學生版第七講因數(shù)與倍數(shù)(公因數(shù)和公倍數(shù)(二)

1、第七講 因數(shù)與倍數(shù)(公因數(shù)和公倍數(shù)(二)【知識概述】這一講我們主要介紹最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)之間的關(guān)系。定理一：兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，所得的商互質(zhì)，即：如果(a, b) =d,那么(a+ d,b + d)=1。定理二：兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)之積等于這兩個數(shù)的乘積。即 a,b x (a,b) =axb。定理三：兩個數(shù)的公因數(shù)一定是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)的因數(shù)。例題精學28,另一個數(shù)是多少例1兩個數(shù)的最大公因數(shù)是 4,最小公倍數(shù)是252,其中一個數(shù)是【思路點撥】設一個數(shù)為A,得短除式如下:4 28 A顯然，7和a互質(zhì)，否則4就不是最大公因數(shù)，那么 252=4X 7X a, a=

2、9, A=4X9=36另外，我們可以根據(jù)定理：a,b x (a,b)=axb。求得4X 252+28=36。同步精練1 .某數(shù)與24的最大公因數(shù)是 4,最小公倍數(shù)是168,這個數(shù)是多少2.甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是 6,最小公倍數(shù)是90,且小數(shù)不能整除大數(shù)，求這兩個數(shù)。3. 四個連續(xù)奇數(shù)的最小公倍數(shù)為 6435 ，這四個奇數(shù)中最大的一個為多少例 2 兩個自然數(shù)的和是50，它們的最大公因數(shù)是5，求這兩個數(shù)的差。【思路點撥】若(A, B) =d,可以假設 A=ad, B=bd,那么a和b互質(zhì)，即(a,b)=1。在本題中，由于已知兩數(shù)的最大公因數(shù)為5 ，故可設一個數(shù)為5a ，另一個數(shù)為5b ， (a,

3、b)=1 。又因為這兩個數(shù)的和為50 ，這樣可以得到5a+5b=50, 5 (a+b)=50, a+b=10。根據(jù)a與b互質(zhì)，我們不難得到a=1,b=9或a=3, b=7。這樣可以求出這兩個數(shù)是 5X3=15和5X 7=35或5X 1=5或5X9=45。它們的差也就好求了。同步精練1. 兩個自然數(shù)的和是56 ，它們的最大公因數(shù)是7 ，求這兩個數(shù)。2. 已知兩個自然數(shù)的積是5766，它們的最大公因數(shù)是31，求這兩個數(shù)。3. 兩個數(shù)的和是70，它們的最大公因數(shù)是7 ，求這兩個數(shù)的差是多少。例 3 兩個數(shù)的最大公因數(shù)為 21 ，最小公倍數(shù)為 126 ，求這兩個數(shù)的和。【思路點撥】已知兩個數(shù)的最大公因

4、數(shù)是21 ，最小公倍數(shù)是126，要求這兩個數(shù)，可以根據(jù)“兩個數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積”先求出這兩個數(shù)的乘積，再把這個積分解成兩個數(shù)。再求兩個數(shù)的和。設這兩個數(shù)為 A和B,根據(jù)題意：21 A Ba b（a與b互質(zhì)）ax b=126+21=6=1 X 6=2X 3a=2A=21X 2=42A+B=21+126=147a=3A=2修 3=23A+B=42+63=105b=6B=21X 6=126同步精練1 .兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)是7,最小公倍數(shù)是210,這兩個數(shù)的和是 77。求這兩個數(shù)。2 .兩個數(shù)的最大公因數(shù)是12,最小公倍數(shù)是 72,這兩個數(shù)的和是多少例4 兩個自然數(shù)

5、的和是 54,它們的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的差是114,求這兩個自然數(shù)?！舅悸伏c撥】設兩個自然數(shù)為A, B,且AB。m A Ba bm是兩個數(shù)的最大公因數(shù)，a與b互質(zhì)。根據(jù)條件可得：axbxm-m=114, axm+bxm=54?；?ab-1) x m=114簡后得m是114和54的公因數(shù)。(a+b) x m=54(114,54) =6o 因為 6 的因數(shù)有 1, 2,3, 6,所以 m 可能是 1, 2,3, 6。如果 m=1,那么 a+b=54, aXb=115。115=1X115=5X23,且 1+115=11654, 5+23=2854,所以 m 不可能是 1。如果 m=2,那么 a+

6、b=27, aXb=58。58=1 X 58=2X29,且 1+58=59/27,2+29=3127,所以加不可能是 2。如果 m=3,那么 a+b=18, aXb=39。39=1X 39=3X 13,且 1+39=40/18, 3+13=16-18,所以 m 不可能是 3。如果 m=6,那么 a+b=9, ax b=20。20=4X5,且 4+5=9,所以 m=6。那么 A=6X4=24, B=6X5=30。同步精練1.兩個數(shù)的差是4,最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的積是252,求這兩個數(shù)。2. 兩個數(shù)的差是30，它們最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的差是450 ，求這兩個數(shù)。3. 兩個自然數(shù)的差是2 ，它們

7、的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)之和是86，求這兩個數(shù)。練習卷1. 兩個數(shù)的最大公因數(shù)是60 ，最小公倍數(shù)是720，其中一個數(shù)是180 ，另一個數(shù)是多少2. 兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是180 ，其中一個數(shù)是45 ，求這兩個自然數(shù)的差。3. 已知兩個自然數(shù)的和為 165 ，它們的最大公因數(shù)是15，求這兩個數(shù)。4. 已知兩個自然數(shù)的積為 240 ，最小公倍數(shù)為60 ，求這兩個數(shù)。5. 兩個數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是144，求這兩個數(shù)。6. 兩個不同自然數(shù)的和是60 ， 它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的和也是60， 滿足條件的自然數(shù)共有多少組7. 兩個自然數(shù)的和是60 ，它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的和是84 ，求這兩個數(shù)。8. 已知a與b, a與c的最大公因數(shù)分別是 12和15, a, b, c的最小公倍數(shù)是1