出現(xiàn)的干涉和衍射花樣都是明暗相間的條紋，但在光強(qiáng)分布上有間距均勻與相對集中的不同。1.1.3 衍射的應(yīng)用光的衍射決定光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)；氣體或液體中的大量懸浮粒子對光的散射，衍射也起重要的作用。衍射應(yīng)用大致可以概括為以下四個方面： 1、 光譜分析：如衍射光柵光譜儀。 2、 結(jié)構(gòu)分析:衍射圖樣對精細(xì)結(jié)構(gòu)有一種相當(dāng)敏感的“放大”作用,故而利用圖樣分析結(jié)構(gòu),如X射線結(jié)構(gòu)學(xué)。 3、 成

10、像:在相干光成像系統(tǒng)中,引進(jìn)兩次衍射成像概念，由此發(fā)展成為空間濾波技術(shù)和光學(xué)信息處理。光瞳衍射導(dǎo)出成像儀器的分辨本領(lǐng)。4、 波陣面再現(xiàn): 一種全新的兩步無透鏡成像法，也稱為波陣面再現(xiàn)術(shù)，這是全息術(shù)原理中的重要一步。1.2 研究的內(nèi)容與目的通過衍射現(xiàn)象進(jìn)一步了解夫瑯禾費衍射，首先從原理出發(fā)，掌握夫瑯禾費單縫衍射的原理，利用三角公式和積分處理,通過對光強(qiáng)的計算和對其分布特點的理論研究，從中找出光強(qiáng)分布規(guī)律，再利用matlab軟件描繪出其光強(qiáng)分布，最后通過實驗采集的圖樣進(jìn)行驗證，對比研究分析衍射條紋的特點。 第2章 夫瑯禾費衍射原理2.1 惠更斯菲涅耳原理最早成功地用波動理論解釋衍射現(xiàn)象的是菲涅耳，

11、他將惠更斯原理用光的干涉理論加以補(bǔ)充，并予以發(fā)展。S圖 2-1 惠更斯原理SRZrP圖 2-2 單色點光源S對P點的光作用惠更斯原理是描述波動傳播過程的一個重要原理，其主要內(nèi)容是：如圖2-1所示的波源S，在某一時刻所產(chǎn)生波的波陣面為，則面上的每一點都可以看作是一個次波源，它們發(fā)出球面次波，其后某一時刻的波陣面即是該時刻這些球面次波的包跡面，波陣面的法線面的法線方向就是該波的傳播方向?；莞乖砟軌蚝芎玫亟忉尮獾闹本€傳播，光的反射和折射方向，但不能說明衍射過程及其強(qiáng)度分布。菲涅耳在研究了光的干涉現(xiàn)象后，考慮到次波來自于同一光源，應(yīng)該相干，因而波陣面上每一點的光振動應(yīng)該是在光源和該點之間任一波面上

12、的各點發(fā)出的次波場疊加的結(jié)果。這就是惠更斯菲涅耳原理。 利用惠更斯菲涅耳原理可以解釋衍射現(xiàn)象：在任意給定的時刻，任一波面上的點都起著次波波源的作用，它們各自發(fā)出球面次波，障礙物以外任意點上的光強(qiáng)分布，即是沒有被阻擋的各個次波源發(fā)出的次波在該點相干疊加的結(jié)果。根據(jù)惠更斯菲涅耳原理，圖2-2所示的一個單色光源S對于空間任意點P的作用，可以看作是S和P之間任一波面上各點發(fā)出的次波在P點相干疊加的結(jié)果。假設(shè)波面上任意點Q的光場復(fù)振幅為，在Q點取一個面元，則面元上的次波源對P點光場的貢獻(xiàn)為式中，C是比例系數(shù)；，稱為傾斜因子，它是與元波面法線和的夾角（稱為衍射角）有關(guān)的量，按照菲涅耳的假設(shè)：當(dāng)時，K有最大

13、值；隨著的增大，K迅速減??；當(dāng)時K0。因此，途中波面上只有范圍內(nèi)的部分對P點光振動有貢獻(xiàn)。所以P點的光場復(fù)振幅為 (2-1)這就是惠更斯菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為惠更斯菲涅耳公式。當(dāng)S是點光源時，Q點的光場復(fù)振幅為式中，R是光源到Q點的距離。在這種情況下，可以從積分號中提出來，但是由于的具體形式未知，不可能由(2-1)式確切地確定值。因此，從理論上來講，這個原理是不夠完善的。2.2 夫瑯禾費衍射在無成像的衍射系統(tǒng)中，通常按光源、衍射屏、接收屏幕三者之間距離的遠(yuǎn)近而將衍射分為兩類，一類是菲涅耳衍射，指的是光源和接收屏與衍射屏的距離均為有限遠(yuǎn)，或其中之一是有限遠(yuǎn)的情形；另一類是夫瑯禾費衍射，指的

14、是光源和接收屏與衍射屏的距離均為無限遠(yuǎn)的情形。粗略地說，菲涅耳衍射是近場衍射，光源O ,觀察屏E (或二者之一) 到衍射屏S 的距離為有限的衍射，如圖2-3所示。夫瑯禾費衍射是遠(yuǎn)場衍射，光源O ,觀察屏E 到衍射屏S 的距離均為無窮遠(yuǎn)的衍射，如圖2-4所示。不過應(yīng)當(dāng)注意，在成像衍射系統(tǒng)中，像面的衍射場在一定條件下也是夫瑯禾費衍射場，此時無論像面（接收屏位置）或光源位置，它們與衍射屏的距離都可以是很近的。當(dāng)然，夫瑯禾費衍射是菲涅耳衍射的一個特例，其衍射積分計算較為簡單，實驗上也不難實現(xiàn)，應(yīng)用價值又很大，故它一直是衍射問題的研究重點。尤其是現(xiàn)代光學(xué)中傅里葉光學(xué)的興起，賦予夫瑯禾費衍射以新的重要意義

15、。 P 圖 2-3 菲涅耳衍射無限遠(yuǎn)光源無限遠(yuǎn)相遇圖 2-4 夫瑯禾費衍射2.3 實現(xiàn)夫瑯禾費衍射的幾種方法無論是在實驗室中或者別的什么地方,都不可能將光源和衍射場放在無限遠(yuǎn)，實際接收夫瑯禾費衍射的裝置有以下四種：1、 焦面接收裝置（以單縫衍射為例，下同）把點光源S放在凸透鏡的前焦平面上，在凸透鏡的后焦平面上接收衍射場，見圖2-5。SDL1L2圖 2-5 焦面接收裝置DZ圖 2-6 遠(yuǎn)場接收裝置 2、 遠(yuǎn)場接收裝置當(dāng)滿足遠(yuǎn)場條件時，狹縫前后也可以不用透鏡，而直接獲得夫瑯禾費衍射圖樣。遠(yuǎn)場條件是： 光源離狹縫很遠(yuǎn)，即，其中，R是光源到狹縫的距離，為狹縫寬度的一半； 接收場距狹縫足夠遠(yuǎn)，

16、即，其中，z為衍射場距狹縫的距離。觀察點P在的條件下，只要求其滿足傍軸條件即可，而這一般都是滿足的。圖2-6為遠(yuǎn)場接收光路，假設(shè)一束平行光垂直入射到狹縫上。3、象面接收裝置（一）衍射屏處于透鏡的后方，如圖2-7所示。S在光軸上，代表點光源的象面，為S的象點。理論上已經(jīng)證明了面上呈現(xiàn)的圖樣為夫瑯禾費衍射圖樣，即屏上任一點的復(fù)振幅與角度的函數(shù)關(guān)系符合夫瑯禾費衍射的積分形式。DZS圖 2-7 象面接收裝置（一）SDL圖 2-8 象面接收裝置（二）4、象面接收裝置（二）衍射屏處于透鏡的前方，如圖2-8所示。點是場點的共軛點，S也在光軸上。如果光路逆轉(zhuǎn)自右向左，變?yōu)辄c光源，衍射屏便處于透鏡的后方了，面上

17、的衍射圖樣就同象面接收裝置（一）面上的情況，相應(yīng)地取代z，所以實際呈現(xiàn)在圖2-8的面上的衍射圖樣可由物面上設(shè)想的共軛衍射圖樣導(dǎo)出，二者為物象關(guān)系。2.4 菲涅耳半波帶分析法2.4.1 夫瑯禾費單縫衍射的零級大點SABCaF圖 2-9 單縫衍射的零級極大如圖2-9，點光源S經(jīng)透鏡形成一束單色平行光垂直入射于單狹縫。此狹縫的寬度為a，也就是說狹縫的兩側(cè)邊A與B的距離。狹縫的長度垂直于圖面。把此狹縫的寬度a分割成許多個（設(shè)為N個）窄條，每個窄條的寬度都等于。當(dāng)單色平行光的波陣面到達(dá)此狹縫中時，每個窄條可看成一個子波源，它向各個方向發(fā)出子波。上述單縫后面放一個凸透鏡，此透鏡的主軸垂直于單縫和屏，屏放在

18、透鏡的焦平面位置。從單縫發(fā)出的所有子波中、傳播方向與主軸平行的光線，被透鏡聚焦于主焦點F（即主軸與屏的交點）。從單縫中任一點發(fā)出的上述光線、經(jīng)透鏡到F點的光程都相等，因此F點成為這些子波干涉加強(qiáng)的最強(qiáng)點，稱為零級極大點，如果S是一條與狹縫平行的直線光源，則在處顯出一條與狹縫平行的零級亮紋。2.4.2 用菲涅耳半波帶法說明單縫衍射如圖2-10所示，在零級極大點的旁邊有一個干涉相消的第一級極小點。現(xiàn)在要分析此極小點應(yīng)滿足的條件。ABC0圖 2-10 單縫衍射的一級極小設(shè)上述點與透鏡的光心C的連線與主軸成角。此角就是單縫發(fā)出無數(shù)子波中、被透鏡會聚于點的那一組平行光線與主軸所成角度。此角稱為此組平行光

19、線的衍射角。此組平行光線的垂直平面與單縫AB的夾角也等于此衍射角，即。上述衍射角為的平行光線，從垂直面中任一點經(jīng)透鏡到屏上點的光程都相等。因此，上述任何兩條平行光線的光程差，就等于它們從單縫AB到垂直面的光程差。這一組光程差中的最大光程差應(yīng)是單縫兩端B與A的光程差。按照干涉原理，兩個相干光疊加時，它們的光程差若為半波長，可得到干涉相消的結(jié)果。已知上述一組平行光線在屏上點形成第一級極小，也就是說，這一組平行光線整體在點形成干涉相消。如果將這組平行光線平分成上下兩個半組，當(dāng)這兩組的平均光程差為半波長時，可達(dá)到整組干涉相消的結(jié)果。具體說來，可在單縫AB的中點作一垂直于圖面的直線，將單縫平分成與上下兩

20、部分，同時也將上述平行光線分成上下兩組，這兩組平行光線到達(dá)點的平均光程差、應(yīng)等于半波長，即，于是這兩組平行光線一對一對地在形成干涉相消。根據(jù)上述分析，可將屏上點應(yīng)滿足的條件總結(jié)如下： (2-2) (2-3) (2-4) (2-5)此式的f是透鏡的焦距，是以為原點的位置坐標(biāo)。是負(fù)一級極的坐標(biāo)。與對稱地分布在的兩側(cè)。ABCf圖 2-11 單縫衍射的二級極小圖2-11表示在一級極小旁邊有二級極小。此點所對應(yīng)的平行光線的衍射角，所對應(yīng)的最大光程差為。按照點的特點，應(yīng)將單縫平分成四個部分，即，并要求其中相鄰兩部分上述平行光線的平均光程差都等于半波長，即。因此，從單縫中的與F兩部分發(fā)出的上述平行光線在形成

21、干涉相消；從與兩部分發(fā)出的平行光線也在形成干涉相消。因此，參照（2-2）至（2-5）式，可將此成為二級極小的條件總結(jié)如下：按上述例子可把夫瑯禾費單縫衍射屏上各級極小、的條件都寫下來：，如上所述菲涅耳提出的簡單方法稱為半波帶法，具有如下特點：（1）將到達(dá)單縫的波陣面分割成面積相等的矩形窄條（窄條長度平行于狹縫），每個窄條稱為一個波帶，各個波帶含有相同數(shù)目的子波源。（2）要求相鄰波帶發(fā)出的子波會聚到達(dá)屏上Q點的平均光程差都等于半波長。（3）如果分割成的波帶數(shù)恰為偶數(shù)2k1，則此Q點便是此單縫衍射的第k1級極小位置。2.5 夫瑯禾費衍射光強(qiáng)圖樣特點2.5.1 圖樣特點觀察點和光源與障礙物的距離有限，

22、在計算光程和疊加后的光強(qiáng)等問題時，都難免遇到繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算。夫瑯禾費在1821-1822年間研究了觀察點和光源距障礙物都是無限遠(yuǎn)（平行光束）時的衍射現(xiàn)象。在這種情況下，計算衍射圖樣中光強(qiáng)的分布時，數(shù)學(xué)運(yùn)算就比較簡單。所謂光源在無限遠(yuǎn)，實際上就是把光源置于第一個透鏡的焦平面上，得到平行光束；所謂觀察點在無限遠(yuǎn)，實際上是在第二個透鏡的焦平面上觀察衍射圖樣，在使用光學(xué)儀器的多數(shù)情況中，光束總是要透過透鏡的。因而經(jīng)常會遇到這種衍射現(xiàn)象，而且由于透鏡的會聚，衍射圖樣的光強(qiáng)將比菲涅耳衍射圖樣的光強(qiáng)大大增加。圖2-12為紅光單狹縫衍射圖樣，其特點是在中央有一條特別明亮的亮條紋，兩側(cè)排列著一些強(qiáng)度較小的亮條紋

23、，相鄰亮條紋之間有一條暗條紋，如以相鄰暗條紋之間的間隔作為亮條紋的寬度，則兩側(cè)的亮條紋是等寬的，而中央亮條紋的寬度為其他亮條紋的兩倍。圖 2-12 紅光單縫衍射圖樣DxF PBMON圖2-13 單縫衍射光路2.5.2 強(qiáng)度的計算現(xiàn)在我們用惠更新-菲涅耳原理來解釋上述現(xiàn)象。如圖2-13所示。為了清楚起見，圖中狹縫的寬度已經(jīng)放大。平行光束垂直于縫的平面入射時，波面和縫平面重合（垂直于圖面）。將縫的面積分為一組平行于縫長的窄帶，從每一條這樣的窄帶發(fā)出次波。其振幅正比于窄帶的寬度，設(shè)光波的初位相為零，b為縫的寬度，而寬度的窄條上次波的振幅為，則狹縫處各窄帶所發(fā)次波的振動可用下式表示：這些次波都可認(rèn)為是

24、球面波，各自向前傳播?，F(xiàn)在，首先對其中沿圖面與原入射方向成角（稱為衍射角）的方向傳播的所有各次波進(jìn)行研究。在入射光束的平面波面BB上各次波的位相都相等，通過透鏡后在焦平面FF上的同一點P處疊加。要計算P點的合振幅，必須考慮到各次波的位相關(guān)系，這取決于由各窄帶到P點的光程如何?，F(xiàn)在作平面BD垂直于衍射方向，根據(jù)BD面上各點的位相分布情況即可決定在P點相遇的各次波的位相關(guān)系。我們知道，從平面BD上各點沿衍射方向通過透鏡而達(dá)到P點的光程都相等。這就只要算出從平面到平面BD的各平行直線段之間的光程差就可以了。為沿著衍射角進(jìn)行的任一條路程，令=x，則，這就是從M和從B兩點所發(fā)次波沿平行于MN方向到達(dá)平面

25、BD時的光程差。得BD面上N點的光振動的表達(dá)式為或 其復(fù)振幅為： 為簡化計算起見，上式中假設(shè)各次波到達(dá)P點時有相同的振幅（不考慮振幅與光程與反比的關(guān)系以及華僑因數(shù)）。根據(jù)惠更斯菲涅耳原理，將上式對整個縫寬（從x=0到x=b）積分。最后可得沿著衍射角方向傳播的所有次波在觀察點P疊加起來的合振幅：令，通常稱為u的函數(shù)，并寫成，故P點的光強(qiáng)為 (2-6)2.5.3 衍射花樣的光強(qiáng)分布當(dāng)光屏放置在透鏡L2的焦平面上時，屏上出現(xiàn)衍射花樣，光強(qiáng)的分布可由（2-6）式?jīng)Q定。不同的衍射角對應(yīng)于光屏上不同的觀察點。首先來決定衍射花樣中光強(qiáng)最大值和最小值的位置。即求出滿足光強(qiáng)的一階導(dǎo)數(shù)為零的那些點：由此得 分別解

26、以上兩式，可得出所有的極值點。1、單縫衍射中央最大值的位置：由，解得滿足的一些衍射方向，即 (中間最大值的位置)，也就是在焦點P0處，光強(qiáng)為最大。這里，疊加的各個次波位相差為零，所以振幅疊加互相加強(qiáng)。2、單縫衍射最小值的位置：由，解得滿足的一些衍射方向，即 （最小值位置）時，AP為零，屏上這些點是暗的。2.6 本章小結(jié) 本章從惠更斯菲涅耳原理出發(fā)解釋了夫瑯禾費衍射原理，介紹了4種可以在實驗室中實現(xiàn)的夫瑯禾費衍射的接收裝置，通過菲涅耳半波帶法說明了單縫衍射，并針對衍射圖樣的特點分析了夫瑯禾費單縫衍射的光強(qiáng)分布特點。第3章 光強(qiáng)分布的推導(dǎo)3.1 基爾霍夫積分定理假設(shè)有一個單色光波通過閉合曲線面?zhèn)鞑?/p>

27、，如圖3.1所示。PV圖 3-1 積分曲面t時刻、空間P點處的光電場為 （3-1）若P是無源點，該光場應(yīng)滿足標(biāo)量波動方程： （3-2）將（3-1）式代入，可得到（3-3）式中，該式即為亥姆霍茲方程。假設(shè)另一個任意復(fù)函數(shù)也滿足亥姆霍茲方程且在面內(nèi)和面上有連續(xù)的一、二階偏微商，作積分（3-4）其中表示在面上每一點沿向外法線方向的偏微商，則由格林定理，有式中，V是面包圍的體積。利用亥姆霍茲方程關(guān)系，得根據(jù)所滿足的條件，可選取為球面波的波函數(shù): （3-5）這個函數(shù)除了在r=0點外，處處解析。（3-4）式中的應(yīng)選取圖3-1所示的復(fù)合曲面，其中是包圍P點半徑為小量的球面，該積分為（3-6）由（3-5）式，

28、有（3-7）對于面上的點，,所以 因此 當(dāng)0時故有 （3-8）這就是亥姆霍茲基爾霍夫積分定理。它將P點的光場與周圍任一閉合曲線上的光場聯(lián)系起來。3.2 基爾霍夫衍射公式如圖3-2所示，一個無限大的不透明平面屏，其有一開孔，用點光源S照明，設(shè)的線度滿足 ,其中表示r、l中較小的一個。 Q P S 圖 3-2 球面波在孔徑上的衍射圍繞P點做一個閉合曲面。該閉合曲面由三部分組成：開孔，不透明屏的部分背照面，以P點為中心、R為半徑的大球的部分球面。P點的光場復(fù)振幅為（3-9）因為屏的存在必然會干擾處的場。特別是開孔邊緣附近的場，在開孔線度的限制下，誤差并不大，作為近似理論處理可采用基爾霍夫假定：1、

29、在面上,和的值由入射波決定,與不存在屏?xí)r的值完全相同。因此 （3-10）式中A是離點光源單位距離處的振幅，表示外向法線與從S到上某點Q的矢量之間的夾角余弦。2、在不透明屏的背照面上，。對于面,，且有因此在上的積分為 ，式中是對P點所張的立體角，d是立體角元。由索末菲輻射條件得 ，當(dāng)時，是有界的，所以上面的積分在時為零。通過上述討論可知，只需考慮對孔徑面的積分，即= （3-11）其中略去法線微商中的和的項，因為它們比k要小得多。此式稱為菲涅耳基爾霍夫衍射公式。與惠更斯菲涅耳公式（2-1）進(jìn)行比較,可得將積分面元d視為次波源的話，（3-11）式可解釋為：1、P點的光場是上無窮多次波源產(chǎn)生的，次波源

30、的復(fù)振幅與入射波在該點的復(fù)振幅成正比，與波長成反比；2、因子表明次波源的振動相位超前于入射波；3、傾斜因子表示次波的振幅在各個方向上是不同的，其值在0與1之間。3.3 基爾霍夫衍射公式的近似對于一些極簡單的衍射問題，也因為被積函數(shù)形式復(fù)雜而得不到解析形式的積分結(jié)果。為此，必須根據(jù)實際條件進(jìn)一步做近似處理。3.3.1 傍軸近似在一般的光學(xué)系統(tǒng)中，對成像起主要作用的是那些與光學(xué)系統(tǒng)光軸夾角極小的傍軸光線。對于傍軸光線，如圖3-3開孔的線度和觀察屏上的考察范圍都遠(yuǎn)小于開孔到觀察屏的距離。因此，下面的兩個近似條件都成立：1、 ,于是；2、 。于是，（3-11）可以化簡為（3-12）指數(shù)中的r未用代替，

31、這是因為指數(shù)中r所影響的是次波場的相位，r的微小變化都會引起相位的很大變化。 y x Q r P O 圖 3-3 孔徑的衍射3.3.2 距離近似根據(jù)衍射現(xiàn)象，離衍射孔不同距離處，衍射圖樣是不同的。一種是菲涅耳衍射或近場衍射，指的是光源和接收屏與衍射屏的距離均為有限遠(yuǎn)，或其中之一是有限遠(yuǎn)的情形；另一種是夫瑯禾費衍射或遠(yuǎn)場衍射，指的是光源和接收屏與衍射屏的距離均為無限遠(yuǎn)的情形。1、 菲涅耳近似 如圖3-3所示，設(shè)，則由幾何關(guān)系有 （3-13）因為在指數(shù)上的相位因子決定了函數(shù)的周期性，每當(dāng)相位因子改變時，指數(shù)函數(shù)反號，這種變化是不可忽略的，相位因子中只有遠(yuǎn)小于的項才可忽略。于是，當(dāng)大到滿足 （3-1

32、4）時，上式第三項及以后的各項都可略去，即為 （3-15）這一近似稱為菲涅耳近似，在這個區(qū)域內(nèi)觀察到的衍射現(xiàn)象叫菲涅耳衍射。在菲涅耳近似下，P點的光場復(fù)振幅為 （3-16）2、夫瑯禾費近似 當(dāng)觀察屏離孔的距離很大，滿足 （3-17）時 （3-18）這一近似稱為夫瑯禾費近似，在這個區(qū)域內(nèi)觀察到的衍射現(xiàn)象叫夫瑯禾費衍射。在夫瑯禾費近似下，P點的光場復(fù)振幅為 （3-19）3.4 夫瑯禾費單縫衍射光強(qiáng)分布如果只考慮單色平行光垂直入射到開孔平面上的的夫瑯禾費衍射，則通常采用圖3-4所示的夫瑯禾費衍射裝置。單色點光源放置在透鏡的前焦平面上，所產(chǎn)生的平行光垂直入射開孔，由開孔的衍射，在透鏡的后焦平面上可以觀

33、察到開孔的夫瑯禾費衍射圖樣，后焦平面上的各點的光場復(fù)振幅由（3-19）式給出。fPMC圖 3-4 夫瑯禾費衍射裝置若開孔面上有均勻的光場分布，令。又因為透鏡貼近孔徑，。所以后焦平面上的光場復(fù)振幅可為 , （3-20）對于夫瑯禾費單縫衍射，水平縫寬為a,垂直縫寬為b,則，沿y方向的衍射效應(yīng)不明顯，只在x方向有亮暗變化的衍射圖樣。由（3-20）式，衍射屏上P點的光場復(fù)振幅為（3-21）式中是觀察屏中心點處光場復(fù)振幅。相應(yīng)P點的光強(qiáng)度為 （3-22）式中，,。在衍射理論中，通常稱為單縫衍射因子，為中央明紋中心處光強(qiáng)度，為單縫邊緣光線與中心光線的相位差。根據(jù)（3-22）式可的單縫衍射的光強(qiáng)分布特征：

34、1、 在中央P點, ,我們使為一很小的趨于零的角,對求極限,則，為中央主極大光強(qiáng)。2、 在時,振幅，光強(qiáng)為暗紋的光強(qiáng)。3、 當(dāng)時,同理有為一級次極大光強(qiáng)。4、 當(dāng)時,同理有為二級次極大光強(qiáng)。5、 當(dāng)時,同理有為三級次極大光強(qiáng)。3.5 本章小結(jié)本章主要利用三角公式和積分處理進(jìn)行夫瑯禾費單縫衍射光強(qiáng)分布的推導(dǎo)。從基爾霍夫積分定理出發(fā)，進(jìn)行了基爾霍夫衍射公式的推導(dǎo)，其中主要利用衍射公式的近似，最終推導(dǎo)出夫瑯禾費的單縫衍射的光強(qiáng)公式。第4章 條紋分析4.1 理論分析4.1.1 光強(qiáng)分布的極值點當(dāng)光屏放置在透鏡L2的焦平面上時，屏上出現(xiàn)衍射花樣，光強(qiáng)的分布可由（3-22）式?jīng)Q定，也就是說，衍射光場在P點

35、的強(qiáng)度大小主要由因子或決定。不同的衍射角對應(yīng)于光屏上不同的觀察點。1、 當(dāng)時，該點光強(qiáng)度取最大值： ，稱為主極大值；2、 當(dāng)或時，該點強(qiáng)度取極小值：；3、 相鄰兩個極小值之間存在一個極大值，由于因子，該極大值的強(qiáng)度總是小于主極大值，故稱之為次極大值。求出滿足光強(qiáng)的一階導(dǎo)數(shù)為零的那些點：解得 于是得到夫瑯禾費單縫衍射的次極大值位置滿足關(guān)系為：。對于這一超越方程其根為對應(yīng)的值為4.1.2 條紋的角寬度和線寬度1、 暗紋的角寬度 暗紋出現(xiàn)的位置在的地方，對應(yīng)的值為任何兩相鄰暗紋間的衍射角的差值為，即暗紋是以點為中心等間隔左右對稱分布的。2、 亮紋的角寬度和線寬度以相鄰暗紋的焦距離作為亮紋的角寬度。在

36、傍軸條件下，即很小時，暗紋的衍射角位置簡化為，。中央主極大明紋寬度由的暗紋的衍射角所確定，則主極大亮紋角寬度和線寬度分別為， （4-1）在兩相鄰暗紋間存在的次極明紋，其角寬度和線寬度分別為， （4-2）4.1.3 條紋分布的影響因素從以上結(jié)論可以看出，夫瑯禾費單縫衍射圖樣的強(qiáng)度隨衍射角度按著函數(shù)關(guān)系變化；相鄰暗條紋中心的角間距相等，因而所有次極大值亮紋的角寬度相等，但主極大值亮紋的角寬度為次極大值的兩倍；相鄰次極大值亮紋中心不等間距，隨著衍射級次的增大，相鄰次極大值亮紋中心的間距趨于恒定。由（4-1）和（4-2）式可以看出，條紋分布的影響因素有：1、 狹縫的寬度對條紋分布的影響對于給定的波長，

37、亮紋的寬度是與狹縫的寬度成反比的，在波前上對光束限制越大，也就是縫寬越小的時候，衍射場越彌散，衍射圖樣鋪開的越寬；反之，當(dāng)縫寬很大，光束幾乎自由傳播時，這表明衍射場基本上集中在沿直線傳播的原方向上，在透鏡焦面上衍射圖樣收縮為幾何光學(xué)像點。2、 入射光的波長對條紋分布的影響在保持縫寬不變的條件下，波長越長，衍射效應(yīng)越明顯；波長越短，衍射效應(yīng)越可忽略；但是，實際中，由于波長的數(shù)量級比較小，所以對衍射條紋的影響不是非常明顯。3、 接收屏的距離對條紋分布的影響當(dāng)其他條件不變的情況下，若接收屏沿軸向向前移動時，接收屏上的條紋間距變小，衍射圖樣展開范圍減??；若沿軸向向后移動，接收屏上的條紋間距變大，衍射圖

38、樣展開范圍也增大。4.2 仿真分析4.2.1 Matlab仿真根據(jù)理論的推導(dǎo)，利用衍射積分法對單縫夫瑯禾費衍射進(jìn)行Matlab仿真。衍射積分法是由衍射積分算出接收屏上的光強(qiáng)分布，然后根據(jù)該分布調(diào)制色彩作圖，從而得到衍射圖案，如圖4-1所示：圖 4-1 夫瑯禾費單縫衍射Matlab仿真圖夫瑯禾費單縫衍射的仿真程序 ：波長 632.8nm,縫寬1mm，屏距1m。lam=6328e-10;a=1e-3;D=1;ym=3*lam*D/a;ny=51;ys=linspace(-ym,ym,ny);np=51;yp=linspace(0,a,np);for i=1:ny sinphi=ys(i)/D; a

39、lpha=2*pi*yp*sinphi/lam; sumcos=sum(cos(alpha); sumsin=sum(sin(alpha); B(i,:)=(sumcos2+sumsin2)/np2;endN=255;Br=(B/max(B)*N;subplot(1,2,1)image(ym,ys,Br);colormap(gray(N);subplot(1,2,2)plot(B,ys);4.2.2 仿真分析1、 狹縫的寬度對條紋分布的影響當(dāng)入射光波長為632.8nm，狹縫到接收屏的距離為1m ，狹縫的縫寬分別為0.5mm（外）, 1mm（中）, 1.5mm（內(nèi)），進(jìn)行仿真得到的仿真圖如圖4-

40、2所示。圖 4-2 仿真不同縫寬條紋的對比圖從圖中可以看出，當(dāng)縫寬改變時，條紋寬度隨著縫寬的增大而減小，反之亦然。可以得出結(jié)論：當(dāng)只有縫寬改變，其他條件不改變的情況下，縫寬也與條紋寬度成反比。2、 接收屏的距離對條紋分布的影響圖 4-3 仿真不同屏距條紋的對比圖當(dāng)入射光波長為632.8nm，狹縫的縫寬為1mm ，狹縫到接收屏的距離為分別為0.5m（內(nèi)）, 1m（中）, 1.5m（外），仿真到的條紋對比圖如圖4-3所示。從圖中可以看出，當(dāng)屏距變大時，明顯觀察到的條紋的間距變大，圖案的展開范圍也增大?？梢缘贸鼋Y(jié)論：當(dāng)屏距改變，其他條件不改變的情況下，屏距與條紋的間距成正比。3、 入射光的波長對條紋

41、分布的影響圖 4-4 仿真不同波長條紋的對比圖利用Matlab對狹縫寬度為1mm，屏距為1m，入射光波長分別為500nm（內(nèi)）,632.8nm（中）,700nm（外）的夫瑯禾費單縫衍射進(jìn)行衍射條紋仿真。仿真結(jié)果如圖4-4所示。從圖中可以看到，波長越長，衍射效應(yīng)越明顯；波長越短，衍射效應(yīng)越可忽略。而且波長的變化對衍射條紋的影響并不是很明顯。4.3 實驗分析4.3.1 實驗數(shù)據(jù)采集選取縫寬的衍射采集曲線進(jìn)行實驗分析，如圖4-5所示。這里不采用分段測量法，而是在同一光強(qiáng)下讀取實驗數(shù)據(jù)。慢慢移動鼠標(biāo)，讀取衍射曲線上幾個特殊點的X（ch）值、Y（A/D）值、電壓值（局部視窗里），測得數(shù)據(jù)見表4-1：縫到

42、CCD光敏面的垂直距離L：264.5mm表 4-1 特殊點的數(shù)據(jù)采集情況表空間位置光強(qiáng)X（ch）Y(A/D)電壓中央明紋133332107.83一級暗紋15671060.25一級明紋16271370.33二級暗紋1770310.07二級明紋1843440.10三級暗紋1915270.05三級明紋1995290.06圖4-5 單縫衍射圖樣4.3.2 實驗分析上一節(jié)從理論上分析了夫瑯禾費單縫衍射條紋的一些影響因素，現(xiàn)在利用以上實驗采集和條紋仿真，與條紋理論分析的結(jié)論進(jìn)行對比分析研究。1、 狹縫的寬度對條紋分布的影響當(dāng)入射光的波長為650nm，狹縫到接收屏的距離為50cm，狹縫的縫寬分別為 0.00

43、68mm（綠1），0.0118mm（紅2），0.0143mm（藍(lán)3），實驗采集到的條紋對比圖如圖4-6所示。圖 4-6 采集不同縫寬條紋的對比圖從圖中可以看到，曲線1的高度最高，曲線3的高度最低，而曲線的高度表示為條紋的光強(qiáng)度，也就是說，光強(qiáng)的由強(qiáng)到弱順序為曲線1、曲線2、曲線3，這個順序恰為縫寬由小到大的順序；當(dāng)縫寬增大時，條紋的寬度卻減小?？梢缘贸鼋Y(jié)論：當(dāng)只有縫寬改變，其他條件不改變的情況下，縫寬與衍射光強(qiáng)成反比，縫寬也與條紋寬度成反比。2、 接收屏的距離對條紋分布的影響圖 4-7 采集不同屏距條紋的對比圖當(dāng)入射光的波長為650nm，狹縫的寬度為0.0143mm，狹縫到接收屏的距離分別為5

44、0cm（綠1），70cm（藍(lán)2），90cm（紅3），實驗采集到的條紋對比圖如圖4-7所示。從圖像中可以看到，曲線1所表示的條紋寬度在三條曲線里是最窄的，曲線3是三條曲線里最寬的，而且這三條曲線的展開范圍是按著屏距的增大而變大的?？梢缘贸鼋Y(jié)論：當(dāng)只有屏距改變，其他條件不改變的情況下，屏距是與條紋寬度成正比，條紋分布的圖樣也隨屏距的增大而變得稀疏，反之亦然。4.4 對比分析4.4.1 數(shù)值對比分析根據(jù)采集完畢的數(shù)據(jù)計算出實驗值，并和理論值相比較。相對光強(qiáng)可以用Y（A/D）值相比得到，也可用電壓值相比得到。當(dāng)然誤差是會有的，但誤差很小，基本可以忽略。例如一級明紋的相對光強(qiáng)為：（Y值相比） 或 （電壓

45、值相比）的理論值計算參照公式，其中，即可求得。實驗值衍射角的計算：從采集到的曲線數(shù)據(jù)中可計算出一級暗紋離中央主極大中心的距離，這是原始數(shù)據(jù)，然后乘以CCD光敏元件的中心距才是實際距離。見表4-1所示，中央主極大中心的X（ch）值為1333，一級暗紋的X（ch）值為1567，兩數(shù)之差為234，再乘以中心距11m，得到一級暗紋離中央主極大中心的距離為2.574mm。依此方法計算出其它條紋距中央主極大中心的距離（表4-2）。 表4-2 各級條紋距中央主極大中心的實際距離（xi） 毫米一級暗紋x1一級明紋x2二級暗紋x3二級明紋x4三級暗紋x5三級明紋x62.5743.2344.8075.6106.4027.282最后依據(jù)計算得到一級暗紋處的衍射角，依此辦法計算出其它條紋的衍射角。所得實