4-2不定積分的基本公式和運算法則直接積分法

1、共振法”建筑物拆除新技術(shù) 復(fù)習(xí)1原函數(shù)的定義。2不定積分的定義。3不定積分的性質(zhì)。4不定積分的幾何意義。 引入 在不定積分的定義、性質(zhì)以及基本公式的基礎(chǔ)上，我們進一步來討論不定積分的計算問題， 不定積分的計算方法主要有三種：直接積分法、換元積分法和分部積分法。 講授新課第二節(jié)不定積分的基本公式和運算 直接積分法一基本積分公式由于求不定積分的運算是求導(dǎo)運算的逆運算，所以有導(dǎo)數(shù)的基本公式相應(yīng)地可以得到積分的基本公式 如下：導(dǎo)數(shù)公式微分公式積分公式1(kx) kd(kx) kdxkdx kx C (k 0)2(1x2) x2d(-2x2) xdx,12cxdx x C2311(一) xx11d (

2、-) dx x x112dx- Cxx4(In |x) 1 xd(ln |x|) dxx-dx In | x| C x51 x L1)x1 x d() x dx11x dx J C (1)16(ex)exd(ex)exdxexdx ex C7X/ a x(i-)aIn axd( )axdxln axx .aca dx Cln a8(sinx) cosxd(sinx) cosxdxcosxdx sin x C9(cosx) sinxd( cosx) sinxdxsinxdx cosx C102(tanx) sec xdx2d(tanx) sec xdx1.2 ,2 dxsec xdx tanx

3、Ccos x11(cotx)csc x2d( cotx) csc xdx122 dx csc xdx cotx C sin x12(sec) secxtanxd(secx) secxtanxdxsecxtanxdx secx C13(csc) csxcoxd( csc) csacotxdxcscxcotxdx cscx C141(arctan x)21 x1 d(arctan x)2 dx1 x1一2 dx arctan x C1 x151(arcsin x)2V1 x,、1，d(arcsin x) /? dxVix21一2dx arcsin x C“1 x2以上十五個公式是求不定積分的基礎(chǔ)，

4、必須熟記，不僅要記右端的結(jié)果，還要熟悉左端被積函數(shù)的的 形式。求函數(shù)的不定積分的方法叫積分法。例1求下列不定積分.(1) J dx(2) x/Xdxx 乙12 1解：(1) Tdx = x 2dx - C- CX2 1x(2) xVxdx= x3dx 2x2 C 5此例表明，對某些分式或根式函數(shù)求不定積分時，可先把它們化為x的形式，然后應(yīng)用幕函數(shù)的積分公式求積分。二不定積分的基本運算法則法則1兩個函數(shù)代數(shù)和的積分，等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即f(x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx法則1對于有限多個函數(shù)的和也成立的.法則2被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分號外，即kf (x)dx

5、k f (x)dx ( k 0)例 2 求(2x3 1 ex)dx解(2 x3 1 ex)dx=2 x3dx+ dx- exdx14x 八x x e C o 2注其中每一項的不定積分雖然都應(yīng)當(dāng)有一個積分常數(shù)，但是這里并不需要在每一項后面加上一個積分常數(shù)，因為任意常數(shù)之和還是任意常數(shù)，所以這里只把它的和C寫在末尾，以后仿此。注 檢驗解放的結(jié)果是否正確，只把結(jié)果求導(dǎo)，看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)就行了。如上例由于(1x4 x ex C)=2x3 1 ex,所以結(jié)果是正確的 2三直接積分法 在求積分的問題中，可以直接按基本積分公式和兩個基本性質(zhì)求出結(jié)果(如上例)但有時，被積函數(shù) 常需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌茸?/p>

6、形(包括代數(shù)和三角的恒等變形)再利用積分的性質(zhì)和公式求出結(jié)果，這樣 的積分方法叫直接積分法。例3求下列不定積分(1)(- x 1)( x 3dx(2)x 12dxx21解：(1 )首先把被積函數(shù)(41Mx 力)化為和式，然后再逐項積分得x、，xdxxdx dx1dx頁腳內(nèi)容82x2512x2 C 。注：(1)求函數(shù)的不定積分時積分常數(shù) C不能丟掉，否則就會出現(xiàn)概念性的錯誤。(2)等式右端的每個不定積分都有一個積分常數(shù)，因為有限個任意常數(shù)的代數(shù)和仍是一個常數(shù)，所以 只要在結(jié)果中寫一個積分常數(shù) C即可。(3)檢驗積分計算是否正確，只需對積分結(jié)果求導(dǎo)，看它是否等于被積函數(shù)。若相等，積分結(jié)果是正 確的

7、，否則是錯誤的。dxdx 2x 2arctan x C 0x 1上例的解題思路是設(shè)法化被積函數(shù)為和式，然后再逐項積分，是一種重要的解題方法，須掌握。練習(xí)132x 3x 2x 4 ,2dx ,x2x22 2x (x1) sin 2 fdx1-一sin x2上例的解題思路也是設(shè)法化被積函數(shù)為和式,然后再逐項積分，不過它實現(xiàn)化和是利用三角式的恒等變換。練習(xí) 1 cot2 xdxcos2 -dx32cos 2x dx cosx-sinx答案 1 cotx xc 12 (x sin x)23 sin x-cos x C例 5 設(shè) f (sin2 x)求 f(x).解：由于f (sin2x)22、，cos

8、 x 1 sin x ,11 24一1答案 1-x 3<2ln|x| -C,2arctan x C ,2xxQ cos x ,dx33 -x x arctanx C3例4求下列不定積分.(1)tanxdx(2) sin2 dx2解：(1) tan2xdx(sec: x 1)dx2sec xdx dx tanx x C所以f (x) 1 x,故知f(x)是1 x的原函數(shù)，因此f (x)2x(1 x)dx x C .小結(jié)基本積分公式，不定積分的性質(zhì),直接積分法練習(xí)求下列不定積分.(1)2、，(1 2sin x )dx x1 (, cos x2 、，)dx , sin x(3)(二=1 t2

9、*1 t2)dt , (5)(6xx6)dx,(9)(6)，(7)/ t - tx2 L(cos- sin-) dt,22x 2cosx 2ln |x|csc(cscx cotx)dx, (8)(10)(tan2 x 1)dx, (1。C,2 tan x -cot x C ,cos2x , TTdx， sin xx zQx2ee (322)dx 01 x2arcsin 3arctan C,6x 1 7日-xC ,6 ln 6 7cotx cscx C ,cotx 2 C,t cost C ,10 tanx小結(jié)計算簡單的不定積分,2x C , 11 (紀 2arcsinx C。1 ln3有時只需按不定積分的性質(zhì)和基本公